陶哲軒：數(shù)學(xué)不只是嚴(yán)密和證明

著名澳籍華裔數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎獲得者陶哲軒，最近談了他對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一些認(rèn)識.他說，學(xué)校剛教授數(shù)學(xué)時(shí)往往會采用一種直觀的、非正式的方法（比如用斜率和面積來表述導(dǎo)數(shù)和積分）.然后再告知學(xué)生要用更精確和正式的方法（比如用ε和Δ描述導(dǎo)數(shù)）來解決和思考問題.他認(rèn)為，知道怎樣嚴(yán)格地進(jìn)行推理當(dāng)然很重要，因?yàn)檫@可以使你避免某些常見錯誤，排除一些錯覺.但不幸的是，這也把由“模糊式”和直覺式思考能得到的那種意料之外的結(jié)果，因?yàn)椤安粐?yán)格”而拋棄了.通常，如果一個(gè)人把天生的直覺給拋棄了，那他只能做一些常規(guī)的數(shù)學(xué)了.

他指出，嚴(yán)密，不是說把直覺都扔掉，而是用來把那些錯誤的直覺剔除掉，提取和保留正確的直覺.只有把嚴(yán)格的形式和直覺結(jié)合起來，才能解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題：前者用來正確地解決一些細(xì)節(jié)問題，后者用來把握整體.缺少兩者中的任何一個(gè)，都會讓你在黑暗中摸索很久（雖然這也許行得通，但效率很低）.所以，在你熟悉嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思考方式之后，應(yīng)該重新發(fā)揮你的直覺，并運(yùn)用你新掌握的思考技巧來檢查和提煉這些直覺，而不是拋棄它們.學(xué)生要達(dá)到的理想狀態(tài)，是每次探索式的論證都能自然而然地導(dǎo)出嚴(yán)格的論證，反之亦然.

（褚桂營 整理）