積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn) 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考
——函數(shù)圖象起始課的設(shè)計(jì)說明

陳 杰

(山東省威海市教育教學(xué)研究中心 264200)

在一次跨地區(qū)送教支教活動中，本人執(zhí)教公開課“函數(shù)的圖象”(人教版教科書§19.1.2第一課時)．課后有教師覺得教學(xué)設(shè)計(jì)與眾不同，注重學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累，注重隱性學(xué)習(xí)目標(biāo)的落實(shí)，注重學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)，欲進(jìn)行深度交流．現(xiàn)就函數(shù)圖象起始課的教學(xué)談個人的思考與建議，歡迎批評指正．

1 選擇教學(xué)內(nèi)容

本課時是在§19.1.1“變量與函數(shù)”學(xué)習(xí)了常量與變量、函數(shù)、函數(shù)值、函數(shù)的解析式、自變量的取值范圍等知識的基礎(chǔ)上開展學(xué)習(xí)的．本節(jié)教材編寫線索：畫s=x2(x>0)的圖象，引出函數(shù)圖象的概念；從氣溫與時間關(guān)系的圖象上獲取信息；通過5個問題引導(dǎo)學(xué)生從分段(直線型)函數(shù)圖象上獲取信息；畫一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，歸納畫函數(shù)圖象的一般步驟；總結(jié)三種函數(shù)表示法的優(yōu)點(diǎn)；在實(shí)際情境中使用多種方法表示同一函數(shù)……以上內(nèi)容約三課時完成，涉及函數(shù)圖象的概念、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的一般步驟、函數(shù)表示法等知識．經(jīng)過思考確定，本課時知識內(nèi)容：函數(shù)圖象的概念、三種函數(shù)表示法．

中學(xué)階段的函數(shù)知識涉及函數(shù)的表達(dá)式、定義域、值域，單調(diào)性、對稱性、周期性、最值，以及函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式的關(guān)系等內(nèi)容．函數(shù)性質(zhì)多可以從圖象上“看”出．通過圖象分析數(shù)量關(guān)系變化規(guī)律是研究函數(shù)的重要方法．獲取圖表信息的能力也是PISA測試、中考的命題熱點(diǎn)．因此，學(xué)會從圖表中獲取信息的方法是本課時的隱性學(xué)習(xí)目標(biāo)，是教學(xué)重點(diǎn)，也是函數(shù)圖象起始課要實(shí)現(xiàn)的教育功能．

2 確定學(xué)習(xí)目標(biāo)

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)涉及本節(jié)課的內(nèi)容要求：“結(jié)合實(shí)例，了解函數(shù)的三種表示法”“能結(jié)合圖象對簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析”“根據(jù)一次函數(shù)(或反比例)函數(shù)的圖象和表達(dá)式探索……圖象的變化情況”“通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)”．顯然，觀察圖象探索函數(shù)性質(zhì)是課標(biāo)要求的學(xué)習(xí)目標(biāo)．根據(jù)課標(biāo)確定本課時學(xué)習(xí)目標(biāo)：

(1)函數(shù)圖象的概念：①會識別函數(shù)的圖象；②會判斷點(diǎn)是否在某函數(shù)圖象上．

(2)學(xué)會從圖表中獲取信息的方法．③結(jié)合具體實(shí)例，說出圖象反映的函數(shù)變化趨勢和數(shù)值對應(yīng)關(guān)系等信息(最少兩條信息)；④結(jié)合具體實(shí)例，說出表格反映的函數(shù)變化趨勢和數(shù)值對應(yīng)關(guān)系等信息．

(3)三種函數(shù)表示法：⑤說出三種函數(shù)表示法的優(yōu)點(diǎn)．

教學(xué)時，不僅關(guān)注每一節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，更要關(guān)注大單元整體教學(xué)的長期、隱性目標(biāo)，重視隱性目標(biāo)對培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教育價(jià)值．學(xué)生建立研究函數(shù)問題的“思維框架”是函數(shù)學(xué)習(xí)的長期、隱形學(xué)習(xí)目標(biāo)．作為函數(shù)圖象的起始課，目標(biāo)③④實(shí)為最低要求．

將觀察函數(shù)圖象獲取信息的方法用于從表格中獲取信息，可形成兩種函數(shù)表示法優(yōu)點(diǎn)的對比．嘗試用不同方法表示同一個函數(shù)也是比較三種函數(shù)表示法優(yōu)點(diǎn)的有效策略．由于學(xué)生沒有類似的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，且方法的遷移對思維水平有一定的要求，所以，比較三種函數(shù)表示法的優(yōu)點(diǎn)是本課時的教學(xué)難點(diǎn)．

3 設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)路徑

教學(xué)線索：①從表格獲取信息，復(fù)習(xí)函數(shù)概念，函數(shù)表示法(表格→解析式)轉(zhuǎn)換，確定自變量的取值范圍，求函數(shù)值；②從圖象獲取信息，初步形成觀察圖象的經(jīng)驗(yàn)；③函數(shù)圖象的概念；④函數(shù)圖象的識別；⑤總結(jié)觀察圖象獲取信息的經(jīng)驗(yàn)；⑥比較三種函數(shù)表示法的優(yōu)點(diǎn)；⑦總結(jié)活動經(jīng)驗(yàn)．之所以沒有按照教材順序教學(xué)，原因有三：其一，對孩子來說，畫拋物線難度太大，尤其是對“平滑”曲線的含義難以理解．課堂教學(xué)需要花費(fèi)較多時間感受“平滑”的含義．其二，畫函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的重要過程．在學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)時，還要重新認(rèn)真畫相關(guān)函數(shù)的圖象．其三，從圖象上獲取信息的思維框架是學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的“鑰匙”．應(yīng)該在學(xué)生接觸函數(shù)的圖象概念之初形成獲取信息的活動經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)自主探究函數(shù)的性質(zhì)指明方向，讓學(xué)生“自然”地發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)成為可能．

3．1 學(xué)習(xí)起點(diǎn)

問題1豬肉的總價(jià)y(元)與質(zhì)量x(斤)之間的關(guān)系如下圖所示：

x斤1.11.21.31.41.51.61.71.81.922.12.22.32.42.5y元0.880.961.041.121.21.281.361.441.521.61.681.761.841.922

問：(1)豬肉的總價(jià)y(元)是質(zhì)量x(斤)的函數(shù)嗎？為什么？

(2)這個函數(shù)可以用解析式表示嗎？若能，如何表示？寫出自變量的取值范圍．

(3)當(dāng)自變量x=12時的函數(shù)值是多少？

【說明】這是筆者小時候親身經(jīng)歷的真實(shí)情境：賣肉的老大爺每次稱出肉的質(zhì)量之后，總要看看桌子上的表格，然后說出所需金額．本題既復(fù)習(xí)上節(jié)課內(nèi)容，又為從表格中獲取信息、用不同方法表示函數(shù)提供了生活情境素材．問題(1)呈現(xiàn)用表格表示的函數(shù)關(guān)系，從表格中獲取信息，復(fù)習(xí)函數(shù)的概念；問題(2)用解析式表示函數(shù)關(guān)系，在實(shí)際問題背景中確定函數(shù)自變量的取值范圍；問題(3)求對應(yīng)的函數(shù)值．

問題2圖1是某天24小時內(nèi)北京、上海市氣溫的變化圖．

圖1

(1)北京市氣溫T(℃)是時間t(時)的函數(shù)嗎？為什么？上海市氣溫T(℃)是時間t(時)的函數(shù)嗎？為什么？

(2)觀察圖1，你能獲取哪些信息？小組討論，希望你能有條理地分類表達(dá)．

(3)思考：這種函數(shù)表示法有哪些優(yōu)點(diǎn)？

【說明】問題(1)呈現(xiàn)用圖象表示的函數(shù)關(guān)系，復(fù)習(xí)函數(shù)的概念．問題(2)初次嘗試觀察函數(shù)圖象獲取信息，積累活動經(jīng)驗(yàn)．將兩條圖象呈現(xiàn)在一個坐標(biāo)系中，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式的關(guān)系做鋪墊．若學(xué)生缺乏從圖象獲取信息的經(jīng)驗(yàn)，找不出相關(guān)信息，則教師通過問題提醒學(xué)生：圖上點(diǎn)的橫坐標(biāo)是具體的時間，縱坐標(biāo)是對應(yīng)的氣溫．小組代表發(fā)言時，教師設(shè)計(jì)好板書位置，分類呈現(xiàn)信息．板書順序及引導(dǎo)性問題如下：

①變化趨勢：上海市(北京市)什么時候氣溫上升？什么時候氣溫下降？

②兩圖交點(diǎn)：北京與上海何時氣溫相同？

③大小比較：哪段時間上海比北京的氣溫高？哪段時間上海比北京的氣溫低？

④最(大、小)值：什么時候上海(北京)氣溫最低？什么時候上海(北京)氣溫最高？

⑤點(diǎn)的坐標(biāo)：0點(diǎn)北京的氣溫是多少℃？7點(diǎn)北京的氣溫是多少℃？

⑥值域：24小時內(nèi)，北京的氣溫變化范圍多大？溫差是多少℃？

當(dāng)學(xué)生回答氣溫上升或下降時，須說明判別的方法．強(qiáng)調(diào)沿著x軸的正方向(自變量增大)判斷曲線的高低變化，為后續(xù)判斷函數(shù)的增減性打下基礎(chǔ)．

問題(3)初步感受圖象法表示函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，引出函數(shù)的圖象的概念．若學(xué)生不會回答，則提示其觀察問題(2)的板書內(nèi)容．同時，也要提醒學(xué)生從圖象上看到的某些時刻的氣溫是近似值．

教師：這種表示函數(shù)的方法稱為圖象法．問題2圖中的曲線是氣溫與時間函數(shù)的圖象．圖象法具有直觀、形象的特點(diǎn)．

3．2 函數(shù)的圖象

教師：一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象．

由學(xué)生隨機(jī)給出函數(shù)的解析式，教師利用幾何畫板“生成點(diǎn)的動畫”功能演示點(diǎn)動成線，得到相應(yīng)函數(shù)的圖象．

教師：用圖象表示函數(shù)的方法稱之為圖象法．表示函數(shù)的方法還有哪些？

【說明】介紹函數(shù)圖象的概念．通過問題2從氣溫與時間關(guān)系的函數(shù)圖象上獲取信息，學(xué)生對函數(shù)圖象已有初步的認(rèn)識．通過幾何畫板“生成點(diǎn)的動畫”功能演示函數(shù)圖象的形成過程，有助于加深學(xué)生對函數(shù)圖象概念的理解．

評價(jià)1識別函數(shù)的圖象.

問題3下列各曲線，哪些表示y是x的函數(shù)？試說明理由．

【說明】通過正、反例子，強(qiáng)調(diào)“對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)”，強(qiáng)化對函數(shù)概念的理解，說明函數(shù)的圖象是以圖形直觀地表示變量之間的對應(yīng)關(guān)系．

評價(jià)2會判斷點(diǎn)是否在某函數(shù)的圖象上.

問題4下列各點(diǎn)不在函數(shù)y=x+2的圖象上的是( )

A．(1，3) B．(-2，0)

C．(0，2) D．(-5，3)

問題5如圖2，點(diǎn)P在函數(shù)y=x2-2x-1的圖象上．

圖2

若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為_____．

【說明】對學(xué)生的答案進(jìn)行追問，要求說明理由．預(yù)計(jì)大部分學(xué)生能做對這兩道題目，但不清楚做題依據(jù)．教師從函數(shù)圖象概念的角度予以解釋，說明：圖象上所有點(diǎn)都滿足函數(shù)解析式；滿足函數(shù)解析式的所有點(diǎn)都在圖象上．幫助學(xué)生理解函數(shù)概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊．

評價(jià)3結(jié)合具體實(shí)例，說出圖象反映的函數(shù)變化趨勢和數(shù)值對應(yīng)關(guān)系等信息.

問題6駱駝被稱為“沙漠之舟”．圖3是自動測溫儀記錄駱駝的體溫T(℃)隨時間t(時)變化的圖象．圖中25時、49時表示凌晨1時．從圖象中，你能得到了哪些信息？每人至少寫三條．

【說明】這是一道改編的習(xí)題．一方面，檢測學(xué)生能否將在問題2中從圖象獲取信息的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用于新的問題情境；另一方面，提醒學(xué)生要觀察圖象的形狀特征：函數(shù)圖象的周期性、對稱性，為高中學(xué)習(xí)做鋪墊．大部分學(xué)生由于此種學(xué)習(xí)經(jīng)歷太少，沒有遷移學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)解決新問題的意識．教師將學(xué)生的回答，按照從整體形狀特征、局部變化趨勢，最(大、小)值、函數(shù)的取值范圍、點(diǎn)的坐標(biāo)等順序板書．并與問題2板書對照，強(qiáng)化“有條理地思考”的要求．若學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)該函數(shù)圖象具有周期性、局部對稱性等特點(diǎn)，則教師可從具體點(diǎn)的坐標(biāo)(最值)、變化趨勢特點(diǎn)等多方面說明其周期性．

3．3 總結(jié)活動經(jīng)驗(yàn)

問題7從圖象獲取信息的“套路”是什么？

【說明】總結(jié)從圖象獲取信息的的“思維框架”，為學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)積累活動經(jīng)驗(yàn)，為完成評價(jià)4觀察表格獲取信息，形成兩種函數(shù)表示法的對比，做必要的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)備．若學(xué)生不會總結(jié)，則可對照問題6的板書，說明按照整體特征—變化趨勢—點(diǎn)的坐標(biāo)的“思維框架”有條理地獲取信息．

3．4 比較函數(shù)表示法的優(yōu)點(diǎn)

評價(jià)4結(jié)合具體實(shí)例，說出表格反映的函數(shù)變化趨勢和數(shù)值對應(yīng)關(guān)系等信息.

問題8在某變化過程中，測得y與x的函數(shù)關(guān)系如下表所示．你能從表格中看出哪些信息？你認(rèn)為用表格表示函數(shù)有哪些優(yōu)點(diǎn)？

x…-1.5-101235.5…y…-4-3-113510…

【說明】通過遷移從圖象獲取信息的活動經(jīng)驗(yàn)，從表格中獲取信息，借此形成兩種函數(shù)表示法的比較，為實(shí)現(xiàn)評價(jià)5做準(zhǔn)備．第一問具有發(fā)散性，引導(dǎo)學(xué)生參照從圖象獲取信息的思維框架獲取信息，形成對比．總結(jié)：部分自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系——準(zhǔn)確；部分變化趨勢——直觀．

評價(jià)5說出三種函數(shù)表示法的優(yōu)點(diǎn).

問題9從前面的實(shí)例看，你認(rèn)為三種函數(shù)表示法的優(yōu)點(diǎn)各是什么？

【說明】完成評價(jià)目標(biāo)5．根據(jù)學(xué)生回答情況，對照板書進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)．若學(xué)生不會回答，則針對本課時的具體問題情境，回顧三種表示法獲取的信息，進(jìn)行分析對比．本問要求不高，學(xué)生能初步感受即可．

通過比較三種函數(shù)表示法的優(yōu)點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想的必要性．呈現(xiàn)華羅庚先生的詩“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．?dāng)?shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，說明數(shù)形結(jié)合思想方法的重要性．

3．5 課堂小結(jié)

學(xué)生總結(jié)、交流學(xué)習(xí)收獲．

【說明】學(xué)生互相補(bǔ)充完善．若學(xué)生習(xí)慣盤點(diǎn)知識層面的收獲，而忽視數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，教師可通過問題予以提示，以達(dá)到再次提升活動經(jīng)驗(yàn)的效果．

作業(yè)略．板書設(shè)計(jì)略．

4 關(guān)于起始課的幾點(diǎn)思考

4．1 基礎(chǔ)知識的教學(xué)要有學(xué)科觀念的高度

“學(xué)會學(xué)習(xí)”是每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)．落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)是長期隱性目標(biāo)．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)須以此立意，整體設(shè)計(jì)，一以貫之．學(xué)會觀察函數(shù)圖象獲取信息的“思維框架”，就可以借助函數(shù)圖象自主探究函數(shù)性質(zhì)，解決問題．這種思維方法的教學(xué)須在起始課時系統(tǒng)滲透，逐步深化．問題1體驗(yàn)從表格中獲取信息，問題2初次形成從函數(shù)圖象中獲取信息的“思維框架”，問題6、7逐步完善這個“思維框架”，形成心理“圖式”．此后學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)……性質(zhì)時，不斷地運(yùn)用、完善這個“思維框架”，學(xué)生學(xué)習(xí)就會越來越自覺，越來越自信．

4．2 隱性目標(biāo)的落實(shí)要有教學(xué)細(xì)節(jié)的掌控

如何將長期隱性的學(xué)習(xí)目標(biāo)落實(shí)？首先，將隱性目標(biāo)分解成本課時學(xué)生的行為表現(xiàn)，使之顯性化．目標(biāo)③④，可檢測、可評價(jià)．體現(xiàn)了目標(biāo)、評價(jià)、教學(xué)一致性的要求．然后，依此設(shè)計(jì)問題串、活動任務(wù)鏈逐一落實(shí)．通過問題2、3、5、6多次引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象獲取信息，問題7總結(jié)觀察圖象獲取信息的方法；通過問題3、4、5及課堂上教師的追問鞏固函數(shù)圖象概念；通過三種函數(shù)表示法的比較，學(xué)生初步體會“數(shù)”與“形”各自的優(yōu)勢，初步感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．

4．3 學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的獲得要有體驗(yàn)反思的環(huán)節(jié)

以問代講，適時總結(jié)，遷移運(yùn)用，做中感悟．獲取信息的“思維框架”不是教師直接講授的，而是學(xué)生通過實(shí)踐活動感悟、總結(jié)出來的．通過環(huán)環(huán)相扣的問題串多次引導(dǎo)學(xué)生自主探究，多次引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)活動經(jīng)驗(yàn)，多次遷移經(jīng)驗(yàn)解決新的問題，在活動過程中豐富、完善活動經(jīng)驗(yàn)．部分問題思維空間大，具有發(fā)散性，能引導(dǎo)學(xué)生深度思考．這些問題的設(shè)計(jì)有助于學(xué)生養(yǎng)成有條理地思考、有步驟地做事的習(xí)慣，提升元認(rèn)知水平．

數(shù)學(xué)教學(xué)，既要高立意，在知識中植入生長的“基因”，教會學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”，又須低起點(diǎn)，將長期、隱性目標(biāo)顯性化，顯性化目標(biāo)可測、可評，還要適時總結(jié)、提升活動經(jīng)驗(yàn)．滴水穿石，久久為功，后續(xù)學(xué)習(xí)就會逐步顯現(xiàn)成效．