零耦合度空間2T1R并聯(lián)機構(gòu)運動學與剛度建模分析

沈惠平 朱忠頎 孟慶梅 吳廣磊 鄧嘉鳴

(1.常州大學現(xiàn)代機構(gòu)學研究中心， 常州 213016； 2.大連理工大學機械工程學院， 大連 116024)

0 引言

三自由度兩平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機器人機構(gòu)驅(qū)動元件少、結(jié)構(gòu)緊湊、制造方便，在工業(yè)生產(chǎn)中具有較高實用價值[1]，其設計需考慮機構(gòu)的運動學、剛度等因素，國內(nèi)外學者對此進行了大量研究。GOSSELIN[2]提出了并聯(lián)機構(gòu)的剛度映射矩陣,并分析了3-RPR平面并聯(lián)機構(gòu)和6-SPS空間并聯(lián)機構(gòu)在不同參數(shù)下機構(gòu)的剛度特性；李樹軍等[3]研究了基于新的守恒協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)換剛度矩陣，對3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)進行剛度特性分析；周玉林等[4]基于小變形疊加原理推導得到動平臺、球心點位移與外力的關系，通過靜力學分析得到機構(gòu)的整體剛度矩陣；CARBONE等[5]對多個剛度性能評價指標進行了比較；WU等[6-7]對3-PPR并聯(lián)機械手進行了剛度分析，并用數(shù)值法將笛卡爾剛度矩陣解耦為平移剛度矩陣和旋轉(zhuǎn)剛度矩陣，基于虛擬彈簧法對3、4自由度且含有4條相同支鏈并聯(lián)機器人的剛度特性進行了分析，指出Ragnar機器人的結(jié)構(gòu)剛度低于以Quattro結(jié)構(gòu)為基礎設計的其他機器人；YANG等[8]基于應變能理論建立了并聯(lián)機器人彈性靜態(tài)剛度分析模型；項超群等[9]利用最小二乘法建立了單根氣動肌肉氣壓、位移及剛度的關系模型。

并聯(lián)機構(gòu)剛度分析主要有以下幾種方法：有限元分析法(FEA)[10-11]、螺旋理論分析法[12]、矩陣結(jié)構(gòu)分析法(MSA)[13]、虛擬關節(jié)分析法(VJM)[14-15]等。FEA法的優(yōu)勢在于其桿件和關節(jié)建模都具有精確的物理模型[12，16]；MSA法綜合了FEA法的優(yōu)點，將桿件和關節(jié)看作單元，降低了運算量，但無法直接得到笛卡爾系的剛度矩陣[17-18]；應用較廣的VJM法將桿件視為剛體，并虛設柔性關節(jié)(為了累積桿件或者關節(jié)所有類型的柔性)，較好地反映了機構(gòu)的實際變形；文獻[19]將驅(qū)動器柔性作為機構(gòu)柔性的主要來源，推導出驅(qū)動剛度與機構(gòu)剛度之間的關系，且考慮了桿件柔性[20]，并通過不同的假設和數(shù)值方法應用于不同的機構(gòu)中；文獻[21]采用虛擬彈簧法對相同DOF和POC的不同并聯(lián)機構(gòu)進行剛度建模分析，并優(yōu)選出剛度性能較好的機構(gòu)。

本文根據(jù)基于方位特征(POC)方程的并聯(lián)機構(gòu)拓撲設計理論[22]，提出一種零耦合度、含1條被動冗余支鏈的空間2T1R并聯(lián)機構(gòu)。首先，進行拓撲分析和位置分析，然后基于虛擬彈簧法建立機構(gòu)的剛度模型，分析該機構(gòu)各支鏈及整體的剛度特性，并討論冗余支鏈對整體剛度性能的影響。

1 機構(gòu)設計與拓撲分析

1.1 機構(gòu)拓撲設計

設計的空間2T1R機構(gòu)如圖1所示，o′為動平臺中心，動平臺1由3條支鏈連接于靜平臺0，其中，混合支鏈Ⅰ(HSOC1)為一平面五桿機構(gòu)(R11-P12-R5-P22-R21)，也可視為由2個相同A、B(RPR)支鏈并聯(lián)而成；支鏈Ⅱ、Ⅲ由3個相互平行的R副串聯(lián)而成；靜平臺0上4個轉(zhuǎn)動副R11、R21、R31、R41的軸線平行于Y軸，動平臺1上的轉(zhuǎn)動副R6為復合鉸鏈。

圖1 零耦合度空間2T1R并聯(lián)機構(gòu)Fig.1 Spatial 2T1R PM with zero coupling degree

1.2 拓撲結(jié)構(gòu)分析

1.2.1POC集計算

機構(gòu)POC方程為

(1)

(2)

式中Mji——第i個運動副的POC集

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

Mpa——機構(gòu)動平臺的 POC集

第Ⅱ、Ⅲ條支鏈為R‖R‖R支鏈，記為

SOCi={-Ri1‖Ri2‖Ri3-} (i=2,3)

由式(1)可得，上述3條支鏈的POC集分別為

由式(2)可得

(3)

(4)

式(3)表明：由支鏈Ⅰ、Ⅱ組成的子并聯(lián)機構(gòu)的動平臺，已可實現(xiàn)xoz平面內(nèi)的兩平移和繞R5(或R6)軸線的一維轉(zhuǎn)動(2T1R)的輸出運動；因此，此時，并聯(lián)連接的支鏈Ⅲ不影響機構(gòu)的POC。

1.2.2機構(gòu)自由度(DOF)

并聯(lián)機構(gòu)自由度計算式為[22]

(5)

(6)

v=m-n+1

式中F——機構(gòu)自由度m——運動副數(shù)

fi——第i個運動副的自由度

v——獨立回路數(shù)n——構(gòu)件數(shù)

ξLj——第j個獨立回路的獨立位移方程數(shù)

第1個回路為平面五桿機構(gòu)(R11-P12-R5-P22-R21)本身，顯然，其獨立位移方程數(shù)為ξL1=3，則自由度為

由上述第1個子并聯(lián)機構(gòu)、轉(zhuǎn)動副R5及支鏈Ⅱ組成第2個回路；由式(6)、(5)得，其獨立位移方程數(shù)和自由度為

由上述第2個子并聯(lián)機構(gòu)和支鏈Ⅲ組成第3個回路，由式(6)得，其獨立位移方程數(shù)為

由式(5)得

該機構(gòu)自由度為3，當取子并聯(lián)機構(gòu)上的P12、P22以及靜平臺0上的R31作為驅(qū)動副時，動平臺1可實現(xiàn)兩平移一轉(zhuǎn)動的運動輸出。因此，支鏈Ⅲ也不影響機構(gòu)自由度。

由于支鏈Ⅲ不影響機構(gòu)的POC、DOF，因此，為冗余支鏈。

1.2.3機構(gòu)耦合度

由基于有序單開鏈(SOC)的機構(gòu)組成原理可知，機構(gòu)可分為若干個最小子運動鏈(Sub kinematics chain，SKC)，每一個SKC僅含一個基本運動鏈，又可分解為約束度為正、零、負的單開鏈(SOC)，第j個SOCj的約束度定義為

(7)

式中mj——第j個SOCj的運動副數(shù)

Ij——SOCj第j個驅(qū)動副

(8)

1.2.2節(jié)中已求得3個回路的獨立位移方程數(shù)，即ξL1=3，ξL2=3，ξL3=3，其約束度分別由式(7)計算得

由式(8)得，機構(gòu)的耦合度為

因此，該機構(gòu)包含3個SKC，它們耦合度均為零，即κ1=0,κ2=0,κ3=0。

2 機構(gòu)位置分析

由基于拓撲特征[23]的機構(gòu)運動學建模與求解原理[24]可知，該機構(gòu)的位置正解，可轉(zhuǎn)換為其包含的3個SKC的位置正解求解；對本機構(gòu)而言，因每個SKC的約束度為零，無需設虛擬變量，其運動位置可由其本身獨立求解。

2.1 坐標系建立和參數(shù)標注

為便于理解，各運動副的標注如圖2所示，設機構(gòu)靜平臺0上的4個轉(zhuǎn)動副為A11、A21、A31、A41，位于一邊長為2l1的正方形的4個頂點處。

圖2 機構(gòu)運動學建模Fig.2 Kinematic modeling of PM

不失一般性，在靜平臺0上建立oxyz坐標系，o為靜平臺重心，x軸與A31A41連線平行，y軸與A11A41連線平行；在動平臺1上建立o′x′y′z′坐標系，o′為正三角形動平臺重心，x′軸與C33C43連線平行，y′軸在R5軸線上，而z軸和z′軸由右手笛卡爾坐標系法則確定。

設矢量A11C23、A31B32與x軸負方向的夾角分別為θ1、θ2，動平臺1繞y′軸逆時針轉(zhuǎn)動時的姿態(tài)角為α。該機構(gòu)構(gòu)件尺寸參數(shù)為

lA11A21=lA21A31=lA31A41=lA11A41=2l1
lA11C23=l2lA21C23=l3lC23C33=lC23C43=lC33C43=2l4
lB32C33=lB42C43=l5lA31B32=lA41B42=l6

2.2 位置正解求解

已知l2、l3、θ2，求解動平臺1的位置。

易知各點的坐標為A11=(l1,l1,0),A21=(-l1,l1,0)，A31=(-l1，-l1，0),A41=(l1,-l1,0)，B32=(-l1-l6cosθ2,-l1,l6sinθ2)。

(1)SKC1(R11-P12-R5-P22-R21)位置求解

即在A11-C23-A21中，易求得

C23=(l1-l2cosθ1,l1,l2sinθ1)
C33=(l1-l2cosθ1-l4cosα,-l1,l2sinθ1+l4sinα)

從而求得

(9)

(2)SKC2(R6-R33-R32-R31)位置求解

即在C23-C33-B32-A31中，由幾何約束建立位置方程，并整理得

Asinα+Bcosα+C=0

(10)

其中

A=2l4(l2sinθ1-l6sinθ2)

即可完成動平臺的位置正解求解。

2.3 位置逆解求解及其驗證

已知：動平臺1坐標(X1，Y1，Z1)和姿態(tài)角α，求輸入l2、l3、θ2。

B32、C23、C33的坐標在位置正解中已表示，由桿長約束條件lA11C23=l2及l(fā)A21C23=l3，求得

由幾何約束條件lB32C33=l5，有

A2sinθ2+B2cosθ2+C=0

令tan(θ2/2)=k2，則有

(11)

其中

A2=-2l6(Z1+l4sinα)

綜上可知，輸入角θ2有2組解，因此，該機構(gòu)有2種構(gòu)型。

由式(9)、(10)，運用Matlab計算得機構(gòu)的位置正解為(X,Y,Z,α)=(0,-66.67 mm，346.41 mm，-71.8°)；將此組數(shù)據(jù)代入逆解式(11)，得到的值與輸入值一致，表明正逆解推導正確。

2.4 奇異位置分析

2.4.1雅可比矩陣

將由3個桿長約束條件(lA11C23=l2，lA21C23=l3，lB32C33=lB42C43=l5)建立的位置約束方程對時間t求導，可得到此機構(gòu)末端執(zhí)行器輸入速度v和主動關節(jié)的輸入速度ω的關系為

Jpν=Jqω

2.4.2奇異性分析

依據(jù)矩陣Jp、Jq是否奇異，將機構(gòu)的奇異位形分為如下3類：

(1)輸入奇異

機構(gòu)發(fā)生輸入奇異，意味著每條支鏈靠近驅(qū)動桿的2根桿處于折疊或完全展開狀態(tài)，動平臺的自由度減少，此時，det(Jq)=0，方程解集合A為

A={(u11=0)∪(u22=0)∪(u33=0)}

由于在實際應用中u11=l2，u22=l3皆不能為零，所以只存在唯一解，即

u33=l6sinθ2(X1-l4cosα+l1)+l6cosθ2(Z1+l4sinα)=0

滿足u33方程解的三維構(gòu)型，如圖3所示。

圖3 輸入奇異位形Fig.3 Input singular configuration

(2)輸出奇異

當機構(gòu)發(fā)生輸出奇異，意味著每條支鏈靠近動平臺的桿處于折疊或完全展開的狀態(tài)，此時，動平臺自由度數(shù)增多，即使鎖住輸入，動平臺也可能存在自由度輸出。

設[fi1fi2fi3]=ei(i=1,2,3)，若det(Jp)=0，則向量e1、e2、e3有2種情況：

①存在2個向量線性相關

若e1=ke2，即滿足

[f11f12f13]=k[f21f22f23]

由于e1=[X1-l1Z10]，e2=[X1-l1Z10]，e1≠ke2，所以，此類情況不存在。

若e1=ke3，即滿足[f11f12f13]=k[f31f32f33]，此時機構(gòu)到達空間左邊界處，其奇異位形如圖4a所示。

若e2=ke3，即滿足[f21f22f23]=k[f31f32f33]，此時，機構(gòu)到達空間右邊界處，其奇異位形如圖4b所示。

圖4 輸出奇異位形Fig.4 Output singular configuration

②存在3個向量線性相關

設e2=k1e1+k2e3(k1k2≠0)，此時有

[f21f22f23]=k1[f11f12f13]+k2[f31f32f33]

通過Matlab計算表明，該種情況下k1、k2無解，因此，此種情況不存在。

(3)構(gòu)型奇異

當det(Jp)=det(Jq)=0時，也就是輸入奇異與輸出奇異同時發(fā)生；此時，機構(gòu)的驅(qū)動關節(jié)和末端執(zhí)行器都存在著瞬時互不影響的非零輸入和輸出，對應的位姿即構(gòu)型奇異，處于該類奇異時，機構(gòu)將失去自由度，在機構(gòu)實際階段應予以避免。

樣機調(diào)試或機構(gòu)工作過程中，一旦上述奇異位置發(fā)生，啟動冗余支鏈Ⅲ產(chǎn)生動作，從而避免奇異位置發(fā)生，這對樣機調(diào)試時的軌跡規(guī)劃與運動控制具有參考價值。

3 剛度模型建立

3.1 單桿剛度矩陣

在基于虛擬彈簧的剛度模型中，桿件被視作梁單元分析其末端變形并求解其剛度矩陣，當桿件受到力/力矩時，由材料力學中的梁理論可得到桿件的撓曲線方程。在彎曲變形很小且材料服從胡克定律的情況下，撓曲線方程是線性的，考慮桿件所受力和力矩的耦合情況，采用疊加法計算桿件在力和力矩作用下的柔度矩陣(剛度矩陣的逆矩陣)，從而求得空間中桿件的剛度矩陣為[25]

(12)

式中Gi——楊氏模量Ei——彈性模量

Ai——截面積Ixi、Iyi、Izi——慣性矩

li——桿長

對于移動副作為驅(qū)動的桿件，在桿的剛度建模中，還需考慮導軌的變形，由文獻[7]可得，該2T1R機構(gòu)移動導軌剛度矩陣為

(13)

式中Kdg——導軌剛度矩陣

KψY、KψZ——Y、Z方向的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣

KlY、KlZ——Y、Z方向的線性剛度矩陣

3.2 支鏈運動方程

一般支鏈通常由驅(qū)動器，主、從動臂以及被動副組成，其虛擬彈簧模型如圖5所示。

圖5 一般支鏈的虛擬彈簧模型Fig.5 Virtual spring model of general branch chain

其中，1-dof的虛擬彈簧表示驅(qū)動關節(jié)為轉(zhuǎn)動副R的伺服剛度，其變形可表示為Δθα；6-dof的虛擬彈簧表示對應連桿在笛卡爾坐標系中3自由度旋轉(zhuǎn)變形特性和3自由度拉伸變形特性，主動臂和從動臂上彈簧的變形量可分別表示為(Δθ1,Δθ2，…,Δθ6)和(Δθ7,Δθ8，…,Δθ12)。

由圖5可得，支鏈中彈簧變形和被動關節(jié)變形到末端變形之間運動方程的一般形式為

(14)

其中

式中 Δt——笛卡爾坐標系中機構(gòu)末端的變形，由沿坐標軸方向的3個旋轉(zhuǎn)變形和3個拉伸變形組成

Δθi——末端變形Δt的映射

將式(14)的支鏈運動方程表示成螺旋形式，即

(15)

式中 $——機構(gòu)末端參考點變形的旋量，即支鏈末端參考點相對于虛擬彈簧和被動副的螺旋運動

3.3 支鏈的靜力學方程與笛卡爾剛度矩陣

為得到支鏈的靜力學方程，設fi為支鏈i所受的外力/外力矩，wi為虛擬彈簧所受的力/力矩，δθi和δψi分別表示虛擬彈簧和被動關節(jié)在受力后產(chǎn)生的微小變形，則末端的變形為

利用虛功原理，外力所做的虛功之和為

(16)

(17)

被動關節(jié)受力后會發(fā)生被動運動，所以在靜平衡狀態(tài)下，被動運動不做功，只有彈簧受力做功，即

(18)

且δθi與δψi為相互獨立的變量，聯(lián)立式(16)和式(17)，消去δθi和δψi，可以得到

(19)

由式(16)～(19)可得，支鏈的靜力平衡方程為

(20)

由式(20)可得，靜力平衡方程的矩陣形式為

(21)

其中

由文獻[26]可得

(22)

式中Ki——支鏈i的笛卡爾剛度矩陣

若將一個具有n條支鏈的機構(gòu)末端點的受力f分解到每條支鏈上，則有

因此，機構(gòu)整體剛度矩陣為

(23)

3.4 2T1R并聯(lián)機構(gòu)的剛度建模

對該2T1R并聯(lián)機構(gòu)進行剛度計算，設機構(gòu)各連桿的參數(shù)如表1所示，為提高機構(gòu)整體的強度并減輕機構(gòu)的質(zhì)量，各連桿均選用碳纖維材料。

機構(gòu)各個輸入采用相同的驅(qū)動電機，其驅(qū)動剛度由實驗測得，選取其剛度為5×104N/m。

3.4.1混合支鏈Ⅰ的剛度建模

機構(gòu)中第Ⅰ條支鏈為混合支鏈(HSOC1)，它由兩個相同的A、B支鏈并聯(lián)而成。

由式(23)可知，KHSOC1=KA+KB，求解混合支鏈的剛度矩陣，只需求兩條子支鏈A、B的剛度矩陣。

為了便于運動方程的建立與分析，先在a1、b1兩點處建立了兩個坐標系(圖6)，oxyz為靜平臺坐標系，設o′為動平臺中心點。由圖5建立支鏈A的虛擬彈簧模型，如圖7所示，其中，1-dof虛擬彈簧表示驅(qū)動關節(jié)的變形；6-dof虛擬彈簧表示桿a1c1和桿b1d1在笛卡爾坐標系中的旋轉(zhuǎn)和線性變形；4-dof表示導軌在y、z方向上的旋轉(zhuǎn)和線性變形；R表示轉(zhuǎn)動副，Ac為驅(qū)動副。

由式(22)得，支鏈A的靜力方程為

式中KA——支鏈A的剛度矩陣

O——零矩陣

Krodi——單桿剛度矩陣，i=1，2

Kdg——移動導軌的剛度矩陣

fA——末端點o′所受外力在支鏈A上的分量

利用Matlab軟件，由機構(gòu)的位置逆解，可得支鏈A在工作空間的剛度分布(圖8)。

圖8 支鏈A的剛度分布Fig.8 Stiffness distribution of branch chain A

由于支鏈B與支鏈A相同，可得支鏈B的靜力方程為

式中KB——支鏈B的剛度矩陣

fB——末端點o′所受外力在支鏈B上的分量

利用Matlab軟件，由機構(gòu)的位置逆解，可得支鏈B在工作空間的剛度分布(圖9)。

圖9 支鏈B的剛度分布Fig.9 Stiffness distribution of branch chain B

3.4.2R-R-R支鏈的剛度建模

單開鏈SOC1(記為支鏈Ⅱ)、SOC2(記為支鏈Ⅲ)均為R-R-R支鏈，且支鏈Ⅲ為冗余支鏈。

對支鏈Ⅱ進行運動方程的分析與建立，o′為動平臺中點，其虛擬彈簧模型如圖10所示。

圖10 支鏈Ⅱ虛擬彈簧模型Fig.10 Virtual spring model of branch chainⅡ

因此，由式(22)得支鏈Ⅱ的靜力方程為

式中K3——支鏈Ⅱ的剛度矩陣

f3——末端點o′所受外力在支鏈Ⅱ上的分量

利用Matlab軟件,由機構(gòu)的位置逆解，可得支鏈Ⅱ在工作空間的的剛度分布(圖11)。

圖11 支鏈Ⅱ的剛度分布Fig.11 Stiffness distribution of branch chain Ⅱ

3.4.3冗余支鏈的剛度建模

由于冗余支鏈在正常工作狀態(tài)下處于隨動狀態(tài)，所以在剛度建模時，無需考慮驅(qū)動副，3個R副均為被動副，其虛擬彈簧模型如圖12所示。

圖12 支鏈Ⅲ虛擬彈簧模型Fig.12 Virtual spring model of branch chain Ⅲ

因此，由式(22)得支鏈Ⅲ的靜力方程為

式中K4——支鏈Ⅲ的剛度矩陣

f4——末端點o′所受外力在支鏈Ⅲ上的分量

利用Matlab軟件，由機構(gòu)的位置逆解，求得支鏈Ⅲ在工作空間的剛度分布(圖13)。

圖13 支鏈Ⅲ的剛度分布Fig.13 Stiffness distribution of branch chain Ⅲ

4 剛度分析

4.1 不含和含冗余支鏈時機構(gòu)總剛度比較

利用式(23)，通過Matlab可以求出不含和含冗余支鏈時，機構(gòu)的總體剛度，如圖14所示。

圖14 不含和含冗余支鏈時機構(gòu)的剛度分布Fig.14 Stiffness distributions of PM without/with redundant branch chain

由圖14可知，當機構(gòu)存在冗余支鏈時，機構(gòu)在工作空間內(nèi)的總剛度增加，約提升了22%。

4.2 不含和含冗余支鏈時機構(gòu)扭轉(zhuǎn)剛度、線性剛度比較

由式(23)得到機構(gòu)整體的笛卡爾空間剛度矩陣K6×6；其主對角線前3項分別表示x、y、z方向的扭轉(zhuǎn)剛度，而后3項分別對應各方向的線性剛度，單均為N/m。

利用Matlab軟件，計算該2T1R并聯(lián)機構(gòu)在不含和含冗余支鏈時，機構(gòu)的扭轉(zhuǎn)剛度和線性剛度，如圖15、16所示。

圖15 不含和含冗余支鏈時機構(gòu)的扭轉(zhuǎn)剛度分布Fig.15 Torsional stiffness distributions of PM without/with redundant branch chain

圖16 不含和含冗余支鏈時機構(gòu)的線性剛度分布Fig.16 Linear stiffness distributions of PM without/with redundant branch chain

4.3 數(shù)值驗證

若取末端支鏈的坐標為P(0,0.067 m,0.3 m),其所在位置不含和含冗余支鏈兩種情況下的扭轉(zhuǎn)與線性剛度由Matlab導出，如表2所示。由于線性剛度遠大于扭轉(zhuǎn)剛度，可不再考慮冗余機構(gòu)對機構(gòu)的扭轉(zhuǎn)剛度的影響，即冗余支鏈提供該機構(gòu)更多的線性剛度，且由圖16b可知，x、z軸方向的坐標值越大，剛度越大，表明機構(gòu)向上運動時，剛度性能更好，動平臺更穩(wěn)定。

由表2可知，冗余支鏈Ⅲ使得機構(gòu)的線性剛度增加約23.7%，與4.1節(jié)中冗余支鏈Ⅲ對機構(gòu)總剛度提升22%相吻合。

表2 機構(gòu)的扭轉(zhuǎn)剛度和線性剛度Tab.2 Torsional and linear stiffness of PM

5 結(jié)論

(1)根據(jù)基于方位特征(POC)方程的并聯(lián)機構(gòu)拓撲設計理論和方法，提出一種空間兩平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)，其具有的優(yōu)勢包括：零耦合度使機構(gòu)具有符號式位置正解；3個SKC且驅(qū)動副分布在2個不同的SKC中，使機構(gòu)具有部分運動解耦特性；全部由低副(R、P)構(gòu)成，使機構(gòu)制造容易；被動冗余支鏈能避免奇異位置，改善剛度。

(2)基于機構(gòu)的符號式運動學，在工作空間中反映了笛卡爾空間剛度矩陣的分布，并通過Matlab得出在不含和含冗余支鏈兩種情況下機構(gòu)的剛度分布圖；由比較不同截面剛度性能可知，在x、z方向偏移越大，整體剛度性能越好。

(3)通過對比不含和含冗余支鏈機構(gòu)的整體剛度特性可知，加入冗余支鏈后機構(gòu)整體剛度特性提升23.7%，由于該冗余支鏈為3R支鏈，所以，機構(gòu)的線性剛度增加較為明顯，提升約22%。