零彎矩增量法在拱橋拱軸線優(yōu)化中的應(yīng)用

張家琪，李 威

（長沙理工大學(xué)土木工程學(xué)院 長沙410002）

0 引言

拱結(jié)構(gòu)與梁結(jié)構(gòu)相比，拱結(jié)構(gòu)最顯著的特點是在承受豎向荷載時，拱腳處會產(chǎn)生水平推力，該水平推力產(chǎn)生的彎矩可抵消由拱上荷載產(chǎn)生的彎矩。當(dāng)拱軸線與拱圈荷載壓力線重合時，拱圈內(nèi)只有軸力，而無彎矩和剪力，此時的拱軸線稱為合理拱軸線［1］。但在實際工程中，拱圈受恒載、活載、溫度變化、地基沉降和材料收縮等多種作用影響，這其中，除恒載外，其余的荷載均是不確定的，因此合理拱軸線也無法唯一確定?？紤]到拱橋，特別是大跨度拱橋，其恒荷載在所有荷載中所占比重較大，因此一般可用恒載壓力線作為合理拱軸線，優(yōu)化過程中就是拱軸線不斷地逼近恒載壓力線的過程。針對這一目標(biāo)，國內(nèi)外學(xué)者進行了許多研究［2-5］，且形成了四次樣條函數(shù)法［6］、三次樣條差值法［7］、加權(quán)能量方法［8］等多種優(yōu)化計算方法，且都能較好地實現(xiàn)拱軸線向合理拱軸線的逼近。

1 零彎矩增量法及拱軸線擬合

1.1 基本假定

⑴拱上建筑的結(jié)構(gòu)狀態(tài)不因拱軸線的變化而變化，即拱圈上荷載不變。

⑵只考慮拱圈和拱上建筑的自重恒載作用。

1.2 零彎矩增量法和曲線擬合

1.2.1 拱軸線離散

拱軸線離散時選取立柱與拱圈連接點作為分段劃分點，若拱上建筑主梁跨徑較大或存在主梁不等跨布置時，可在兩立柱中間添加分段劃分點，保證離散結(jié)果的準確和后期迭代收斂的精度，因拱圈為對稱結(jié)構(gòu)，取半跨計算，如圖1所示。實際工程中拱軸線多采用“五點重合法”［9］或多次拋物線確定，以某一較合理的拱軸線建立有限元模型，提取各分段劃分點處的剪力和軸力和拱圈各節(jié)點的初始坐標(biāo)。

圖1 半跨拱圈計算示意圖Fig.1 Half-span Arch Circle Calculation Diagram

1.2.2 計算拱圈各離散點縱坐標(biāo)增量

以初始拱軸線建立有限元模型，提取各分段節(jié)點處的軸力N和剪力V以及各分段軸線與水平線的夾角θ ，通過改變分段較高端點的縱坐標(biāo)，使該分段在軸力N和剪力V作用下由較高端點到較低端點的彎矩增量為0，以此得到分段端點的縱坐標(biāo)調(diào)整量。若分段數(shù)為n，任取一個分段為例，計算圖示如圖2所示。

圖2 拱圈分段內(nèi)力與彎矩示意圖Fig.2 Diagram of Internal Force and Bending Moment of Arch Ring Segment

其中i∈［1，n］，且i為整數(shù)。

求得所有離散分段的節(jié)點縱坐標(biāo)增量后，為保證拱圈線形的連續(xù)，計入各離散點縱坐標(biāo)增量的疊加效應(yīng)，則拱圈各離散點縱坐標(biāo)增量為：

1.2.3 迭代計算各節(jié)點縱坐標(biāo)

拱圈線形變化會造成拱圈內(nèi)力和各分段軸線與水平線夾角的改變，所以以初始拱軸線建立有限元模型后，需計算出拱圈各離散點的初始內(nèi)力以及各分段軸線與水平線的夾角，并按式⑷、⑸進行迭代計算，每計算一次都要輸出拱圈各離散點的內(nèi)力以及各分段軸線與水平線的夾角，作為下次迭代計算參數(shù)，直至拱圈彎矩滿足以下迭代終止條件［10］。

式中：Mi，j為迭代第i次時第j號離散點彎矩；Mi-1，j為迭代第i-1次時第j號離散點彎矩。

當(dāng)滿足該條件時，可認為拱圈受力已趨于穩(wěn)定。

當(dāng)滿足該條件時，可認為當(dāng)前拱圈線形，彎矩內(nèi)力趨于均勻。

當(dāng)滿足該條件時，可認為當(dāng)前拱圈線性的改變不利于拱圈的受力，拱軸線與恒載壓力線產(chǎn)生了更大的偏離，此時以第i-1次的迭代結(jié)果作為最終的優(yōu)化線形。

1.2.4 高次拋物線擬合

通過迭代計算所得的各離散點可以較好逼近拱圈恒載壓力線，但根據(jù)這些離散點繪制的拱軸線是一條不規(guī)則曲線，該拱軸線不能用明確的方法進行表示，實際工程中的施工放樣也不便進行。這類問題可通過曲線擬合進行解決，通過高次拋物線的擬合，將離散的數(shù)據(jù)點建立數(shù)據(jù)關(guān)系（數(shù)學(xué)模型），使優(yōu)化后的拱軸線的實際應(yīng)用性得到提高。

2 零彎矩增量法拱軸線優(yōu)化流程（見圖3）

圖3 零彎矩增量法優(yōu)化流程Fig.3 Optimization Flowchart of Zero Bending Moment Incremental Method

3 算例

某特大橋主拱圈為計算跨徑197.356 m 的無鉸箱型拱。矢跨比為1/5，拱軸線為懸鏈線，按拱頂、1/4 跨徑及拱腳截面重合為條件，拱軸系數(shù)m=1.543。將半跨拱圈軸線離散為11 個分段，拱軸系數(shù)m=1.543的拱軸線為初始拱軸線，初始拱軸線12個離散點的縱坐標(biāo)為Y0，采用零彎矩增量法優(yōu)化后的拱軸線離散點縱坐標(biāo)為Y，優(yōu)化拱軸線擬合為4 次拋物線所得拱軸線，其離散點的縱坐標(biāo)為Y4。各拱軸線坐標(biāo)如表1 所示，線形如圖4所示。

圖6 拱圈彎矩對比Fig.6 Arch Ring Bending Moment Comparison Chart

表1 拱圈離散點在各線形中的坐標(biāo)Tab.1 The Coordinates of the Discrete Points of the Arch Ring in Each Line

圖4 拱圈線形關(guān)系Fig.4 Arch Circle Linear Relationship

設(shè)計拱軸線方程為：

式中：f 為拱圈失高（m）；L 為拱圈計算跨徑（m）；m 為拱軸系數(shù)。

優(yōu)化拱軸線擬合為4次拋物線為：

以各拱軸線建立該特大橋有限元模型，有限元模型（以初始拱軸線為例）如圖5所示。在成橋恒荷載作用下，各拱軸線對應(yīng)的拱圈彎矩如圖6所示。

各拱軸線對應(yīng)拱圈最小和最大彎矩如表2所示。

圖5 某特大橋有限元模型Fig.5 Finite Element Model of a Bridge

表2 各拱軸線下最小及最大彎矩Tab.2 Minimum and Maximum Bending Moments under Each Arch Axis

實例計算結(jié)果表明，采用零彎矩增量法迭代優(yōu)化后，拱圈內(nèi)力趨于均勻、最大彎矩值明顯降低；采用4次拋物線擬合后拱軸線在成橋恒載作用下，最大彎矩比初始拱軸線在該荷載作用下的最大彎矩減小了62%。

4 結(jié)論

⑴零彎矩增量法可較好地實現(xiàn)拱軸線向恒載壓力線即合理拱軸線的逼近，通過計算和實例表明，經(jīng)過該方法優(yōu)化后，拱圈彎矩大幅減小且趨于均勻，其中拱腳位置處的彎矩優(yōu)化效果較明顯。

⑵通過對拱上建筑建立有限元模型來實現(xiàn)拱上荷載的精確模擬。這一點體現(xiàn)在即使是主梁采用簡直支體系，因拱圈承受荷載后發(fā)生變形，拱上立柱內(nèi)仍會有一定的彎矩產(chǎn)生，并傳遞至主拱圈。

⑶在成橋恒載作用下，4次拋物線擬合后拱軸線和迭代優(yōu)化后拱軸線的內(nèi)力狀態(tài)存在一定偏離，宜采用更高次拋物線或差值函數(shù)進行擬合，對比尋求擬合最優(yōu)解。