Burgers-Sharma-Tasso-Olver 方程的孤子分子及其半周期扭結(jié)子解

陳 立，費(fèi)金喜，施蘇廣

（麗水學(xué)院工學(xué)院，浙江麗水323000）

0 引言

由于孤子分子在光學(xué)系統(tǒng)[1-4]、Bose-Einstein凝聚態(tài)[5]、非線性光學(xué)等眾多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，研究人員一直在持續(xù)深入地研究孤子分子，并已經(jīng)建立了一系列孤子分子的理論體系[6-7]。最近呼吸孤子分子在鎖模光纖激光器實(shí)驗(yàn)中被觀察到[8]，這進(jìn)一步激發(fā)了大家探究孤子分子機(jī)理的興趣。孤子共振理論被廣泛應(yīng)用于各種可積系統(tǒng)中，通過改變孤子的共振條件，我們可以得到多種類型的共振激發(fā)模式。在此基礎(chǔ)上運(yùn)用線性疊加原理和Bell多項(xiàng)式構(gòu)造共振解[9]，并借助Hirota的直接方法和Backlund變換的手段，Lou等研究人員在Burgers方程和Sharma-Tasso-Olver（STO）方程中發(fā)現(xiàn)了孤波解的裂變和聚變[10]現(xiàn)象。結(jié)合速度共振機(jī)制，Lou等研究人員還得到了應(yīng)用于流體系統(tǒng)、非線性光學(xué)領(lǐng)域、5階KdV方程、KdV-Sawada-Kotera方程和KdV-Kaup-Kupershmidt（KdVKK）方程中的不同類型孤子分子，弄清了這些孤子分子的形成機(jī)理和發(fā)展過程。近年來也有不少學(xué)者從數(shù)學(xué)和物理不同維度出發(fā)，對(duì)不同耦合性Burgers系統(tǒng)和STO方程進(jìn)行了廣泛的研究，但是到目前為止，相關(guān)學(xué)者對(duì)（2+1）維BSTO方程的研究甚少。在本文中我們主要建立并求解了非耦合的（2+1）維BSTO方程的新型孤子分子，并找到半周期扭結(jié)子解。

1 （2+1）維BSTO方程和它的多孤子解

從（1+1）維 Burgers族方程[11-13]出發(fā)：

在文獻(xiàn)［14］中，我們將（1）式推廣到（2+1）維的形式：

取 n=2 時(shí)，（2）式可轉(zhuǎn)化為

而（3）式的拓展形式即為BSTO方程：

當(dāng)系數(shù) α，β，γ 取不同值時(shí)可以將（4）式轉(zhuǎn)化成不同類型的方程。如當(dāng) α=0，γ=0 時(shí)，（4）式轉(zhuǎn)化為（1+1）維Burgers方程；當(dāng) β=0，γ=0 時(shí)，（4）式轉(zhuǎn)化為 STO方程；當(dāng) β=0 時(shí)，（4）式轉(zhuǎn)化為（2+1）維 STO方程，如（3）式所示。

我們根據(jù)Backlund變換，得到方程(4)的解為

將（5）式代入（4）式得到

假定（6）式中奇性流形f滿足

式中 ai為任意常數(shù)，ki、pi為波數(shù)，wi為頻率，ηi為初相，波數(shù)、頻率滿足色散關(guān)系

將（8）式代入（7）式就得到BSTO方程的多孤子解

在這一章節(jié)中我們利用BSTO方程的多孤子解——式（9），求其在不同參數(shù)條件下的半周期扭結(jié)子解，并揭示它們的裂變和聚變現(xiàn)象。取N=2，并假定

將（8）式和（10）式代入（7）式有

式中 Ω=ακ（κ2-3k2）-2βkκ-γ（κ-P），ω=αk（k2-3κ2）-β（k2-κ2）-γ（k+ρ），a、k、κ、ρ、P、ζ、Z 為任意常數(shù)。將（11）式代入（5）式得到BSTO方程的解為：

明顯地，解（12）式存在奇點(diǎn)。為了消除奇點(diǎn)，我們利用共振條件，得到了BSTO方程的半周期解的簡單形式

式中

b為任意常數(shù)。

2 半周期扭結(jié)子解以及它們的裂變和聚變

圖 1 （a）（b）（c）分別表示 t=-4，0，4 時(shí)的波形。

選?。?）式中合適的參數(shù)，可以得到孤子的裂變和聚變結(jié)果。如取N=4，則（9）式可轉(zhuǎn)化為

圖2 （a）當(dāng)t=0時(shí)，孤子裂變圖；（b）當(dāng)y=0時(shí)，孤子裂變圖

圖3 （a）當(dāng)t=0時(shí)，孤子裂變圖;（b）當(dāng)y=0時(shí)，孤子裂變圖

圖4 （a）當(dāng)t=0時(shí)，孤子聚變圖;（b）當(dāng)y=0時(shí)，孤子聚變圖

圖5是（18）式的孤子聚變?nèi)S圖。比較圖5（b）與圖4（b）我們發(fā)現(xiàn)圖5（b）清楚地顯示了兩個(gè)半周期扭結(jié)子聚變成通常的扭結(jié)子的現(xiàn)象。

圖5 （a）t=0時(shí)孤子聚變圖;（b）y=0時(shí)，孤子聚變圖

3 BSTO方程的孤子分子

在這一章節(jié)中，我們利用速度共振條件，研究BSTO方程的孤子分子的特性。首先我們給出BSTO方程的波數(shù)、頻率共振條件為

其次將（8）式代入（19）式得到波數(shù) ki，kj關(guān)系式為

最后在 BSTO 方程的孤子分子式（9）中，取 N=2，且當(dāng) a1=a2=1，α=γ=1，β=-1，p1=2，p2=1，η1=0，η2=5時(shí)，再結(jié)合（8）式和（20）式，（9）式可轉(zhuǎn)化為

通過模擬計(jì)算得到（21）式在勢(shì)場ux中不同時(shí)刻的孤子分子圖（如圖6），演化過程表明兩孤子所形成的孤子分子在傳播過程中它們的相對(duì)位置在不同時(shí)刻始終保持不變。其內(nèi)在原因在于兩孤子的傳播速度滿足速度共振機(jī)制，即兩孤子的傳播速度相同。

圖6 當(dāng)N=2時(shí)，（21）式在勢(shì)場ux中不同時(shí)刻的孤子分子圖

若我們選取 N=4，a1=a2=1，α=γ=1，β=-1，p1=2，p2=1，p3=-2，p4=-1，η1=0，η2=5，η3=0，η4=5，再結(jié)合（8）和（20）式，則（9）式可轉(zhuǎn)化為

通過模擬計(jì)算得到（22）式在勢(shì)場ux中不同時(shí)刻的四孤子分子圖（如圖7），演化過程表明四孤子也有在傳播過程中它們之間的相對(duì)位置在不同的時(shí)刻始終保持不變的特性，這類同于N=2時(shí)的傳播情形。

圖7 當(dāng)N=4時(shí)，（22）式在勢(shì)場ux中不同時(shí)刻的孤子分子圖

4 結(jié)語

本文利用速度共振機(jī)制，得到了（2+1）維BSTO方程的解即二孤子分子和四孤子分子，并分析了其特性。接著討論了常規(guī)扭結(jié)子和半周期性扭結(jié)子之間的相互作用，即聚變和裂變現(xiàn)象。文中對(duì)孤子分子和扭結(jié)子的剖析為開展應(yīng)用物理實(shí)驗(yàn)和理論研究提供了一個(gè)新的思路，具有一定的科學(xué)指導(dǎo)意義。