基于Wiener 模型的非線性系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制

封曉宇 張冬雯

（1、河北科技大學(xué)電氣工程學(xué)院，河北 石家莊050018 2、河北科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北 石家莊050018）

預(yù)測控制是從工業(yè)控制過程中興起的一種新型計(jì)算機(jī)控制方法。因?yàn)轭A(yù)測控制的應(yīng)用價(jià)值較高且應(yīng)用范圍的較為廣闊，所以在控制領(lǐng)域預(yù)測控制成為熱門研究的對象[1-4]。

在實(shí)際生產(chǎn)過程中，非線性系統(tǒng)普遍存在且研究較多的，正是由于該原因，所以針對非線性系統(tǒng)預(yù)測控制目前已有很多研究成果[5]。文獻(xiàn)[6]針對一類非線性不確定系統(tǒng)，根據(jù)時(shí)滯和不確定性選擇了相關(guān)的李雅普諾夫函數(shù)，通過線性矩陣不等式和變量變換對設(shè)定的二次函數(shù)性能指標(biāo)的最小值進(jìn)行了求解，得到閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。

Wiener 模型之所以能夠在工業(yè)過程中得以廣泛應(yīng)用，是因?yàn)槠淠芎芎玫拿枋鲆淮箢惙蔷€性對象。文獻(xiàn)[7] 提出了基于Wiener 模型的改進(jìn)式非線性預(yù)測控制算法。Laguerre 級數(shù)展開式描述Wiener 模型的線性部分，在Wiener 模型的非線性部分利用靜態(tài)模糊模型進(jìn)行描述，此時(shí)的非線性系統(tǒng)則可采用線性預(yù)測控制的方法求解預(yù)測控制律，避免了直接對非線性系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化求解。

本文針對一類Wiener 模型描述的非線性時(shí)滯系統(tǒng)，研究了Wiener 模型的預(yù)測控制問題。采用Lyapunov-Krasovskii 函數(shù)設(shè)計(jì)了每個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律，在"min-max"的性能指標(biāo)下，求解了優(yōu)化問題，得到了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且具有較小保守性的充分條件。

1 問題描述

考慮如下離散狀態(tài)空間模型描述的非線性時(shí)滯系統(tǒng)：

其中，x（k）∈Rn為狀態(tài)向量，u（k）∈Rm為輸入向量，y（k）∈Rq為輸出向量，d 為時(shí)滯常數(shù)。

通過Wiener 模型來近似描述非線性時(shí)滯離散系統(tǒng)（1）。其中Wiener 模型是由一個(gè)線性單元與一個(gè)非線性單元串聯(lián)組成，動(dòng)態(tài)線性單元由狀態(tài)方程描述，靜態(tài)非線性部分由T-S 模糊模型進(jìn)行線性逼近。非線性時(shí)滯離散系統(tǒng)（1）可以被分割成j（j=1，…，L）個(gè)局部子系統(tǒng)，每一個(gè)子系統(tǒng)的模型用以下模糊模型表示：

在規(guī)則Rj下

IF z1（k）is Vj1，zg（k）is Vjg

THEN

其中A，B，Ad，C 為具有適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)陣，Z（k）=[z1（k）…zg（k）]T為前件變量，j∈（1，…，L），L 為模糊規(guī)則數(shù)，Vjα（α=1，…，g）為模糊合集；?j和σj0分別為在j 條規(guī)則下常數(shù)矩陣，ΔA，ΔB，ΔAd表示具有適當(dāng)維數(shù)的不確定時(shí)變矩陣，假設(shè)不確定性時(shí)變矩陣是范數(shù)有界的，且具有以下形式：

其中，H，Ea（a=1，2，3）表述具有適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)陣，F(xiàn)（k）是時(shí)變矩陣，表示模型的不確定性，且滿足FTF（K）≤I，其中I 表述具有適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣。

通過采用平均加權(quán)反模糊化，非線性時(shí)滯離散系統(tǒng)（1）最終可以表示為：

考慮無限時(shí)域的魯棒預(yù)測控制，設(shè)滾動(dòng)優(yōu)化的性能指標(biāo)為：

其中，Q＞0，R＞0 均為已知對稱正定權(quán)矩陣。最優(yōu)問題（5）是一個(gè)min-max 問題，表示所有可能的使得性能指標(biāo)取最壞情況下所有可能的不確定矩陣以及使最小化最差性能指標(biāo)時(shí)的輸入問題。

第j 條規(guī)則下的控制律為u（k+i）=Kjx（k+i），其中Kj為第j條規(guī)則下相應(yīng)的狀態(tài)反饋增益。

非線性時(shí)滯離散系統(tǒng)（1）的控制目標(biāo)是在每個(gè)采樣周期內(nèi)，通過求解優(yōu)化問題（5），得到非線性時(shí)滯離散系統(tǒng)（1）的模糊控制律u（k+i）=Kμx（k+i）。

為能夠得出結(jié)論，首先列出如下引理：

引理1：給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣G1，G2和對稱矩陣Ω，對所有滿足FT（t）F（t）≤I 的矩陣F（t），有

Ω+G1F（t）G2+G2TFT（t）G1T＜0

2 非線性預(yù)測控制器設(shè)計(jì)與算法

在每一采樣周期，為了得到無限時(shí)域性能指標(biāo)的上確界，采用了一個(gè)不等式條件，這時(shí)無限時(shí)域的優(yōu)化問題，就轉(zhuǎn)化為最小化上確界的最壞情況的求解問題，即“min-max”問題。然后通過利用線性矩陣不等式來給出狀態(tài)反饋模糊控制器的表達(dá)式。

非線性時(shí)滯離散系統(tǒng)（1）是由L 個(gè)子系統(tǒng)加權(quán)反模糊所得，故當(dāng)每個(gè)子系統(tǒng)都能使優(yōu)化問題（5）有解，那么整個(gè)非線性時(shí)滯離散系統(tǒng)的優(yōu)化問題必然有解。

針對非線性時(shí)滯離散系統(tǒng)（1），在每個(gè)子系統(tǒng)均采用如下Lyapunov-Krasovskii 函數(shù)：

其中Pj＞0，S＞0。

為保證非線性時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，在每個(gè)子系統(tǒng)的采樣周期內(nèi)對于所有可能的不確定時(shí)變矩陣和控制律，要求Lyapunov-Krasovskii 函數(shù)滿足下列約束：

要使無限時(shí)域性能指標(biāo)有界，則應(yīng)滿足收斂性，對式（7）從i=0 到i=∞進(jìn)行求和，此時(shí)可以得到無限時(shí)域性能指標(biāo)的上界，且無限時(shí)域性能指標(biāo)的最壞情況轉(zhuǎn)化為

故“min-max”問題則轉(zhuǎn)化為求解式（8）最小化的解。

定理：考慮時(shí)滯非線性離散系統(tǒng)（1），假設(shè)x（k）為采樣時(shí)間k 的測量狀態(tài)，若各子系統(tǒng)存在正定矩陣Tj＞0，Yj，W 以及標(biāo)量γ＞0，ε＞0，使得如下線性矩陣不等式有可行解：

則對于由式（2）和各子系統(tǒng)的控制律組成的子閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，并最小化性能指標(biāo)的最壞上界。且子系統(tǒng)的控制器的增益為Kj=YjTj-1（j=1，…，L）。

令Tj=γPj-1，W=γS-1帶入式（6），并利用Schur 補(bǔ)引理可得式（9）。

3 仿真實(shí)例

為證明上述方案的可行性，采用由Wiener 模型描述的連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器的放熱反應(yīng)過程進(jìn)行仿真驗(yàn)證。反應(yīng)器體積為V=100l，進(jìn)料流量為F=100l/min，反應(yīng)溫度為T=438.54，活化能E/R=1×104，進(jìn)料濃度CAf=1mol，反應(yīng)率常數(shù)K0=7.2×1010，熱傳遞系數(shù)hA=7×105cal/（min·K），冷入口溫度Tc=350K，進(jìn)料溫度Tf=350K，密度ρ=1×103g/l。通過辨識，采用MATLAB 軟件進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖1 所示，可以看出該算法能夠使得輸出穩(wěn)定至穩(wěn)定點(diǎn)。

圖1 反應(yīng)物濃度曲線

4 結(jié)論

本文以一類Wiener 模型描述的非線性系統(tǒng)為研究對象，結(jié)合預(yù)測控制原理與模糊理論，研究了基于線性矩陣不等式的預(yù)測控制器算法設(shè)計(jì)問題，利用Lyapunov 函數(shù)設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制律，推導(dǎo)出了閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定和性能指標(biāo)最優(yōu)化的充分條件，減少計(jì)算量，得到較小保守性。