具有脈沖時(shí)間窗口和壓縮脈沖強(qiáng)度系數(shù)的非線性脈沖控制系統(tǒng)

陳 賈 胡 進(jìn) 房 杰 蘆澤群

(1.重慶交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 重慶 400000)(2.重慶三峽學(xué)院 智能信息處理與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶 404100)

一、引言

(1.1)

其中，x∈Rn是狀態(tài)向量，f:Rn→Rn是連續(xù)非線性函數(shù)，滿足利普西茲條件：(1)f(0)=0，(2)f(x)-f(y)≤Lx-y,L=diag(L1,L2,…Ln)≥0,?x,y∈Rn,A∈Rn×n是一個(gè)常數(shù)矩陣.特別地，當(dāng)y=0，有f(x)≤Lx.

控制周期T>0,0≤τm

(1.2)

這里函數(shù)F(Jx(t-))定義為

(1.3)

其中H=diag(h1,h2,…,hn),-10表示系統(tǒng)能夠接受的最大興奮或者抑制脈沖強(qiáng)度.

在系統(tǒng)(1.2)中，我們不對(duì)脈沖強(qiáng)度J做限制，J可以對(duì)系統(tǒng)(1.2)起到興奮作用，也可以起到抑制作用.對(duì)比系統(tǒng)(1.1)，當(dāng)J=-1時(shí)，系統(tǒng)(1.1)中狀態(tài)值為x(t)=x(t-)+(-1)x(t-)=0.當(dāng)J=-1時(shí)，取H=0.1,系統(tǒng)(1.2)中狀態(tài)值為x(t)=x(t-)+0.1×(-1)x(t-)≠0.因此，函數(shù)F(Jx(t-))的設(shè)置對(duì)過(guò)強(qiáng)的脈沖起到了很好的抑制作用。

我們的主要目標(biāo)是找到一個(gè)T和恰當(dāng)?shù)腍，使得系統(tǒng)(1.2)穩(wěn)定.有關(guān)脈沖控制及其相關(guān)應(yīng)用的文獻(xiàn)，可以參閱文獻(xiàn)[4-13].

二、主要結(jié)果

引理2.1.對(duì)定義在(1.3)中的Jx(t-),我們有

F(Jx(t-))≤HJx(t-).

證明：

(1)jixi(t-)>0時(shí)，有

當(dāng)jixi(t-)≤Ci時(shí)，hi與jixi(t-)異號(hào)，有hi<0，則有hijixi(t-)≥hiCi,此時(shí)F(jixi(t-))=hijixi(t-).

當(dāng)jixi(t-)>Ci時(shí)，hi與jixi(t-)同號(hào)，有hi>0，則有hijixi(t-)>hiCi,此時(shí)F(jixi(t-))=hiCi

(2)jixi(t-)<0時(shí)，有

當(dāng)-Ci≤jixi(t-)時(shí)，hi與jixi(t-)異號(hào)，有hi>0,則有hijixi(t-)≥-hiCi,此時(shí)F(jixi(t-))=hijixi(t-).

當(dāng)jixi(t-)<-Ci時(shí)，hi與jixi(t-)同號(hào)，有hi<0,則有hijixi(t-)>-hiCi,此時(shí)F(jixi(t-))=-hiCi

綜上所訴，有:F(Jx(t-))≤HJx(t-).

通過(guò)上面引理，有

x(t)=x(t-)+F(Jx(t-))≤x(t-)+HJx(t-).

(2.1)

證明見文獻(xiàn)[3].

從前面的引理，我們可以得到定理2.3.

定理2.3.若存在常數(shù)g,ε>0和一個(gè)正定對(duì)稱矩陣P,有

則，原系統(tǒng)(1.2)指數(shù)穩(wěn)定.

證明：構(gòu)造下面Lyapunov函數(shù)

V(x(t))=x(t)TPx(t).

如果mT≤t

因此，我們有

V(x(t))≤V(x(mT))eg(t-mT).

傳統(tǒng)的對(duì)問(wèn)題認(rèn)知的方式可能阻礙一般創(chuàng)造力，因而，培養(yǎng)對(duì)問(wèn)題的創(chuàng)造性認(rèn)知非常重要。在認(rèn)識(shí)事物和問(wèn)題時(shí)，需要有意識(shí)地打破常規(guī)，深入挖掘問(wèn)題背后的實(shí)質(zhì)，從而重新審視問(wèn)題表征，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的“重定中心”。另外，培養(yǎng)多種創(chuàng)造性思維方式，如逆向思維、橫向思維、負(fù)向思維、發(fā)散思維等，培養(yǎng)認(rèn)知的靈活性、復(fù)雜性和多方位性。最后，賦予個(gè)體更多的解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)，在具體的問(wèn)題情境中訓(xùn)練創(chuàng)造性認(rèn)知習(xí)慣，也能夠起到提升一般創(chuàng)造力的作用。

2.2

假設(shè)t=mT+τm,由式子2.1,我們有

V(x(t))=(x(t-)+F(Jx(t-)))TP(x(t-)+F(Jx(t-)))≤x(t-)T(I+HJ)TPx(t-)(I+HJ)x(t-)≤x(t-)T(1+(hiji)max)TPx(t-)(1+(hiji)max)x(t-)=(1+(hiji)max)2V(x(t-)),

由文獻(xiàn)[3]可知，當(dāng)gT+2ln(1+(hiji)max)≤0,有

三、數(shù)值仿真

在這一節(jié)中，我們通過(guò)Lorenz系統(tǒng)和Chua系統(tǒng)來(lái)驗(yàn)證結(jié)果的有效性.在本節(jié)中，x取x=[x,y,z]T.

例3.1:考慮以下Lorenz系統(tǒng)

3.1

這里ξ,ρ,b>0是實(shí)參數(shù).令x∈[-d,d],d是一個(gè)正常數(shù).

所以有:f(X)2≤x2y2+x2z2≤d2y2+d2z2.

如果x(0)=[12,4,-7]T,從圖1我們得到|x|<25,所以我們?nèi)2=diag(0,d2,d2)=diag(0,625,625).

圖1 Lorenz系統(tǒng)X軸方向隨時(shí)間t的演變

圖2 Lorenz系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象

圖3 Lorenz系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線

通過(guò)計(jì)算，我們得到

令，ε2=110,g=120,T=0.02,

J=diag[720,840,510],H=diag[0.001,0.001,0.001].因此，系統(tǒng)1.2是指數(shù)穩(wěn)定的.受控Lorenz系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線如圖4所示.

圖4 受控Lorenz系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線

例3.2:考慮如下Chua系統(tǒng)

3.2

其中α,β是常數(shù)，g(x)定義為：

g(x)=bx+0.5(a-b)(|x+1|-|x-1|)，

其中a

因此有

我們可以得到：L2=diag(α2(a-b)2,0,0).

我們?cè)O(shè)置參數(shù)α=8.2626,β=16.3325,a=-1.24805,b=-0.76635,則系統(tǒng)(3.2)是混沌的.如圖5所示，我們可以看到初始點(diǎn)為x(0)=[12,4,-7]T的Chua系統(tǒng)是混沌的.圖6顯示出了Chua系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線.

圖5 Chua系統(tǒng)混沌現(xiàn)象

圖6 Chua系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線

我們?nèi)菀椎玫?，?=120,g=111,T=0.02,

根據(jù)定理2.3可知，系統(tǒng)(1.2)是指數(shù)穩(wěn)定的.

取J=diag[-750,-810,-480],H=diag[0.001,0.001,0.001].我們找到了一個(gè)T和恰當(dāng)?shù)腍來(lái)控制Chua系統(tǒng).受控Chua系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線如圖7示。

圖7 受控Chua系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線

四、總結(jié)

本文針對(duì)脈沖對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)改變過(guò)大時(shí)，可能影響系統(tǒng)性能的狀況，巧妙設(shè)計(jì)了一個(gè)緩沖系統(tǒng)，該方法能夠有效阻止系統(tǒng)的突發(fā)狀態(tài)快速改變，從而達(dá)到保護(hù)系統(tǒng)的目的.我們的方法可以應(yīng)用于其他非線性系統(tǒng)，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[14-16]。