水輪的混沌現(xiàn)象分析及數(shù)值仿真

王賀元, 張 熙

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

隨著洛倫茲非線性動力系統(tǒng)的面世,混沌現(xiàn)象越來越受關(guān)注,洛倫茲方程和類洛倫茲方程作為非線性動力系統(tǒng)的代表,引起了國內(nèi)外許多學(xué)者的普遍關(guān)注,并對其進(jìn)行了深入的研究。洛倫茲方程是在局部區(qū)域小氣候的背景下建立起來的簡化的三維非線性微分方程組,因為全球氣候變化的物理背景相當(dāng)復(fù)雜,無法進(jìn)行大量實驗,從而洛倫茲把其簡化為一種簡單的力學(xué)裝置,從中給出了對應(yīng)的洛倫茲方程[1-2]。

洛倫茲系統(tǒng)開啟了混沌研究的先河,基于洛倫茲系統(tǒng)的混沌研究可分為2種獨(dú)立的方法,一種是方程解的性質(zhì)研究,用計算機(jī)進(jìn)行數(shù)值模擬[1-5],另一種是混沌水輪物理實驗。幾十年來,先后有Miroslav Kolar、Leslie E. Matson、Ashish Bhatt等致力于混沌水輪實驗研究,從數(shù)學(xué)角度討論了水輪的混沌現(xiàn)象[6-8],但是此方面的中文文獻(xiàn)沒有涉及,而且沒有將物理現(xiàn)象與數(shù)學(xué)機(jī)理聯(lián)系起來。本文討論了水輪混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生與發(fā)展過程,并聯(lián)系實際物理現(xiàn)象,對水輪的混沌旋轉(zhuǎn)問題給出合理解釋。

1 混沌水輪裝置簡介與運(yùn)動特征分析

如圖1所示,混沌水輪裝置與古代的水車相似,水輪頂端有恒定水流注入掛在輪邊緣的水杯中。每只杯底部均有一小孔能恒定地出水。如果上面的水流速度很慢,頂部水杯內(nèi)水量少,因而不能克服輪軸摩擦力,水輪不會轉(zhuǎn)動;如果水流加快,隨著頂部水杯內(nèi)水的增多,帶動水輪開始勻速旋轉(zhuǎn);隨著水流繼續(xù)加大,旋轉(zhuǎn)便呈混沌狀態(tài),轉(zhuǎn)動的方向和速度會因系統(tǒng)內(nèi)在的非線性而出現(xiàn)復(fù)雜的運(yùn)動特性。

圖1 混沌水輪實驗裝置示意圖Fig.1 Schematic diagram of chaotic water wheel experimental device

2 混沌水輪的數(shù)學(xué)模型及特性

文獻(xiàn)[6]經(jīng)過一系列物理推導(dǎo),得到了混沌水輪簡化的動力學(xué)方程組為[9]

(1)

類洛倫茲系統(tǒng)(1)具有對稱性,即在變換(X,Y,Z)→(-X,-Y,Z)下具有不變性,即系統(tǒng)(1)關(guān)于Z軸具有對稱性,且這種對稱性對所有的系統(tǒng)參數(shù)均成立[10]。

3 平衡點(diǎn)及局部穩(wěn)定性

3.1 平衡點(diǎn)

3.2 穩(wěn)定性

|λE-J2|=λ3+(σ+2)λ2+(p+σ)λ+2σ(p-1)=0

(2)

此時p>1。

當(dāng)p繼續(xù)變大時,勢必出現(xiàn)轉(zhuǎn)折點(diǎn),當(dāng)p超過此值,特征根將出現(xiàn)復(fù)根,此時特征方程出現(xiàn)二重根,設(shè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)p為p1。

當(dāng)p1

當(dāng)p>p2時,特征方程存在實部為正的虛根,故此時平衡點(diǎn)不穩(wěn)定,存在Hopf分岔。

4 全局穩(wěn)定性分析

5 系統(tǒng)的動力學(xué)行為數(shù)值仿真及其分析

本節(jié)對系統(tǒng)(1)的動力學(xué)行為進(jìn)行數(shù)值仿真。固定系統(tǒng)參數(shù)σ=5,隨著p的增大,混沌水輪方程組的動力學(xué)行為發(fā)生了一系列變化,如出現(xiàn)了Hopf分岔和混沌等非線性現(xiàn)象。本文在MATLAB數(shù)學(xué)軟件中采用龍格-庫塔算法,對系統(tǒng)(1)求數(shù)值解,進(jìn)而畫出仿真圖,并以此揭示系統(tǒng)(1)的混沌學(xué)行為[15]。

圖2給出了當(dāng)σ=5,0≤p≤350時的分岔圖,圖3給出了上述范圍內(nèi)的最大李雅普諾夫指數(shù)。當(dāng)p1=1.058 45時系統(tǒng)(1)開始發(fā)生分岔,當(dāng)p2=15時產(chǎn)生混沌,混沌區(qū)在117.559≤p≤132時有一個較明顯的周期窗口。

圖2 當(dāng)σ=5,ρ=66時狀態(tài)變量y的分岔圖

圖3 當(dāng)σ=5,ρ=66時最大Lyapnov指數(shù)圖

系統(tǒng)(1)在進(jìn)入混沌狀態(tài)以后,吸引子將出現(xiàn)復(fù)雜的蝴蝶型,龐家萊截面也會隨之變得復(fù)雜。如圖4和圖5所示,取σ=5,ρ=66>15,得到吸引子和龐加萊截面,此時系統(tǒng)正處于混沌態(tài)。

圖4 當(dāng)σ=5,ρ=66時吸引子圖Fig.4 Subgraph of attraction when σ=5 and ρ=66

圖5 當(dāng)σ=5,ρ=66時龐加萊截面Fig.5 Poincaré cross section when σ=5 and ρ=66

取σ=5,ρ=16,系統(tǒng)(1)的功率譜和返回映射如圖6～圖7所示,此時系統(tǒng)已經(jīng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。

圖6 當(dāng)σ=5,ρ=66時的功率譜Fig.6 Power spectrum when σ=5 and ρ=66

圖7 當(dāng)σ=5,ρ=66時的返回映射Fig.7 Return mapping when σ=5 and ρ=66

6 結(jié) 論

本文通過對系統(tǒng)(1)解的研究和數(shù)值仿真,揭示了水輪模型混沌的數(shù)學(xué)機(jī)理,結(jié)合水輪實驗的物理現(xiàn)象,解釋了水輪的混沌旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。當(dāng)實驗裝置輪軸間摩擦力固定時,σ隨之固定,隨著注水速度的增大,p隨之增大。當(dāng)015時,系統(tǒng)(1)進(jìn)入混沌狀態(tài),水輪轉(zhuǎn)動的角速度和方向都具有隨機(jī)性和不可預(yù)測性,表現(xiàn)出極為復(fù)雜的運(yùn)動特性。本文將系統(tǒng)的數(shù)值仿真結(jié)果與物理背景緊密結(jié)合,從而揭示了水輪的混沌旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)機(jī)理。