消點法、添點法還原幾何體的直觀圖
2020-10-21 21:29:29許蘇華
學習周報·教與學 2020年12期
摘 ?要：通過消點法和添點法，可以大大簡化思維量，能夠高效地把空間幾何體的三視圖方便地還原成直觀圖，使得問題迎刃而解。
關鍵詞：消點法：添點法;空間幾何體的直觀圖
根據三視圖求原空間幾何體的表面積、體積、最長的棱長、直角三角形的個數、外接球的半徑等，是高考數學常見題型之一，也是空間想象能力較弱的同學易做錯的題型之一。數學家張景中院士在他的面積法的基礎上，發(fā)展出了消點法，并由此使得機器證明幾何得以實現。借鑒張院士的消點法思想，可以高效解決上述高考數學題型。下面先以2018年北京理科卷第5題為例，介紹如何“消點”“添點”。
例1 （2018年北京卷）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數為（）。
A.1 ? ? B. 2 C. 3 ? ? D. 4
解此題的關鍵是畫出該四棱錐的直觀圖，困擾學生的問題一是如何畫出？二是畫出之后能否判斷側面是否是直角三角形？在該四棱錐的三視圖中，沒有任何曲線，都是直線型線段，我們可以根據該三視圖中的長寬高，首先畫一個完整的正方體ABCD-A1B1C1D1，如圖1（1）所示。
根據題目所給的正（主）視圖，消去點B1和C1，如圖1（2）所示;根據側（左）視圖，消去點A1和B1，如圖1（3）所示;根據俯視圖，消去點B1和B，如圖1（4）所示;再根據正（主）視圖和俯視圖添加一個點M（AB的中點），如圖1（5）所示;最后把剩下的點D1、A、D、C和M，恰當地連接起來，構成的多面體就是原四棱錐，即四棱錐D1-AMCD，如圖1（6）所示，由正方體的性質，很快判斷出該四棱錐有三個側面是直角三角形。
上述依次根據正（主）視圖、側（左）視圖和俯視圖，依次在補全的長方體（或正方體）直觀圖中，去掉不存在的點的方法，稱為消點法。根據多個三視圖，在長方體直觀圖中，添加點的方法，稱為添點法。這里的“消點法”，和張院士的“消點法”有所不同，詳情見張院士的《幾何新方法和新體系》一書。
在例1中，直接根據該四棱錐的三視圖畫出其直觀圖并不難，因為該四棱錐的直觀圖比較容易畫出來。如果根據幾何體的三視圖，其直觀圖很難想象，也很難畫出來時，通過補全一個長方體（或正方體），然后利用消點法和添點法，就顯得簡單易行，再看兩道例題。
例2 如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個四面體的三視圖，則該四面體的表面積為（）。
A.8+8+4
B.8+8+2
C.2+2+
D.++
首先畫一個完整的正方體ABCD-A1B1C1D1，如圖2（1）所示;根據題目所給的正（主）視圖，消去點A和D，如圖2（2）所示;根據側（左）視圖，再消去點B，如圖2（3）所示;根據俯視圖，再消去點B1和D1，如圖2（4）所示;根據正（主）視圖和俯視圖添加一個點M（C1D1的中點），如圖2（5）所示;最后把剩下的點A1、C1、C和M，恰當地連接起來，構成的三棱錐A1-MCC1，如圖2（6）所示;最后算3個直角三角形的面積和1個等腰三角形的面積之和。
例3 某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體外接球的表面積為__________.
首先畫一個完整的正方體ABCD-A1B1C1D1，如圖3（1）所示;根據題目所給的正（主）視圖，消去點A1和D1，如圖3（2）所示;根據側（左）視圖，消去點A、B、A1和B1，如圖3（3）所示;根據俯視圖，不需要消去任何點，圖略;根據正（主）視圖和側（左）視圖，添加點M（A1A的中點）和N（B1B的中點），如圖3（4）所示;最后把剩下的點D、C1、C、M和N，恰當地連接起來，構成的四棱錐C1-MNCD，如圖3（5）所示;最后找出球心所在位置，根據等量關系建立方程（組）求得。
通過消點法和添點法，可以大大簡化思維量，能夠高效地把空間幾何體的三視圖方便地還原成直觀圖，使得問題迎刃而解。
作者簡介：
許蘇華，1983-08-25，男，漢，安徽，一級數學教師，研究方向：數學教育
