數(shù)形結(jié)合 促進(jìn)有效建模

金 勤

數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，形成的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

隨著新課程的不斷深入，在形成這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程中，不少教師對(duì)教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)、問(wèn)題解決方法的多樣化等格外重視，而忽視了學(xué)生思維的發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生在數(shù)學(xué)模型建立過(guò)程中感到枯燥而乏味。本文就新課程實(shí)施過(guò)程中，如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，促進(jìn)學(xué)生有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，使數(shù)學(xué)的抽象性與其符號(hào)簡(jiǎn)練的特性二者有機(jī)相融，談一些粗淺的認(rèn)識(shí)。

一、以形論數(shù)，促進(jìn)有效建模

數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程。其實(shí)是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程。學(xué)生首先將文字表述或是數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己的圖式，再由這一圖式轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)，從而建立起為學(xué)生自己所理解、接受的數(shù)學(xué)模型。但在常態(tài)教學(xué)過(guò)程中，我們常常發(fā)現(xiàn)低年級(jí)學(xué)生在充分感知后，教師忽視了引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)地進(jìn)行適當(dāng)?shù)某橄螅吣昙?jí)學(xué)生則直觀感知不夠充分，抽象的過(guò)程太早太快。因此，要讓學(xué)生在充分直觀感知的基礎(chǔ)上，先將抽象的語(yǔ)言文字轉(zhuǎn)化成圖形，然后學(xué)會(huì)使用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)圖形，降低學(xué)生思維的難度，從而有效地幫助學(xué)生理解知識(shí)、構(gòu)建模型。

課堂回放(一)：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第六冊(cè)第108頁(yè)的“集合”。

教師出示：三(1)班參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)課外興趣小組學(xué)生名單

師：從上表中，你能獲得哪些數(shù)學(xué)信息?你又能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題?

生1：參加語(yǔ)、數(shù)課外小組的同學(xué)一共多少人?

師：誰(shuí)能解決這個(gè)問(wèn)題?

生2：8+9=17(人)。

生3：8+9-3=14(人)。

師：究竟有多少人呢?誰(shuí)能用一幅圖來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題?看看誰(shuí)設(shè)計(jì)的圖既簡(jiǎn)單又明了。

[分析：在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師選擇了“數(shù)形結(jié)合”的方法，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從獨(dú)立到交叉重復(fù)的過(guò)程，為幫助學(xué)生理解韋恩圖，而引導(dǎo)學(xué)生用圖來(lái)表示。原以為在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)積累了解決此類問(wèn)題的方法，或是在頭腦中已經(jīng)建立了某種有效的圖式，只需發(fā)揮表象的作用，便能在“不重復(fù)、不遺漏”的基礎(chǔ)上輕松建立起“集合”這一模型。而實(shí)際教學(xué)情況并非如此，學(xué)生對(duì)集合的特性及集合內(nèi)各元素的意義等難以理解。]

課堂回放(二)：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第六冊(cè)第108頁(yè)的“集合”。

教師出示：下圖中的動(dòng)物至少可以分成幾類?

生1：我認(rèn)為可以分成兩類，一類是游的，是1、3、5、6、9；還有一類是飛的，包括2、4、7、8、10。

生2：老師，我也分成兩類，只是天鵝分到哪里去呢?

……

師：誰(shuí)能用一幅圖來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題?看看誰(shuí)設(shè)計(jì)的圖既簡(jiǎn)單又明了，并說(shuō)說(shuō)你是怎么想的。

[分析：“以形論數(shù)”正是將抽象的語(yǔ)言文字或是抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔明了的圖形，再由形的變化抽象為數(shù)學(xué)符號(hào)。在學(xué)生能用圖形驗(yàn)證出其結(jié)果正確后，教師及時(shí)地跟進(jìn)：“我們?nèi)绾斡盟闶奖硎灸?”這樣就把形和數(shù)緊密地聯(lián)系起來(lái)，從而清晰有效地構(gòu)建起“集合”這一模型及其各部分屬性。]

二、借數(shù)解形，促進(jìn)有效建模

學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，通常經(jīng)歷三個(gè)階段，即形象——表象——抽象。表象是形象思維與抽象思維間的橋梁，它是促進(jìn)形象思維向抽象思維的跨越與提升。表象是人腦對(duì)當(dāng)前沒(méi)有直接作用于感覺(jué)器官的，以前感知的事物形象的反映。

課堂回放(三)：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第十冊(cè)第132頁(yè)的“打電話”。

教師出示：一個(gè)合唱隊(duì)共有15人，暑假期間有一個(gè)演出，老師需要盡快通知到每一個(gè)隊(duì)員。如果用打電話的方式，每分鐘通知1個(gè)人，請(qǐng)幫助老師設(shè)計(jì)一個(gè)打電話的方案。

[分析：學(xué)生在設(shè)計(jì)方案過(guò)程中，能夠自覺(jué)地將抽象的語(yǔ)言文字轉(zhuǎn)化為自己知識(shí)結(jié)構(gòu)中的圖形展開(kāi)研究。但是，面對(duì)學(xué)生設(shè)計(jì)的繽紛的“形”，教師忽視了還需要提升，以至于在“直觀世界”里隨著學(xué)生的思維運(yùn)行而無(wú)法理清思路。]

課堂回放(四)：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第十冊(cè)第132頁(yè)的“打電話”。

教師出示：一個(gè)合唱隊(duì)共有15人，暑假期間有一個(gè)演出，老師需要盡快通知到每一個(gè)隊(duì)員。如果用打電話的方式，每分鐘通知1個(gè)人，請(qǐng)幫助老師設(shè)計(jì)一個(gè)打電話的方案。并完成下表：

[分析：同樣，學(xué)生在設(shè)計(jì)方案過(guò)程中，都能夠自覺(jué)地將語(yǔ)言文字轉(zhuǎn)化為圖形展開(kāi)研究。所不同的是，在第二次課堂教學(xué)過(guò)程中，教師有意識(shí)地設(shè)計(jì)了這樣一張表格，使學(xué)生在頭腦中形成相關(guān)的圖形表象之際及時(shí)地進(jìn)行抽象，獲得其潛隱著的共同的本質(zhì)特性。再以此類推，或可用算式計(jì)算所得，這就是數(shù)學(xué)模型。這個(gè)模型的構(gòu)建，同樣可以支撐學(xué)生在解決后續(xù)問(wèn)題過(guò)程中的數(shù)學(xué)思考。]

三、數(shù)形相融，促進(jìn)有效建模

從數(shù)的認(rèn)識(shí)到扳手指計(jì)算，從數(shù)學(xué)模型的由來(lái)到數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，都離不開(kāi)思維的運(yùn)行。無(wú)論是從形象思維到表象思維再到抽象思維，整個(gè)過(guò)程中都滲透著由數(shù)思形、由形思數(shù)、數(shù)形相融、數(shù)形相通的數(shù)形結(jié)合思想。

課堂回放(五)：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊(cè)第47頁(yè)的練習(xí)。

出示：李大爺家有一塊菜地，這塊菜地的面積是多少?

[分析：我們?cè)谟?jì)算這一組合圖形時(shí)，可以將這組合圖形分成兩個(gè)長(zhǎng)方形，一個(gè)長(zhǎng)方形面積為21×9，另一個(gè)長(zhǎng)方形面積為19×9。于是，這組合圖形的面積計(jì)算便演變成了21×9+19×9=(21+19)×9。從而解釋證明了乘法分配律，這便是數(shù)與形的對(duì)照和交融。]

課堂回放(六)：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊(cè)第121頁(yè)的練習(xí)。

教師出示：要在五邊形的水池邊擺上花盆，使每一邊都有4盆花，可以怎樣擺?至少需要擺多少盆?

師：在一個(gè)五邊形水池邊上擺花盆，每邊擺4盆，可以怎樣擺呢?

生1：至少要20盆，每邊擺4盆，有5條邊也就是5個(gè)4，4×5=20(盆)。(圖一)

生2：不對(duì)。在擺的時(shí)候，頂點(diǎn)的這一盆既是一條邊上的起點(diǎn)，也是另一條邊上的終點(diǎn)，所以應(yīng)該是15盆。(圖二)

生3：我們可以看成每邊擺4盆，5條邊，就有4×5=20(盆)，其中每個(gè)頂點(diǎn)上都重復(fù)計(jì)算了，要將這5盆去掉，所以是20-5=15(盆)。(圖三)

生4：我們根據(jù)剛才這位同學(xué)的思路，可以看成每邊上擺2盆，那么5條邊就是2×5=10(盆)，再加上每個(gè)頂點(diǎn)處擺的1盆，就一共有5+10=15(盆)。(圖三)

生5：我可以把它看成底邊上擺4盆，兩條邊上擺2盆，兩條邊上擺3盆，頂點(diǎn)上擺一盆，一共是4+2+2+3+3+1=15(盆)。(圖四)

……

師：你能否發(fā)現(xiàn)解決這類問(wèn)題要注意些什么?

生6：無(wú)論是幾邊形，都要注意每頂點(diǎn)上的花盆不能重復(fù)擺……

［分析：將奧數(shù)訓(xùn)練中的“植樹問(wèn)題”移到教材中，原本只需少數(shù)人掌握，而如今需要全班學(xué)生去了解，去構(gòu)建這種模型。于是，解決此類問(wèn)題最為有效的方法是我們思考的關(guān)鍵，而“數(shù)形結(jié)合”顯然是最有助于學(xué)生理解此類問(wèn)題的有效途徑。通過(guò)借助圖形，充分感知，在全方位、多角度思考過(guò)后，學(xué)生能獨(dú)立地對(duì)此類問(wèn)題以多種策略進(jìn)行充分的解釋。]

總之，在實(shí)施新課程過(guò)程中，我們?cè)谂?chuàng)設(shè)情境、強(qiáng)化解決問(wèn)題策略多樣化的同時(shí)，也應(yīng)該將傳統(tǒng)的數(shù)形結(jié)合思想滲透于其中，引導(dǎo)學(xué)生用自己知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中的數(shù)、式、形、表格、圖像等去描述所發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型，在豐富感知的基礎(chǔ)上，積極地揭示數(shù)學(xué)內(nèi)在的規(guī)律，用簡(jiǎn)約、深刻的數(shù)學(xué)語(yǔ)言建構(gòu)起抽象的數(shù)學(xué)模型，自始至終享受著簡(jiǎn)約與抽象的數(shù)學(xué)之美。