基于多重馬氏鏈模型的宿州市PM2.5值預(yù)測(cè)模型

洪佳音 朱少娟

[摘要]隨著我國綜合國力的提升，很多發(fā)達(dá)國家曾經(jīng)面臨的問題現(xiàn)在也出現(xiàn)在我們周圍，空氣污染成為現(xiàn)在人們關(guān)心的重點(diǎn)。PM2.5是指環(huán)境空氣中當(dāng)量值小于等于2.5微米（um）的顆粒物，也稱細(xì)顆粒物。PM2.5直徑非常小，但是活性很強(qiáng)，它的表面容易攜帶有毒有害的物質(zhì)，PM2.5懸浮在空氣中，能夠通過肺泡進(jìn)入到人體的更深處，通過血液循環(huán)對(duì)身體造成一些不可預(yù)知的影響。因此，PM2.5對(duì)人們的健康和空氣質(zhì)量的影響非常大。近年來PM2.5逐漸被大眾熟知，PM2.5的濃度也被視為評(píng)判空氣質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，了解其在空氣中的變化趨勢(shì)，對(duì)制定合理的治理機(jī)制具有很大意義。

隨著我國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，人們對(duì)好的生活環(huán)境的訴求愈加強(qiáng)烈，PM2.5進(jìn)入大家視線并且很快成為現(xiàn)在中國普遍關(guān)心的空氣污染問題。本文我們針對(duì)PM2.5做了以下研究：

首先，基于多重馬氏鏈建立PM2.5等級(jí)預(yù)測(cè)模型。本文根據(jù)大氣污染物濃度限值將PM2.5日平均濃度數(shù)據(jù)分級(jí)，并建立多重馬氏鏈預(yù)測(cè)模型。然后利用一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，通過C-K方程對(duì)模型的有效性進(jìn)行檢驗(yàn)。最后根據(jù)多重馬氏鏈的遍歷性得到穩(wěn)態(tài)分布和重現(xiàn)期。本文以宿州市PM2.5數(shù)據(jù)為例，對(duì)PM2.5污染等級(jí)進(jìn)行預(yù)測(cè)。結(jié)果表明：該多重馬氏鏈模型用于PM2.5等級(jí)預(yù)測(cè)是有效的。

[關(guān)鍵詞]：PM2.5;多重馬氏鏈;宿州市

1.基于重馬爾科夫鏈PM2.5的預(yù)測(cè)

空氣污染預(yù)測(cè)的模型有很多，比如：灰色預(yù)測(cè)模型]時(shí)間序列模型等。本文將采用一種隨機(jī)過程模型：馬爾科夫鏈模型來預(yù)測(cè)PM2.5污染。

1.1多重馬爾科夫鏈的基本理論

隨機(jī)過程研究的是隨時(shí)間變化的隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)現(xiàn)象是事情發(fā)生之前不可預(yù)測(cè)的現(xiàn)象。隨機(jī)過程應(yīng)用領(lǐng)域廣有：氣象預(yù)報(bào)，通信工程經(jīng)濟(jì)分析等。許多領(lǐng)域都會(huì)根據(jù)隨機(jī)過程的理論建立不同的數(shù)學(xué)模型[2。隨機(jī)過程嚴(yán)格的定義如下。

定義1.1.13]設(shè)（2，y，P）是一個(gè)概率空間，其中e為樣本空間，y為樣本空間g上的一個(gè)o域，P為定義在業(yè)上的一個(gè)概率函數(shù)，設(shè)TcR為實(shí)數(shù)集.設(shè)X（t，o）為定義在二元空間TxQ上的函數(shù)，若對(duì)任一參數(shù)1eT，X（t，o）都是（2，Y，P）上的隨機(jī)變量。則稱{X（t，）tET，oe2}是概率空間（2，，P）上的隨機(jī)過程，簡(jiǎn)記為{X（1）tET}或x}

定義中的T稱為參數(shù)集或參數(shù)空間.給定1eT，X（t，o）為隨機(jī)變量，稱為{X（1）teT}在t時(shí)刻的狀態(tài)，所有可能狀態(tài)的集合構(gòu)成狀態(tài)空間（狀態(tài)集）E。參數(shù)集和狀態(tài)集既可以是離散的，也可以是連續(xù)的。

馬爾科夫過程是一種重要的隨機(jī)過程，它是俄國數(shù)學(xué)家馬爾科夫最早研究并命名的。我們把參數(shù)集為離散集，狀態(tài)集也為離散集的馬爾科夫過程稱為馬爾科夫鏈[4]，定義如下：

有關(guān)，這種性質(zhì)稱為馬爾科夫的無后效性，簡(jiǎn)稱馬氏性。簡(jiǎn)單來講，馬氏性就是己知現(xiàn)在的狀態(tài)，將來要達(dá)到的狀態(tài)與過去的“經(jīng)歷”無關(guān)[5]。

定義1.1.316]設(shè){X，1=0，l，2，一為一個(gè)馬爾科夫鏈，其狀態(tài)集為E，稱P{X=jX，=}為馬爾科夫鏈在時(shí)刻t從狀態(tài)出發(fā)一步到達(dá)狀態(tài)j的條件概率為一步轉(zhuǎn)移概率，詹稱轉(zhuǎn)移概率，記為P，（1）。

轉(zhuǎn)移概率P，（1）i，jEE可以排列成一個(gè)轉(zhuǎn)移概率矩陣P=（p，（D），jEE轉(zhuǎn)移概率矩陣具有如下性質(zhì)：

根據(jù)一步轉(zhuǎn)移概率，可以得到m步轉(zhuǎn)移概率[7]

將其改寫為n步轉(zhuǎn)移概率矩陣的形式如下：

式（1.1）式（1.2）簡(jiǎn)稱C-K方程，它揭示了P和plo之間的關(guān)系。

則稱此鏈具有遍歷性，并且各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率

此時(shí)所得的穩(wěn)態(tài)概率分布也為平穩(wěn)分布，用4;表示從狀態(tài)j出發(fā)再回到狀態(tài)歹所用的平均時(shí)間，即狀態(tài)j的重現(xiàn)期。若一個(gè)馬爾科夫鏈?zhǔn)潜闅v的，則可得到穩(wěn)態(tài)概率與重現(xiàn)期的關(guān)系：

1.2離散參數(shù)馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型的建立

1.2.1狀態(tài)集的分類

馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性與狀態(tài)集的科學(xué)劃分有著緊密聯(lián)系。下面介紹三種常用的狀態(tài)集劃分方法。

（1）根據(jù)人們?cè)谏钪械慕?jīng)驗(yàn)，對(duì)事物的認(rèn)識(shí)和了解，從而對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行等級(jí)劃分。

比如：空氣污染物等級(jí)的劃分，太湖流域梅雨類別的劃分。

根據(jù)樣本均值X和均方差s構(gòu)造指標(biāo)值的變化區(qū)間.比如將指標(biāo)值劃分為五個(gè)區(qū)間：

若研究對(duì)象與時(shí)間順序相關(guān)，則可采用有序樣本分類法。即通過構(gòu)建F統(tǒng)計(jì)量，來尋求最優(yōu)分割點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)有序樣本的分類。

1.2.2馬氏性的檢驗(yàn)

利用馬爾科夫鏈模型正確預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)是對(duì)該隨機(jī)過程進(jìn)行馬爾科夫性檢驗(yàn)"。

將得到的數(shù)據(jù)按照一定的分類法進(jìn)行分類，得到一串指標(biāo)值序列x如，%，其中x，EEkl，2，一，.N}，下面使用X～統(tǒng)計(jì)量

來檢驗(yàn)隨機(jī)過程{{}是否具有馬爾科夫性。其中，f，ijEE表示從狀態(tài)i經(jīng)過一步到達(dá)狀態(tài)j的頻數(shù)，將轉(zhuǎn)移頻數(shù)排列成轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣

將稱為“轉(zhuǎn)移概率”。事實(shí)上，它是一步轉(zhuǎn)移頻率。由頻率的穩(wěn)定性可知，當(dāng)N充分大時(shí)，轉(zhuǎn)移頻率可以用來估計(jì)轉(zhuǎn)移概率。為簡(jiǎn)單起見，這里用轉(zhuǎn)移概率的記號(hào)砌來表示轉(zhuǎn)移頻率，且稱它為“轉(zhuǎn)移概率”。

將稱為“邊際概率”，口，事實(shí)上，它是邊際頻率。由頻率的穩(wěn)定性可知，當(dāng)N充分大時(shí)，邊際頻率可以用來估計(jì)邊際概率。

當(dāng)n充分大時(shí)，此統(tǒng)計(jì)量服從自由度為（v-I}的X～分布。在給定的顯著性水平@下，若r2（V一IP則認(rèn)為該隨機(jī)過程{X}具有馬氏性，可以建立馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型。

1.3基于離散參數(shù)馬爾科夫鏈的宿州市PM2.5預(yù)測(cè)

我們從網(wǎng)站"2搜集宿州市2017年5月18至2019年5月26日的PM2.5日平均濃度數(shù)據(jù)，PM2.5日平均濃度數(shù)據(jù)是根據(jù)當(dāng)天環(huán)保總站每小時(shí)的數(shù)據(jù)計(jì)算求出的平均數(shù)據(jù)。PM2.5污染等級(jí)是根據(jù)《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）技術(shù)規(guī)定（試行）》13！中大氣污染物項(xiàng)目濃度限值進(jìn)行劃分的，即依據(jù)PM2.5日平均濃度限值將PM2.5污染劃分為“優(yōu)”，“良”，“輕度污染”，“中度污染”“重度污染”和“嚴(yán)重污染”6個(gè)等級(jí)，分別用數(shù)1，2，3，4，5，6表示，詳見表1.1。

根據(jù)表1.1，將宿州市PM2.5日平均濃度數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)為不同的PM2.5污染等級(jí)，得到表1.2。

通過分析，該市PM2.5日平均濃度為58.18.g/m'，低于我國《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)（G3095-2012）》中二級(jí)PM2.5日平均濃度限值754g/m'，高于世界衛(wèi)生組織在2005年制定的PM2.5標(biāo)準(zhǔn)限值（25pg/m'）。該市2017年5月18日至2019年5月26日共計(jì)746天中PM2.5各等級(jí)出現(xiàn)的天數(shù)及所占百分比見表1.3。

由表1.3可知，宿州市2017年5月1日至2019年5月26日期間，PM2.5日平均濃度處于2等級(jí)較多，即PM2.5污染等級(jí)處于“良”的天數(shù)占整體的51.3%.其次是1等級(jí)，在檢測(cè)的746天中，有105天處于3等級(jí)，占整體的14.1%，3等級(jí)對(duì)應(yīng)”輕度污染”，對(duì)于健康人群會(huì)出現(xiàn)刺激癥狀.在統(tǒng)計(jì)的746天中，6等級(jí)即PM2.5污染為“嚴(yán)重污染”出現(xiàn)1天，這1天對(duì)人的危害是非常大的。

每一天的等級(jí)是一個(gè)隨機(jī)變量，746天的等級(jí)構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過程{X，t=1.746，表1.2是該過程的一次實(shí)現(xiàn)，其狀態(tài)集E=1.23.4.6}，使用x？統(tǒng)計(jì)量（式（1.4））來檢驗(yàn)過程{x}是否具有馬氏性。根據(jù)表1.2可得一步轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣（1.5）。

其中，$;表示從等級(jí)i一步轉(zhuǎn)移到等級(jí)J的天數(shù)。

從而，宿州市PM2.5污染等級(jí)的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

其中，p，表示等級(jí)i一步轉(zhuǎn)移到等級(jí)]的概率。

利用一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣中的數(shù)據(jù)，根據(jù)式（1.4）計(jì)算得出x？對(duì)于給定顯著性水平Q=0.05，查表可知，表明該隨機(jī)過程具有馬氏性，可以建立馬爾科夫鏈模型進(jìn)行PM2.5污染等級(jí)預(yù)測(cè)。

由C-K方程（式（1.2））得到兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣p（2）和三步轉(zhuǎn)移概率矩陣pl）

其中，p}表示等級(jí)i兩步轉(zhuǎn)移到等級(jí)j的概率;PP表示等級(jí)i三步轉(zhuǎn)移到等級(jí)J的概率。

運(yùn)用馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型P、p（2）、p），我們對(duì)宿州市2019年6月1日、2日、3日的PM2.5污染等級(jí)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

根據(jù)網(wǎng)站數(shù)據(jù)顯示，2019年5月31日宿州市PM2.5等級(jí)為|，在一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P中狀態(tài)1-步到達(dá)狀態(tài)1的概率P1最大，其值為0.615，表明6月18PM2.5等級(jí)為1，在6月18PM2.5等級(jí)為1的可能性最大，即預(yù)測(cè)等級(jí)為1。2019年6月1日該市PM2.5日平均濃度為294g/m'，據(jù)表1.1可知該天PM2.5等級(jí)為1，預(yù)測(cè)等級(jí)與當(dāng)天PM2.5實(shí)際等級(jí)是吻合的。

在兩步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P（2）中，2019年5月31日的PM2.5等級(jí)為I經(jīng)過兩步到達(dá)等級(jí)2的概率p悅最大且為0.4981，即6月2日預(yù)測(cè)等級(jí)為2。2019年6月2日該市PM2.5日平均濃度為39g/m'，PM2.5等級(jí)為2，預(yù)測(cè)等級(jí)與當(dāng)天PM2.5實(shí)際等級(jí)一致市PM2.5日平均濃度為39.ug/m'，PM2.5等級(jí)為2，預(yù)測(cè)等級(jí)與當(dāng)天PM2.5實(shí)際等級(jí)一致。

在三步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P（3）中，2019年5月31日的.PM2.5等級(jí)1經(jīng)過三步到達(dá)等級(jí)2的概率pl2'最大，其值為0.5425，即6月3日預(yù)測(cè)等級(jí)為2。據(jù)表1.1可知2019年6月3日PM2.5實(shí)際等級(jí)為2，預(yù)測(cè)等級(jí)符合實(shí)際。因此，該馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型是有效的，可以利用該模型對(duì)宿州市PM2.5未來等級(jí)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

根據(jù)三步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P（3）的概率p？都大于0，即存在正整數(shù)3，對(duì)任意的ijeE，有們>0。根據(jù)定理1.1.2可知該馬爾科夫鏈具有遍歷性。根據(jù)式（1.3）可計(jì)算得出唯一解：

將式（1.7）與表1.3中PM2.5各等級(jí)所占百分比進(jìn)行比較分析，可知宿州市若按現(xiàn)有狀況發(fā)展下去，在未來1，2，3等級(jí)出現(xiàn)的百分比將有所增加，增幅分別為0.3%，0.93%，0.34%，即空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)、良和輕度污染的概率都有小幅上升，意味著宿州市空氣質(zhì)量在朝好的方向發(fā)展;4等級(jí)出現(xiàn)的百分比略微下降，降幅為0.13%，即空氣質(zhì)量等級(jí)為中度污染的概率有所下降，這從側(cè)面印證未來宿州市的空氣質(zhì)量有所好轉(zhuǎn)。5，6等級(jí)出現(xiàn)的概率幾乎保持穩(wěn)不變，表明未來宿州市出現(xiàn)重度污染和嚴(yán)重污染的概率與過去一段時(shí)間持平。根據(jù)各狀態(tài)的重現(xiàn)期，可以預(yù)測(cè)在未來長期過程中該城市出現(xiàn)2等級(jí)的可能性最大，平均每隔2.271天出現(xiàn)一次。出現(xiàn)3等級(jí)的概率次之，平均每隔3.685天出現(xiàn)一次。此外，平均每隔70.42天出現(xiàn)一次出現(xiàn)6等級(jí)。

本章根據(jù)大氣污染物PM2.5日平均濃度限值，將宿州市2017年5月1日至2019年5月26日的PM2.5日平均濃度數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，采用離散參數(shù)馬爾科夫鏈建立PM2.5預(yù)測(cè)模型，并對(duì)該預(yù)測(cè)模型的馬氏性進(jìn)行PM2.5檢驗(yàn)。最后根據(jù)馬爾科夫鏈的遍歷性求出穩(wěn)態(tài)分布，并基于此對(duì)未來宿州市PM2.5等級(jí)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)結(jié)果表明：宿州市未來PM2.5污染狀態(tài)略微有所好轉(zhuǎn)，但是PM2.5重度污染和嚴(yán)重污染的概率幾乎沒有降低。因此建議環(huán)境保護(hù)部門應(yīng)該加大環(huán)境治理力度，采取更加有效的措施，減少PM2.5嚴(yán)重污染的天數(shù)，讓優(yōu)質(zhì)環(huán)境的天數(shù)更多，為人們創(chuàng)造一個(gè)健康的生活環(huán)境。

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