廣義坐標(biāo)及其選取

石小寧

摘要：介紹廣義坐標(biāo)的概念及其在動(dòng)力學(xué)和靜力學(xué)中的選取方法。

關(guān)鍵詞：廣義坐標(biāo);自由度;虛功原理

1687年，牛頓《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書(shū)的出版，標(biāo)志著經(jīng)典力學(xué)的正式建立，成為研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)的有力工具，產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。但是經(jīng)典力學(xué)在分析具體運(yùn)動(dòng)時(shí)也有其不足之處，它是一門矢量力學(xué)，在處理問(wèn)題時(shí)側(cè)重于力和加速度等物理量的矢量分析，而且使用傳統(tǒng)的坐標(biāo)系，因此在數(shù)學(xué)分析上比較繁瑣。牛頓以后的科學(xué)家為了克服上述缺陷，在研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)，一方面?zhèn)戎赜谟霉湍芰康葮?biāo)量來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng);另一方面，選取完全獨(dú)立的廣義坐標(biāo)來(lái)替代傳統(tǒng)意義的坐標(biāo)，使得運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)目變少，在這個(gè)基礎(chǔ)上逐漸發(fā)展出了一個(gè)新的力學(xué)分支——分析力學(xué)。下面簡(jiǎn)單討論一下分析力學(xué)中的廣義坐標(biāo)及其選取的問(wèn)題。

1 廣義坐標(biāo)

研究物體的運(yùn)動(dòng)，就需要確定物體在空間中的位置。在數(shù)學(xué)上，就是建立坐標(biāo)系并用相應(yīng)的量來(lái)表示，這些量就是坐標(biāo)。一般情況下，坐標(biāo)都是表示距離和方位的量，如長(zhǎng)度和角度。傳統(tǒng)的坐標(biāo)系，如笛卡兒坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系都是這種表示方法。

但是，表示物體在空間中的位置，除了用線量和角量以外，還可以用許多其它的量來(lái)表示，這些量不再是傳統(tǒng)意義上的表示距離和方位的量，它可能是面積、體積等，甚至電極化強(qiáng)度、磁化強(qiáng)度等都可以作為表示物體空間位置的坐標(biāo)。由于這樣的坐標(biāo)不同與以往用線量和角量表示的坐標(biāo)，而且這種坐標(biāo)與具體的坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，因此，把這種坐標(biāo)稱為廣義坐標(biāo)。

廣義坐標(biāo)的選取沒(méi)有什么特定的限制，主要取決于研究對(duì)象的自由度，也就是它的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。廣義坐標(biāo)的數(shù)目必須與自由度的數(shù)目相一致。由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)體系，用傳統(tǒng)直角坐標(biāo)系的話，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x_i，y_i，z_i）共三個(gè)坐標(biāo)，因此，n個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間中需要3n個(gè)坐標(biāo)來(lái)表示它的位置。但當(dāng)它受到k個(gè)約束時(shí)，以穩(wěn)定約束為例，每一個(gè)約束都可以表示成一個(gè)約束方程：

通過(guò)約束方程，可以將其中任一個(gè)坐標(biāo)解出，因而，三個(gè)坐標(biāo)中就有一個(gè)是不獨(dú)立的。由此，對(duì)于有k個(gè)約束的力學(xué)體系，真正的獨(dú)立坐標(biāo)只有：

s就稱為力學(xué)體系的自由度，它確定了獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。當(dāng)力學(xué)體系的自由度s確定后，就可以選擇s個(gè)完全獨(dú)立的量來(lái)表示力學(xué)體系在空間中的位置，這些量就是廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)與傳統(tǒng)坐標(biāo)（如直角坐標(biāo)）滿足變換關(guān)系為：

所以也可以認(rèn)為，當(dāng)一個(gè)力學(xué)體系不受到約束的情況下，傳統(tǒng)意義上的坐標(biāo)，如直角坐標(biāo)、球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)等也就是廣義坐標(biāo)。

2 動(dòng)力學(xué)中廣義坐標(biāo)的選取

先討論力學(xué)體系在受到完整約束情況下的動(dòng)力學(xué)過(guò)程中廣義坐標(biāo)的選取問(wèn)題。

從上面的分析可知，選取一個(gè)力學(xué)體系的廣義坐標(biāo)，首先必須要確定它的自由度。力學(xué)體系的形式主要有以下幾種：⑴質(zhì)點(diǎn)，⑵質(zhì)點(diǎn)組，⑶剛體，⑷剛體系，⑸質(zhì)點(diǎn)組與剛體系組成的體系。其中質(zhì)點(diǎn)組、剛體系、質(zhì)點(diǎn)組與剛體系組成的體系除了有外在的約束外，還可能存在內(nèi)在對(duì)象之間的約束，要視具體的約束情況而定。這里只介紹一下質(zhì)點(diǎn)和剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中自由度的確定方法，這也是最常遇到的情況。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在不受約束的情況下，它的自由度是3，當(dāng)它被限制在面上（曲面或平面）運(yùn)動(dòng)時(shí)，自由度為2，當(dāng)被限制在線上（直線或曲線）運(yùn)動(dòng)時(shí)，自由度為1。剛體的自由度要比質(zhì)點(diǎn)多一些，這里只介紹重要的幾種情況下的自由度。當(dāng)剛體不受約束，剛體作一般運(yùn)動(dòng)，自由度是6，當(dāng)剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)或平面平行運(yùn)動(dòng)，自由度是3，剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，自由度是1。當(dāng)然，剛體還有其它的運(yùn)動(dòng)形式，對(duì)應(yīng)的自由度也不同，由于不是很典型，讀者可自行分析。

其次，力學(xué)體系的自由度確定好后，廣義坐標(biāo)的數(shù)目必須和自由度的值一致。選取廣義坐標(biāo)可以靈活多樣，但必須各坐標(biāo)之間要保持獨(dú)立性，即保坐標(biāo)之間不能用方程聯(lián)系起來(lái)，否則就是不獨(dú)立的。下面舉一道最簡(jiǎn)單的單擺例題（如圖1），說(shuō)明廣義坐標(biāo)選取的多樣性，起到拋磚引玉的效果。

首先，單擺是沿著圓弧運(yùn)動(dòng)，故其自由度為1。通常情況下，都是選用擺線與豎直方向的夾角q作為廣義坐標(biāo)。現(xiàn)選取擺線與豎直線所圍的扇形面積S作為廣義坐標(biāo)，用基

這與選q作為廣義坐標(biāo)所得結(jié)果完全一致。這道題還可以選相對(duì)于最低點(diǎn)的弧長(zhǎng)作為廣義坐標(biāo)，這其實(shí)就是自然坐標(biāo)，結(jié)果也是一樣的，可見(jiàn)，廣義坐標(biāo)的選取是多種多樣的，但必須與自由度數(shù)相一致。

3 靜力學(xué)中廣義坐標(biāo)的選取

在理想約束的情形下，當(dāng)力學(xué)體系處于平衡狀態(tài)時(shí)，用虛功原理處理力學(xué)體系的平衡問(wèn)題。在動(dòng)力學(xué)的情形下，研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)范圍或者軌跡是可以確定的，因此可以以此為基礎(chǔ)確定自由度和廣義坐標(biāo)。但在平衡狀態(tài)下，力學(xué)體系保持靜止，自由度和廣義坐標(biāo)又該如何選取呢？主要依據(jù)就是在約束的情況下，沿著任意可能的情況下發(fā)生的虛位移來(lái)確定自由度和廣義坐標(biāo)。

現(xiàn)舉一例，如圖2所示，一個(gè)剛性桿置于半球形的碗內(nèi)處于平衡。剛性桿受到主動(dòng)力重力mg，約束力N₁和N₂。首先確定剛性桿的自由度，所受到的三個(gè)力均為平面力系，所以不考慮半球形碗的限制，剛性桿將作平面平行運(yùn)動(dòng)，自由度為3。但是由于剛性桿受到兩個(gè)約束，每個(gè)約束減少一個(gè)自由度，所以其自由度為1，故只需選擇一個(gè)廣義坐標(biāo)。讓剛性桿在約束的情況下發(fā)生一個(gè)虛位移，圖中從實(shí)線移動(dòng)到虛線位置。這樣，可以選擇圖中的q為廣義坐標(biāo)，也可以選擇桿在碗內(nèi)的長(zhǎng)度作為廣義坐標(biāo)，結(jié)果是一樣的。

4 總結(jié)

通過(guò)以上的討論可以看出，廣義坐標(biāo)的選取是多種多樣的，關(guān)鍵是先要確定好力學(xué)體系的自由度，然后再選擇廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)的數(shù)目必須與自由度數(shù)相一致，而且廣義坐標(biāo)必須獨(dú)立，這是至關(guān)重要的。

參考文獻(xiàn)

[1] 周衍柏.理論力學(xué)教程[M].高等教育出版社，2009.