數(shù)形結(jié)合思想在導(dǎo)數(shù)解題方面的巧妙運(yùn)用

葛秀平

【摘要】本文探究了2019年全國高考導(dǎo)數(shù)壓軸題分別用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的方法，結(jié)合圖像，解題方法更簡潔、更具體、更便于學(xué)生理解和接受，而且讓學(xué)生能更加直觀感受數(shù)學(xué)壓軸題的難度和數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的美妙，體會如何多角度地思考和解決問題。同時也對數(shù)學(xué)老師課堂教學(xué)提出一點建議：在平時的課堂講題及訓(xùn)練中，多滲透數(shù)形結(jié)合思想。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;2019;高考;數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù);零點

美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索出問題的解法?！?在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線之一，利用數(shù)形結(jié)合，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現(xiàn)優(yōu)化解題的目的。

一、用數(shù)形結(jié)合思想對兩道導(dǎo)數(shù)壓軸題新解法的探究

例1：（2019年全國Ⅰ卷·文）已知函數(shù)f（x）=2sinx-xcosx-x，f'（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)。

（1）證明：在區(qū)間存在唯一零點;

（2）若時，ax，求a的取值范圍。

分析：這是一個關(guān)于三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題，探究函數(shù)的單調(diào)性與零點問題。

【探究1】在第一問的講解過程中，若加入圖像，會更直觀地看到零點的存在。

由前面解析已知在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，，畫出在的圖像如下圖：

【探究2】本題的第二問，用分離變量結(jié)合圖像的方法做會更加簡潔明了。

解：（2）已知當(dāng)x=0時，f（x）=f（0）=0，ax=0，因此滿足ax;

當(dāng)時，因為x>0，可將ax轉(zhuǎn)化為，這是一個恒成立問題。只需證，因此問題轉(zhuǎn)化為求的最小值。

當(dāng)時，，在單調(diào)遞增;

當(dāng)時，，在單調(diào)遞減;

在，，又，畫出圖像：

在存在，使得t（xo）=0;

且在，，即;在，，即;

h（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時，;

又，畫出在上圖像，如下圖：

在的最小值為.

.

【探究3】在第二問中，也可以把里的x移到右邊，得到直線y=（a+1）x，由此只需要的圖像在直線y=（a+1）x上方。

解：（2）ax，即ax，等價轉(zhuǎn)化為，令，.

則，，在上，，單調(diào)遞增;

在上，，單調(diào)遞減;

又，且圖像在連續(xù)，所以存在，使得，在上，，在上，，圖像如下：

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;又，

在同一直角坐標(biāo)系中，做出和直線（恒過原點），圖像如下圖所示：

由圖像可知，要使在上恒成立，只需直線y=ax的斜率，即.

【探究4】類比方法三可以得到更加簡潔的方法。 基于第一問得到的結(jié)論，本題的第二問，可再換一種思路，將y=ax看成一個新的函數(shù)，ax，即的圖像在y=ax的上方。

解：（2）由（1）可知在上的圖像如下圖，在上存在唯一零點，設(shè)為.

f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，做出在上圖像，再作出直線y=ax圖像，如下圖：

由圖像可知，要使ax在上恒成立，只需直線y=ax的斜率.

小結(jié)：通過對上述四種方法的比較分析，很容易看出方法四可以借助于第一問的結(jié)論，再通過完美的數(shù)形結(jié)合，過程最簡潔，巧妙的解決了高考壓軸題。在平時的上課過程中，有意識的融入數(shù)形結(jié)合可以很好的鍛煉學(xué)生的思維。

例2：（2019年全國Ⅰ卷·理）已知函數(shù)f（x）=sinx-in（1+x），f'（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù).證明：

（1）f'（x）在區(qū)間（-1，）存在

唯一極大值點;

（2）f（x）有且僅有2個零點.

分析：2019年理科這道導(dǎo)數(shù)壓軸題和文科一樣，考查函數(shù)單調(diào)性與零點問題。

【探究5】同上題一樣，若在第一問的講解過程中，加入函數(shù)圖像，能使學(xué)生更直觀的看出導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖像，看到零點的存在。

（1）解：，，

因為，所以，

，在單調(diào)遞減，

又，

在的大致圖像如下圖所示：

所以，當(dāng)時，;當(dāng)時，.

f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

f（x）在存在唯一極大值點.

【探究6】：第二問要證有兩個零點，即的解的個數(shù)。

即，畫出及y=的圖像，

因為時，，可以猜想這兩個零點應(yīng)該一個為0，一個在內(nèi)。

以上結(jié)論屬于合情推理，在猜想的基礎(chǔ)上再去證明有兩個零點就容易許多。

定義域，

當(dāng)時，由（1）知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，其中

又，，畫出在上大致圖像如下：

由圖像可知存在，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減;

當(dāng)時，，單調(diào)遞增;

當(dāng)時，，單調(diào)遞減。

又，

圖像如下圖所示：

所以在上存在一個零點0.

當(dāng)時，，所以，

在（）單調(diào)遞減， ，

在上存在一個零點。

當(dāng)時，，所以恒成立，即在上不存在零點，

綜上所述，存在兩個零點。

小結(jié)：本題的第二問設(shè)置了一個探索問題情境，先通過圖像的方法，經(jīng)過合情推理，猜想零點的范圍，然后再通過嚴(yán)密的邏輯推理證明零點的存在，綜合性很強(qiáng)。

二、結(jié)論

通過對2019年高考文理科數(shù)學(xué)的兩道導(dǎo)數(shù)壓軸題在解題方法和數(shù)學(xué)思想方法上的分析可以看出，這2道導(dǎo)數(shù)題目都考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而解決零點問題。并且數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想在題目中都有融入。導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的難點，數(shù)學(xué)老師在課上應(yīng)盡量多的結(jié)合圖象講解導(dǎo)數(shù)問題，降低難度，便于學(xué)生理解。

參考文獻(xiàn)：

[1]王樹禾.數(shù)學(xué)思想史[M].國防工業(yè)出版社，2003.

[2]王憲昌.數(shù)學(xué)思維方法[M].人民教育出版社，2002.