焊接結(jié)構(gòu)裂紋擴(kuò)展分析的無網(wǎng)格和水平集耦合方法

劉 暉，申韶丁，雷 電

(武漢理工大學(xué) 道路橋梁與結(jié)構(gòu)工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430070)

0 引 言

焊接結(jié)構(gòu)是工程中應(yīng)用非常廣泛的結(jié)構(gòu)形式之一，焊接結(jié)構(gòu)在焊接過程中不可避免地會存在初始裂紋缺陷，具有焊接初始裂紋缺陷的構(gòu)件或結(jié)構(gòu)疲勞裂紋擴(kuò)展非常迅速，進(jìn)而引起結(jié)構(gòu)破壞[1]。因此，研究焊接結(jié)構(gòu)存在初始裂紋擴(kuò)展行為，對預(yù)防焊接結(jié)構(gòu)破壞，保證結(jié)構(gòu)使用安全具有重要意義。

對于裂紋擴(kuò)展模擬分析，許多學(xué)者做了大量的研究，取得了一定的成果，并提出了很多模擬裂紋擴(kuò)展的方法[2-5]，其中有限元法是目前運用最為廣泛并且發(fā)展最為迅速的數(shù)值計算方法[6-7]。解德等[8]采用ABAQUS有限元分析軟件實現(xiàn)了基于有限元的模擬裂縫擴(kuò)展方法。李長安[9]將基于有限元的虛擬裂紋閉合法(VCCT)應(yīng)用于疲勞裂紋壽命預(yù)測，并降低了網(wǎng)格敏感性，使得在粗糙網(wǎng)格下也能獲得比較精確的結(jié)果。劉艷萍等[10]基于VCCT法，采用Zigzag模型近似模擬裂紋前沿，分析了具有不同裂紋形式的簡單幾何體，獲得了比較理想的結(jié)果。由于有限元法及其衍生方法是一種基于網(wǎng)格的方法，在劃分單元時要防止單元畸變或纏結(jié)現(xiàn)象，當(dāng)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)裂紋擴(kuò)展時，網(wǎng)格會發(fā)生扭曲甚至畸變，裂紋擴(kuò)展的每一步都要重新劃分網(wǎng)格，這要花費大量的前處理時間。模擬平面問題中任意放置的直線裂紋和彎曲裂紋的彎折擴(kuò)展時，單元網(wǎng)格會產(chǎn)生過度扭曲，或造成計算中斷，不能真正跟蹤裂紋擴(kuò)展路徑。

無網(wǎng)格法作為一種新興的數(shù)值計算方法，將求解域基于節(jié)點離散，無需劃分單元，并且在裂紋擴(kuò)展時僅需局部和少量人為介入[11-13]。

袁振等[14]提出將無網(wǎng)格伽遼金法用于復(fù)合型裂紋的擴(kuò)展模擬并估算其疲勞壽命。陳建等[15]通過無網(wǎng)格伽遼金法對含邊沿裂紋功能梯度材料板進(jìn)行應(yīng)力強(qiáng)度因子的計算。傳統(tǒng)無網(wǎng)格法處理不連續(xù)問題時，對裂紋幾何形狀難以描述，用透視法等一些方法處理裂紋隔離作用時，人為增加了不連續(xù)性，計算過程復(fù)雜，不易推廣到三維問題上。

本文提出采用無網(wǎng)格和水平集耦合法來對焊接結(jié)構(gòu)存在初始裂紋幾何形狀進(jìn)行描述，并模擬裂紋擴(kuò)展。水平集法是一種追蹤界面移動的數(shù)值模擬方法[16]，也是基于節(jié)點離散的方法，因此兩者可以很自然地實現(xiàn)耦合，水平集法采用2個相互正交的水平集函數(shù)對裂紋幾何形狀進(jìn)行描述及裂尖位置進(jìn)行定位。在無網(wǎng)格法的近似函數(shù)中增加了裂尖處的Westergard擴(kuò)展項和跳躍函數(shù)Heaviside[17]，使計算點不受裂紋隔離影響，裂紋擴(kuò)展時只需更新水平集函數(shù)，避免了無網(wǎng)格法計算每一步裂紋擴(kuò)展時都需要在裂尖位置進(jìn)行節(jié)點加密和人為增加的不連續(xù)項，保證了剛度矩陣的帶狀和稀疏，并且節(jié)點劃分只在裂尖部分的帶狀區(qū)域，既保證了計算精度又提高了計算效率。最后，本文以焊接節(jié)點為環(huán)狀形式截面且存在初始焊接裂紋為研究對象，編制了基于極坐標(biāo)的無網(wǎng)格和水平集耦合法程序，分析其裂紋擴(kuò)展，并跟蹤了裂紋擴(kuò)展路徑。

1 焊接結(jié)構(gòu)裂紋擴(kuò)展分析理論及流程

1.1 裂紋擴(kuò)展判別依據(jù)

最大周向拉應(yīng)力強(qiáng)度因子理論是判斷復(fù)合型裂紋斷裂應(yīng)用最為廣泛的準(zhǔn)則，該理論計算應(yīng)力強(qiáng)度因子簡單，易于實現(xiàn)，被廣泛應(yīng)用于工程中，故本文采用此準(zhǔn)則作為裂紋擴(kuò)展判別依據(jù)。裂紋擴(kuò)展角θc應(yīng)滿足

KⅠsin(θc)+KⅡ[3cos(θc)-1]=0

(1)

式中：KⅠ，KⅡ分別為Ⅰ型和Ⅱ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF)。

求解式(1)可得

(2)

式中：sign(·)為符號函數(shù)。

根據(jù)線彈性力學(xué)理論，裂紋尖端的應(yīng)力通常是趨近于無窮大的，不能作為判斷裂紋失效的準(zhǔn)則，因此采用應(yīng)力強(qiáng)度因子的概念來反映裂尖奇異應(yīng)力場的強(qiáng)弱。

復(fù)合型裂紋尖端附近極坐標(biāo)應(yīng)力場θ方向分量表達(dá)式為

(3)

當(dāng)θ=θc時

(4)

式中：r,θ為以裂紋尖為坐標(biāo)原點的極坐標(biāo)系；Kθmax為最大周向拉應(yīng)力強(qiáng)度因子，當(dāng)Kθmax大于材料斷裂韌度KIC時，裂紋開始擴(kuò)展。

1.2 裂紋擴(kuò)展分析步驟及流程

裂尖處的SIF大小表示裂尖處應(yīng)力場的強(qiáng)弱，模擬裂紋擴(kuò)展就是計算裂尖處的SIF。因此，本文通過以下步驟計算SIF，最終實現(xiàn)對焊接節(jié)點的裂紋擴(kuò)展路徑跟蹤。

步驟1：采用無網(wǎng)格Garlerkin法(EFGM)和水平集法耦合建立模型，將模型求解域基于節(jié)點離散，通過計算節(jié)點水平集函數(shù)將節(jié)點劃分為常規(guī)節(jié)點、階躍擴(kuò)展節(jié)點和裂尖擴(kuò)展節(jié)點。

水平集函數(shù)Ψ(x,t)采用符號距離函數(shù)表示

(5)

式中：x，t分別為計算點的坐標(biāo)向量和時間變量；Γc為裂紋面；xΓ為位于Γc上的計算點。

如果計算點x位于Γc的上方，則水平集函數(shù)Ψ(x，t)為正，否則為負(fù)。

移動界面Ψ(x，t)的演化方程為

Ψt+F‖Ψ‖=0

(6)

式中：Ψt為t時刻的界面；F為界面上點x∈Γc(t)在界面外法線方向的移動速度向量；為梯度算子。

初始裂紋波前水平集函數(shù)為

(7)

水平集法通常采用裂紋面水平集函數(shù)和波前水平集函數(shù)描述裂紋位置及形狀，裂紋面水平集函數(shù)Ψ(x,t)=0表示裂紋及其延長部分，初始裂紋由Ψ(x,t)=0和波前水平集函數(shù)φ≤0確定，那么裂紋面通過計算上述2個函數(shù)就可對節(jié)點進(jìn)行劃分，階躍擴(kuò)展節(jié)點集合M的表達(dá)式為

M={n∈Q∶φ<0且Ψ-rd≤0}

(8)

式中：rd為節(jié)點影響域半徑；Q為求解區(qū)域內(nèi)離散的節(jié)點集合；n為任意節(jié)點。

裂尖擴(kuò)展節(jié)點集合K的表達(dá)式為

(9)

當(dāng)節(jié)點既為階躍擴(kuò)展節(jié)點又為裂尖擴(kuò)展節(jié)點時，優(yōu)先按裂尖擴(kuò)展節(jié)點處理。

步驟2：根據(jù)EFGM和水平集耦合法推導(dǎo)整體剛度矩陣、荷載和位移向量，求解節(jié)點的應(yīng)力場和位移場。

根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)的Westergaard解及EFGM的單位分解特性，耦合法的不連續(xù)位移場函數(shù)uI(x,t)可表示為

(10)

(11)

(12)

無網(wǎng)格和水平集耦合法的離散方程為

(13)

整體剛度矩陣的元素kij表達(dá)式為

(14)

式(14)上標(biāo)表示對應(yīng)的節(jié)點自由度，具體形式表達(dá)為

(15)

式中：B為應(yīng)變矩陣；D為彈性矩陣；Ω為計算域。

邊界項剛度矩陣的元素gij表達(dá)式為

(16)

荷載向量f中元素表達(dá)式為

(17)

式(17)上標(biāo)表示對應(yīng)的節(jié)點自由度，具體形式為

(18)

(19)

(20)

步驟3：根據(jù)式(13)計算得到節(jié)點的位移場，進(jìn)而得到應(yīng)力場，然后采用相互作用積分法[18]計算裂紋尖端區(qū)域的SIF。通過最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則確定開裂步長，計算裂紋開裂角。

步驟4：當(dāng)裂紋在荷載作用下擴(kuò)展時，通過水平集更新算法對節(jié)點水平集函數(shù)進(jìn)行更新[19]，從而對裂紋幾何形狀和裂尖位置進(jìn)行追蹤，實現(xiàn)對裂紋擴(kuò)展路徑的精確模擬。

以二維問題為例來說明具體的實現(xiàn)步驟：

(21)

Ψm+1=±|(x-xi)(F/‖F(xiàn)‖)|=±|(x-xi)|·

(Fy/‖F(xiàn)‖)+(y-yi)|(Fx/‖F(xiàn)‖)|

(22)

式中：正負(fù)號表示裂紋兩側(cè)更新部分的符號與未更新部分的符號保持一致。

(23)

式中：Δαm為第m步的擴(kuò)展步長或者增量。

2 數(shù)值算例

為了驗證本文方法的適用性和程序設(shè)計的正確性，選取應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊中經(jīng)典邊緣受拉裂紋算例進(jìn)行計算。板模型如圖1所示，平板寬度L=1 m，高度D=2 m，板的上表面承受均勻拉應(yīng)力σ=1 MPa，板的左側(cè)中間部分有一邊緣裂紋長度a=0.45 m，彈性模量E=1×103Pa，泊松比ν=0.3，應(yīng)力強(qiáng)度因子的精確解為

圖1 邊緣受拉裂紋模型

(24)

采用本文方法，首先將求解域離散為12×24個均勻布置的節(jié)點，則背景網(wǎng)格分布為11×23，每個背景網(wǎng)格內(nèi)設(shè)置6×6的高斯積分點，基函數(shù)選用二次基函數(shù)P=[1,x,y]T，權(quán)函數(shù)選用3次樣條權(quán)函數(shù)，影響域半徑選為1.7倍的最大相鄰節(jié)點間距rd，采用水平基函數(shù)將節(jié)點劃分為階躍擴(kuò)展節(jié)點和裂尖擴(kuò)展節(jié)點，節(jié)點分布如圖2所示。

圖2 節(jié)點分布

節(jié)點變形如圖3所示，為繞裂尖位置發(fā)生受拉變形。模型應(yīng)力云圖如圖4所示，在裂尖位置應(yīng)力最大，隨著遠(yuǎn)離裂尖位置應(yīng)力逐漸減小。采用本文方法計算結(jié)果與解析解對比如圖5所示，本文解與解析解基本一致，說明本文方法具有較高精度，驗證了本文方法的可行性和程序設(shè)計的正確性。

圖3 節(jié)點變形

圖4 應(yīng)力云圖(單位:MPa)

圖5 不同裂紋長度對應(yīng)的SIF

焊接節(jié)點的一種形式是管球焊接節(jié)點或鋼管對焊節(jié)點，因此，本文以焊接結(jié)構(gòu)存在初始裂紋、具有環(huán)狀橫截面為研究對象分析其裂紋擴(kuò)展行為?；跇O坐標(biāo)系建立了如圖6所示的模型，材料為Q345鋼材，彈性模量E=2.06×1011Pa，泊松比ν=0.3，焊縫標(biāo)準(zhǔn)為二級焊縫，在外邊界上受切向均布荷載P=40 N。裂紋線為水平方向位置從A點(30，π)到B點(25，π)，裂紋長度a=5 mm，裂尖坐標(biāo)為(25，π)。

圖6 焊接節(jié)點模型示意

采用均勻布點法在求解域內(nèi)進(jìn)行離散，外環(huán)半徑R為30 mm，內(nèi)環(huán)半徑r為20 mm，徑向方向等間距布置8個節(jié)點，弧度方向為每隔π/36等弧度布置72個節(jié)點。

影響域半徑過小，裂紋線附近的階躍擴(kuò)展節(jié)點不能完全覆蓋裂紋區(qū)域，對裂紋描述不夠精確；影響域半徑過大，裂尖擴(kuò)展節(jié)點過多，放大了裂尖區(qū)域的奇異性。因此，通過對比分析，本文選取2.2倍節(jié)點間距rd作為影響域半徑，裂尖部分的奇異場能夠得到足夠的節(jié)點位移近似函數(shù)加強(qiáng)，同時裂紋線附近的階躍擴(kuò)展節(jié)點也能夠完全覆蓋裂紋區(qū)域，使得計算點影響域不受裂紋隔離的影響，如圖7所示。

圖7 在2.2rd下的節(jié)點劃分

根據(jù)式(13)計算得到應(yīng)力場和位移場以后，采用相互作用積分法計算應(yīng)力強(qiáng)度因子，本文選取每一步裂紋擴(kuò)展增量da為a/5，da過大不適用于線彈性斷裂力學(xué)，會導(dǎo)致計算結(jié)果不精確；da過小，模擬裂紋擴(kuò)展時計算量大，并且計算所得SIF和θc不具有代表性。通過水平集更新算法更新裂尖位置及水平集函數(shù)，從而實現(xiàn)對裂紋擴(kuò)展的追蹤，得到最終的每一步擴(kuò)展增量下裂尖處的應(yīng)力強(qiáng)度因子，如圖7所示。所得裂紋擴(kuò)展角如表1所示，應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋擴(kuò)展增量的變化如圖8所示，裂紋擴(kuò)展路徑如圖9所示。

表1 裂紋擴(kuò)展對應(yīng)的SIF及擴(kuò)展角

圖8 SIF隨裂紋擴(kuò)展增量的變化

圖9 裂紋擴(kuò)展路徑

3 結(jié) 語

(1)本文方法避免了單純的無網(wǎng)格法處理不連續(xù)問題時所增加的人為不連續(xù)項，能夠組裝成具有帶狀、稀疏性的整體剛度矩陣；對于裂紋擴(kuò)展區(qū)域加強(qiáng)點選取僅限制在裂紋附近的帶狀區(qū)域內(nèi)，簡化了加強(qiáng)點選取和附加函數(shù)的建立，不會過多增加整體自由度，并且無需求解水平集更新算法的演化方程，因此計算過程簡單，易于在程序上實現(xiàn)，提高了計算效率。

(2)本文方法的計算精度較高，結(jié)果光滑協(xié)調(diào)，且能很好地跟蹤裂紋擴(kuò)展路徑，能夠預(yù)測焊接結(jié)構(gòu)存在初始裂紋的裂紋擴(kuò)展及走向。

(3)本文方法計算量小、精度高，可以實現(xiàn)裂紋路徑跟蹤，易于推廣到三維節(jié)點模型，為預(yù)測復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)在復(fù)雜荷載下的斷裂行為提供了一種可靠的計算途徑和模擬思路。