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    帶有低通濾波的板球系統(tǒng)反演控制器設(shè)計

    2020-10-18 13:39:14孟圣鈞韓光信
    吉林化工學(xué)院學(xué)報 2020年9期
    關(guān)鍵詞:板球通濾波低通濾波器

    孟圣鈞,韓光信

    (吉林化工學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院,吉林 吉林 132022)

    板球系統(tǒng)作為經(jīng)典控制對象球桿系統(tǒng)的二維擴(kuò)展,是控制領(lǐng)域中驗證控制算法的一種重要實驗對象.諸如自抗擾控制[1]、預(yù)測控制[2]、滑??刂芠3]、模糊邏輯控制[4]、反演控制等很多控制算法先后被學(xué)者運(yùn)用到板球系統(tǒng)中檢驗優(yōu)劣[5].反演控制方法將復(fù)雜的系統(tǒng)分成若干子系統(tǒng),在每個子系統(tǒng)中引入虛擬變量,從后向前反推,最后得出控制規(guī)律.例如,戈艷麗將反演控制算法與自適應(yīng)算法相結(jié)合設(shè)計反演自適應(yīng)算法,研究了板球系統(tǒng)模型中的不確定性問題,但并沒有考慮到系統(tǒng)實際存在的非線性因素[6].文獻(xiàn)[7]同樣采用了反演控制法,在控制器的設(shè)計中忽略了系統(tǒng)x,y方向的運(yùn)動耦合作用,可能會導(dǎo)致控制精度下降.郝偉[8]采用反演法的靜態(tài)補(bǔ)償思想設(shè)計了反演自適應(yīng)動態(tài)滑模控制器,利用虛擬控制量將高階控制問題分散為多個低階子系統(tǒng)的控制問題,并結(jié)合濾波器的設(shè)計研究了經(jīng)典滑模存在的微分爆炸問題,提高了系統(tǒng)控制精度,但忽略了機(jī)器視覺對小球定位存在誤差的影響.

    以上是一些學(xué)者在研究板球系統(tǒng)中,將反演控制算法與自適應(yīng)算法、滑模變結(jié)構(gòu)控制等算法相結(jié)合設(shè)計的控制器,完成了對小球軌跡跟蹤的控制任務(wù).本文針對板球系統(tǒng)控制中的不確定項影響跟蹤精度這一問題,研究了將低通濾波與反演控制算法相結(jié)合設(shè)計控制器的方法.首先,在板球系統(tǒng)建模時加入自身擾動,將低通濾波器與板球系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型結(jié)合成一個整體系統(tǒng),接著用假設(shè)的方法設(shè)定子系統(tǒng)參數(shù),將參數(shù)帶到虛擬函數(shù)中,然后選取合適的Lyapunov函數(shù),使每個子系統(tǒng)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定,進(jìn)而設(shè)計出一種帶有低通濾波的反演控制器.最后,在板球系統(tǒng)克服內(nèi)部擾動的前提下,加入外界干擾,查看小球軌跡跟蹤的效果.仿真驗證,與H∞控制器[9]相比,帶有低通濾波的反演控制器具有良好的抗干擾能力.

    1 板球系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

    Quanser公司生產(chǎn)的板球系統(tǒng)實驗平臺如圖1所示.

    圖1 Quanser板球系統(tǒng)模型

    主要由:平板、小球、伺服電機(jī)、連桿、視覺系統(tǒng)、電源等組成.板球系統(tǒng)是雙輸入雙輸出的非線性動態(tài)系統(tǒng),通過步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動x、y軸以達(dá)到控制平板的傾斜角度,進(jìn)而控制小球的運(yùn)動.應(yīng)用歐拉-拉格朗日動力學(xué)方程推導(dǎo)建模,建模時忽略小球與平板之間的摩擦以及小球自身滾動的摩擦.板球系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型如下式所示[10].

    (1)

    其中,k=m/(m+Jb/r2),m為小球質(zhì)量,r為小球半徑,Jb小球轉(zhuǎn)動慣量,x1,x2,x3,x4分別為x軸小球的位置、速度、傾斜角度和角速度;因板球系統(tǒng)的x,y軸對稱分布,故x5,x6,x7,x8分別對應(yīng)y軸的系統(tǒng)狀態(tài)變量.ux,uy對應(yīng)x,y軸的角加速度α,β,作為系統(tǒng)的控制輸入,y為系統(tǒng)的控制輸出.一般情況下,小球滾動時的速度和平板轉(zhuǎn)動角度足夠小(一般不超過±6°,sinx3≈x3,sinx4≈x4),則式(1)中的x4x5x8和x1x4x8可忽略,板球系統(tǒng)解耦、線性化后可形成兩個相同的x,y方向欠驅(qū)動子系統(tǒng),模型如下所示.

    (2)

    y=[x1,x5]T

    2 控制器設(shè)計

    (1)由于系統(tǒng)實際運(yùn)行中存在擾動,會影響系統(tǒng)的輸出,進(jìn)而降低控制器性能.為增強(qiáng)系統(tǒng)的抗干擾性,提高軌跡的跟蹤精度,引入低通濾波器[11-13],對小球的位移和滾動角度進(jìn)行濾波處理.以板球系統(tǒng)x軸為例,設(shè)計低通濾波器如下.

    (3)

    其中,T為低通濾波器的時間常數(shù),x1為低通濾波器的輸出信號,即小球的位置.x2為低通濾波器的輸入信號,即小球滾動角度(式(2)中x2代表小球速度).結(jié)合式(2)、式(3)組建一個整體的帶有低通濾波的板球系統(tǒng).

    (4)

    其中,x3為小球角速度,d為板球系統(tǒng)的自身擾動,y為經(jīng)過低通濾波器濾除干擾后的輸出.

    (2)反演控制器設(shè)計

    反演控制算法實際上是利用遞推程序交替的選擇合適的Lyapunov函數(shù),在每一個子系統(tǒng)中,將復(fù)合系統(tǒng)的狀態(tài)變量和所設(shè)計的虛擬函數(shù)聯(lián)系起來進(jìn)行逐步推導(dǎo),得出控制規(guī)律后設(shè)計反饋控制器,最后證明整個系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

    針對系統(tǒng)(4)的反演設(shè)計過程如下,定義系統(tǒng)偏差[14]:

    (5)

    式中,xd為板球系統(tǒng)x軸小球跟蹤軌跡的位置指令信號,α1,α2為虛擬函數(shù).

    (6)

    結(jié)合式(4),(5)整理后可得:

    (7)

    選取Lyapunov函數(shù)V1:

    (8)

    (9)

    定義虛擬控制量α1:

    α1=-c1e1+x1(c1>0的常數(shù))

    (10)

    代入式(9)得:

    (11)

    選取Lyapunov函數(shù)V2:

    (12)

    (13)

    (14)

    (15)

    結(jié)合式(4),(5),(10)整理后可得:

    (16)

    結(jié)合式(5),(11),(16)化簡式(13)可得:

    (17)

    定義虛擬控制量α2:

    (18)

    代入式(17)得:

    (19)

    選取Lyapunov函數(shù)V3:

    (20)

    (21)

    e3=x3-α2

    (22)

    (23)

    結(jié)合式(4),(5),(10),(18)整理后可得:

    (24)

    結(jié)合式(7),(16),(19),(24)化簡式(21)可得:

    (25)

    (26)

    式(26)為帶有低通濾波的反演控制器ux,根據(jù)前面設(shè)計的虛擬函數(shù)和偏差函數(shù)求解控制器參數(shù),結(jié)合式(4),(5),(10),(18)整理出帶有狀態(tài)變量的ux表達(dá)式.

    (27)

    3 仿真結(jié)果分析

    (28)

    由于板球系統(tǒng)的x,y軸對稱分布,故推導(dǎo)控制器ux,uy只需要更改x,y軸的指令信號即可.將上述參數(shù)值結(jié)和式(28)的三階時間導(dǎo)數(shù)帶入式(27)中,分別求出帶有低通濾波的x,y軸反演控器.

    應(yīng)用Simulink軟件分別搭建H∞控制器和帶有低通濾波的反演控制器系統(tǒng)仿真模型,適當(dāng)調(diào)節(jié)狀態(tài)變量參數(shù)后,仿真結(jié)果如下圖所示.圖2是帶有低通濾波的反演控制器跟蹤的圓形軌跡,小球受到外界干擾(step=5的階躍)后能夠自動調(diào)整跟蹤軌跡,不斷地減小與預(yù)設(shè)跟蹤軌跡之間的誤差.圖5為H∞控制器跟蹤的圓形軌跡,同樣加入step=5的階躍干擾,小球偏離原軌道且無法自動調(diào)整跟蹤軌跡.當(dāng)H∞控制器做圓形軌跡跟蹤運(yùn)動時,引入外界干擾后誤差增大,小球在x、y軸方向上的位置誤差分別維持在21.7 mm和21.5 mm左右,如圖7所示.從圖4中我們可以看出,反演控制器做相同的跟蹤運(yùn)動時,面對同樣的干擾,小球x、y軸方向上的位置誤差分別維持在±1.05 mm和±0.58 mm之間,能夠自動調(diào)整跟蹤誤差.帶有低通濾波的反演控制器和H∞控制器的控制器輸出圖分別如圖3和圖6所示.

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    4 結(jié) 論

    本文以非線性、多變量和強(qiáng)耦合的板球系統(tǒng)作為研究對象,針對系統(tǒng)受到干擾而影響軌跡跟蹤的精確性這一問題,將反演控制器具有維持板球系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行性能與低通濾波器濾除外界干擾這一性能相結(jié)合,設(shè)計出一種帶有低通濾波的反演控制器.從實驗結(jié)果可以看出,改進(jìn)的控制器結(jié)構(gòu)簡單,受到外界干擾時,能夠快速恢復(fù)到原預(yù)定軌跡,不斷提高控制精度,穩(wěn)定性更強(qiáng).

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