捷變正弦信號源波形建立時間的精確測量

梁志國，何 昭，劉 淵，張亦弛，吳婭輝

(1.北京長城計量測試技術(shù)研究所 計量與校準技術(shù)重點實驗室，北京 100095；2.中國計量科學研究院，北京 100029)

1 引 言

在動態(tài)測試與校準中，人們常會遇到波形變化和狀態(tài)的切換，當信號波形或儀器設備從一個穩(wěn)定狀態(tài)切換到另外一個不同的穩(wěn)定狀態(tài)時，總會經(jīng)過一段中間過渡狀態(tài)，并花費一定的過渡時間。人們通常希望這種過渡時間越短越好，并且其破壞力或危險性越小越好。其中，最常使用并最具有明確物理意義的是階躍過渡過程和階躍信號波形的建立時間,它被定義為階躍起始點時刻至波形完全進入最終狀態(tài)的規(guī)定公差帶的起始時刻之間的時間差值。而公差帶則有5%、1%等不同的約定量值。并依此發(fā)展了放大器階躍響應建立時間等相應的概念、方法及測量手段。對于階躍信號以外的其它信號波形，無疑也有建立時間的問題，但由于波形本身的復雜性，其建立時間往往很難清晰、直觀、簡單地獲取。因而，常用階躍建立時間方式來分析和代替復雜波形的建立時間。這在儀器設備的設計、研制及生產(chǎn)廠家，多數(shù)情況下可以做到。但在用戶和計量測試部門，則往往很難獨立獲取并精確評價它們。給其使用中的計量校準和技術(shù)狀態(tài)確認帶來額外的風險與隱患。尤其是正弦信號波形，在實際工作中獲得了最廣泛的應用，因而其波形狀態(tài)切換所需的建立時間最具有代表性和典型性，對實際工作的影響巨大[1～9]。

通常，正弦波形的狀態(tài)切換具體體現(xiàn)在以下幾種應用狀態(tài)：1) 信號源開機加載；2) 信號源參數(shù)的切換(幅度、頻率、相位、偏移等參數(shù)的獨立切換或組合切換)；3) 以正弦為載波的數(shù)字化脈沖調(diào)制波形(脈沖調(diào)幅、脈沖調(diào)頻、脈沖調(diào)相)；4) 電子對抗中的跳頻技術(shù)；5) 正弦信號源的過載恢復特性。由此可見，正弦波形的建立時間，是正弦信號源最重要的動態(tài)特性之一，多年以來，除了跳頻問題以外，之所以未被特別關(guān)注，主要是其測量和表述未能獲得徹底解決。

本文后續(xù)內(nèi)容，將主要討論正弦信號源波形建立時間的精確測量評價問題，同時，提出一種基于4參數(shù)正弦擬合的數(shù)字化測量方法，以簡潔、直觀地展示正弦波形狀態(tài)切換時的過渡過程，并對其中的問題進行討論。

2 原理方法

正弦波形建立時間測量的基本思想，首先，是使用數(shù)字示波器豐富的觸發(fā)功能[10]，將其狀態(tài)切換的過渡過程完整地采集記錄下來，然后，進行波形分析。并且認定，在過渡過程完成后的波形，應該完全符合正弦規(guī)律，可以用四參數(shù)擬合方法對該部分進行正弦波形擬合，獲得擬合參數(shù)。在此基礎上，將波形按擬合規(guī)律向全體采樣序列進行延展，獲得采樣序列與擬合回歸波形之間的偏差序列，該偏差序列波形即完整反映了狀態(tài)切換過程中正弦波形建立時的誤差過渡過程。

定義：信號源由穩(wěn)定的第一狀態(tài)向穩(wěn)定的第二狀態(tài)切換時，切換起始時刻t1至切換過渡波形與第二穩(wěn)定狀態(tài)之間的偏差波形幅度永久進入約定平穩(wěn)公差帶的起始時刻t2之間的時間差為信號源切換過程的建立時間。即第二平穩(wěn)狀態(tài)的波形建立時間。

本文中，均以擬合回歸標準偏差的3倍值定義狀態(tài)切換的起始時刻和狀態(tài)切換的完成時刻。具體過程如下：

設正弦波激勵信號第一個穩(wěn)定狀態(tài)的信號波形為xa(t)，第二個穩(wěn)定狀態(tài)的信號波形為xb(t):

xa(t)=Ea(sin(2π(fat+φa)+da

(1)

xb(t)=Eb(sin(2π(fbt+φb)+db

(2)

式中：xa(t)、xb(t)為正弦信號的瞬時值；Ea、Eb為正弦信號幅度； fa、 fb為正弦信號頻率；φa、φb為正弦信號的初相位；da、db為信號的直流分量值。當fa=0時，第一穩(wěn)定狀態(tài)為直流狀態(tài)。

正弦波形的信號狀態(tài)切換是由穩(wěn)定狀態(tài)xa(t)切換到穩(wěn)定狀態(tài)xb(t)上。

1) 如圖1所示，將待測正弦信號源連接到數(shù)字示波器的測量通道，選取合適的內(nèi)部或外部單次觸發(fā)條件，以便有效抓取正弦波形的狀態(tài)切換，并令其處于等待觸發(fā)狀態(tài)。在可能的情況下，可采用信號觸發(fā)方式，否則，需要使用狀態(tài)切換控制信號，以外觸發(fā)方式觸發(fā)采集測量。選取通道采集速率v，以使得所測正弦波形的每個周期內(nèi)能有足夠的采樣點數(shù)(通常有20個以上的采樣點數(shù))；選取數(shù)據(jù)存儲深度n，以使得所獲得的采樣序列能存儲有兩倍以上的正弦波狀態(tài)切換過渡過程的時長。

圖1 正弦波建立時間測量框圖Fig.1 Settling time measurement of sinusoidal generators

2) 啟動正弦信號源由第一穩(wěn)定狀態(tài)向第二穩(wěn)定狀態(tài)的狀態(tài)切換，觸發(fā)采集，獲得含有完整正弦信號切換過渡過程的采集序列xi(i=0，…，n-1)。

3) 從采集序列遠離過渡過程的第二穩(wěn)定狀態(tài)xb(t)采集數(shù)據(jù)中截取長度為n2的子序列xqk(k=0,…,n2-1)，按最小二乘法求出xqk(k=0,…,n2-1)的擬合信號[11～15]：

xq(t)=Aq·sin(2π·fqt+φq)+dq

(3)

式中：xq(t)為擬合信號的瞬時值；Aq為擬合正弦信號的幅度； fq為擬合正弦信號的頻率；φq為擬合正弦信號的初相位；dq為擬合信號的直流分量值。

由于采集數(shù)據(jù)是離散值xi，對應時間也是離散的ti，ti=i/v，(i=0，…，n-1)。這樣，式(3)變成了：

xq(tqk)=Aq·sin(2π·fqtqk+φq)+dq

簡記為：

xq(k)=Aq·sin(ωq·k+φq)+dq

ωq=2π·fq/v

(4)

則，實際有效值誤差ρq為：

(5)

式中：tqk為序列xqk(k=0，…，n2-1)第k個測量點的時刻(s)。

當ρq最小時，獲得式(2)的擬合正弦波信號式(4)。

4) 將第二穩(wěn)定狀態(tài)的擬合波形拓展到全體采樣序列，則：

xq(i)=Aq·sin(ωq·i+φq)+dq,i=0，…，n-1

獲得擬合回歸偏差序列為：

Δxq(i)=xi-xq(i),i=0，…，n-1

(6)

以3ρq為公差帶，尋找絕對值|Δxq(i)|≤3ρq的起始時刻點，其右側(cè)相鄰時刻點t2即為第二穩(wěn)定狀態(tài)結(jié)束過渡過程時刻點。

5) 從采集序列未切換到過渡過程的第一穩(wěn)定狀態(tài)xa(t)采集數(shù)據(jù)中截取長度為n1的子序列xpk,(k=0,…,n1-1)，按最小二乘法求出其擬合信號：

xp(t)=Ap·sin(2π·fpt+φp)+dp

(7)

式中：xp(t)為擬合信號的瞬時值；Ap為擬合正弦信號的幅度； fp為擬合正弦信號的頻率；φp為擬合正弦信號的初相位；dp為擬合信號的直流分量值。

xp(tpk)=Ap·sin(2π·fptpk+φp)+dp

簡記為：

xp(k)=Ap·sin(ωp·k+φp)+dp

(8)

ωp=2π·fp/v

則，實際有效值誤差ρp為：

(9)

式中：tpk為序列xpk(k=0，…，n1-1)第k個測量點的時刻(s)。

當ρp最小時，獲得式(1)的擬合正弦波信號式(8)。

6) 將第一穩(wěn)定狀態(tài)的擬合波形拓展到全體采樣序列，則：

xp(i)=Ap·sin(ωp·i+φp)+dp

獲得擬合回歸偏差序列為：

Δxp(i)=xi-xp(i),i=0，…，n-1

(10)

以3ρp為公差帶，尋找絕對值|Δxp(i)|≤3ρp的起始時刻點，其左側(cè)相鄰的時刻點t1即為第一穩(wěn)定狀態(tài)切換到過渡過程的時刻點。

特例，若fa=0，則第一穩(wěn)定狀態(tài)為直流，序列xpk(k=0,…,n1-1)的擬合曲線即為其算術(shù)平均值：

(11)

(12)

7) 則正弦信號的建立時間tset為：

tset=t2-t1

(13)

3 實驗驗證

對正弦信號建立時間tset精確測量方法的實驗驗證，使用Agilent公司的81160A型合成信號源提供正弦信號，采用幅度切換和開關(guān)啟動兩種方式進行切換，其第一穩(wěn)定狀態(tài)近似直流，第二穩(wěn)定狀態(tài)為正弦波形。

用RIGOL公司的DS1104型數(shù)字示波器進行數(shù)據(jù)采集，其A/D位數(shù)為8 bits，帶寬100 MHz，最高通道采樣速率為1 GSa/s，有4個獨立測量通道。

3.1 幅度切換實驗

用合成信號源81160A輸出幅度25 mV頻率 5 kHz 的正弦波激勵(幅度小與一個A/D量化臺階，相當于直流疊加噪聲)，切換到幅度5 V的同頻正弦波。用數(shù)字示波器DS1104的通道1對其進行同步采集。其通道1的量程為2 V/div；通道采樣速率 5 MSa/s， 通道采集數(shù)據(jù)個數(shù)n=15 000。上升沿觸發(fā)，觸發(fā)電平設為2.68 V。啟動幅度切換，獲得采集波形，圖2中的曲線1為其正弦波形建立時過渡過程附近的部分采集波形，曲線2為擬合回歸偏差波形Δxq(t)。

圖2 正弦波形建立時間過渡過程Fig.2 Settling time of sinusoidal waves

從曲線1的狀態(tài)切換后穩(wěn)定段中，取n2=7 500，按上述過程獲得擬合正弦幅度Aq=5.020 420 V，頻率fq=5 000.062 Hz，初始相位φq=-174.400°，直流分量dq=-11.838 mV，有效值誤差為ρq=9.193 mV。由曲線2可得t2=934.2 μs。

按式(13)得tset=t2-t1=878.6 μs。

其它條件不變，僅僅變換一下信號頻率，獲得的正弦波形建立時間如下表1所示。

表1 不同信號頻率的正弦波形建立時間Tab.1 Settling time of sinusoidal waves via frequency

3.2 開關(guān)啟動實驗

用合成信號源81160A在輸出幅度5 V頻率 50 kHz 的正弦波激勵狀態(tài)設置時，通過開關(guān)按鍵開機輸出正弦波形。用數(shù)字示波器DS1104的通道1對其進行同步采集。其通道1的量程為2 V/div； 通道采樣速率31.25 MSa/s，通道采集數(shù)據(jù)個數(shù)n=15 000。上升沿觸發(fā)，觸發(fā)電平設為1 V。按動合成信號源開關(guān)，獲得采集波形，圖3中的曲線1為其正弦波形建立時過渡過程附近的部分采集波形，曲線2為擬合回歸偏差波形Δxq(t)。

圖3 正弦波形建立時間過渡過程Fig.3 Settling time of sinusoidal waves

從曲線1的狀態(tài)切換后穩(wěn)定段中，取n2=7 500，按上述過程獲得擬合正弦幅度Aq=4.981 839 V，頻率fq=5 000.18 Hz，初始相位φq=-158.064°，直流分量dq=-14.336 mV，有效值誤差為ρq=9.321 mV。由曲線2可得t2=76.48 μs。

按式(13)得tset=t2-t1=55.20 μs。

其它條件不變，僅僅變換一下信號頻率和采集速率，獲得開關(guān)啟動時正弦波形建立時間如表2所示。

3.3 實驗分析

從上述實驗結(jié)果可見，狀態(tài)切換時正弦波的建立時間具有很大的差異，在所涉及的信號源上，同頻幅度切換所需要的建立時間遠遠大于硬開關(guān)啟動所需要的建立時間，兩者相差近20倍！從而也看出建立時間測量評價的重要性和必要性。

另外，可以看到，幅度切換所導致的過渡過程變化比較平穩(wěn)，基本上是幅度單調(diào)增加，而偏差在單調(diào)降低。但是開關(guān)啟動造成的切換則不然，正弦建立的過渡過程中，幅度并非單調(diào)增加，偏差也不是單調(diào)降低，往往會有較大的干擾波動間歇出現(xiàn)，應該屬于按鍵開關(guān)接觸不良等導致的電火花飛弧等眾多因素造成的影響，也是實際工作中必須要考慮的物理現(xiàn)象。

表2 開關(guān)啟動時正弦波形建立時間Tab.2 Settling time of sinusoidal waves at turn on

最后，可以看出，同種狀態(tài)條件下的建立時間測量結(jié)果具有一定的穩(wěn)定性，和信號頻率等變化關(guān)系不大，但采樣間隔對其影響不容忽視，當采樣間隔較大時，很容易造成較大的測量誤差。在實際測量中應予以重視。

4 不確定度分析

由式(13)可見，正弦信號的建立時間的測量主要受以下幾個因素的影響：

1) 時刻點t1的起始判據(jù)ρp及其穩(wěn)定性與復現(xiàn)性，以及正弦波建立時的過渡過程曲線1在時刻點t1處的曲線斜率g1；

2) 時刻點t2的起始判據(jù)ρq及其穩(wěn)定性與復現(xiàn)性，以及正弦波建立時，擬合回歸偏差波形曲線2在時刻點t2處的曲線斜率g2；

3) 采集序列的隨機噪聲與量化誤差；

4) 采樣時間間隔；

5) 建立時間的測量重復性。

4.1 直流部分曲線段

當時刻點t1之前的曲線為直流時，參數(shù)ρp的不確定度為[16～18]：

(14)

ρp給t1帶來的不確定度為：

(15)

實際上，采集序列的隨機噪聲與量化誤差的有效值就是ρp，因而，它們造成的t1點幅度不確定度為：

un(x)=ρp

(16)

噪聲與量化給t1帶來的不確定度為：

(17)

采樣間隔為1/v，它給t1帶來的誤差被認為在區(qū)間[-0.5/v,0.5/v]內(nèi)服從均勻分布，因而，采樣間隔給t1帶來的不確定度為：

(18)

4.2 正弦部分曲線段

將正弦參數(shù)擬合與直線參數(shù)擬合同等看待，當時刻點t1之前的曲線為正弦波形時，參數(shù)ρp及噪聲與量化給t1帶來的不確定度依然可以按照式(14)～(18)等同估計。

同理，時刻點t2之前的曲線為正弦波形，參數(shù)ρq的不確定度為：

(19)

ρq給t2帶來的不確定度為：

(20)

采集序列的隨機噪聲與量化誤差的有效值是ρq，因而，它們造成的t2點幅度不確定度為：

un(x)=ρq

(21)

噪聲與量化給t2帶來的不確定度為：

(22)

采樣間隔給t2帶來的不確定度uv(t2)與給t1帶來的不確定度uv(t1)相等，可按式(18)估計。

4.3 合成標準不確定度

由于上述各個不確定度分量均是通過模型化方法獲得，可以按照它們之間互不相關(guān)來進行處理，由此得到正弦波形建立時間的測量不確定度為：

(23)

式中：ua為建立時間tset的測量重復性帶來的不確定度，以實驗標準偏差方式估計。

由式(23)可見，正弦波建立時間的不確定度主要受采樣速率、擬合殘差有效值、時刻點處的曲線斜率等因素影響。增加采樣速率可以降低不確定度，調(diào)整時刻點的判據(jù)，使其附近的曲線斜率增加，也可以降低不確定度。當然，對測量曲線進行適當濾波，降低擬合殘差有效值，也能降低測量不確定度。

5 問題討論

本文所述方法在實際運用中，可望解決正弦波形建立時間的精確測量與校準問題，但仍然有一些問題需要特別予以關(guān)注。

首先是狀態(tài)切換的過渡過程的有效抓取問題。這方面問題的解決，主要可以從數(shù)字示波器眾多豐富的觸發(fā)功能中尋找和構(gòu)建觸發(fā)條件。通常，涉及到幅度跳變、頻率捷變、毛刺影響、尖峰、浪涌、過載恢復等狀態(tài)切換過程的抓取，基本上都可以通過已有觸發(fā)功能及其條件組合實現(xiàn)。只有以相位跳變實現(xiàn)為特征的脈沖調(diào)制過程的建立時間測量，觸發(fā)抓取難度較大，可以通過深存儲方式進行長序列測量存儲，再從中尋找出相位跳變點；或者使用狀態(tài)切換控制信號進行外觸發(fā)方式獲得相位跳變的過渡過程。

其次，是由一段正弦波形切換到另一段正弦波形的雙正弦切換，其完整分析需要進行兩次正弦擬合。一次是切換點之前的正弦波擬合，并以此尋找到狀態(tài)切換點t1；另外一次是狀態(tài)切換之后達到穩(wěn)定狀態(tài)的正弦波擬合，并以此尋找到過渡狀態(tài)結(jié)束點t2。關(guān)于擬合數(shù)據(jù)段的截取，需要確保使用過渡過程以外的穩(wěn)定正弦波形部分進行，否則，將可能導致擬合不收斂，或收斂到不希望的錯誤狀態(tài)上。

另外，本文上述示例中，信號源均是從近似零狀態(tài)跳變到正弦輸出狀態(tài)，其過渡過程本身體現(xiàn)的是完整的正弦波形建立過程，實際工作中面臨的狀態(tài)要復雜得多，當其從一個大幅值正弦波切換到一個小幅值正弦波時，其過渡過程體現(xiàn)的內(nèi)涵還要包括電路放電效應過程外的過載恢復過程。

最后，需要說明的是，若進行不確定度評定時，兩個時刻點的斜率計算均需要從其自身位置向斜率大的方向差分獲得。

6 結(jié) 論

綜上所述，正弦信號建立時間的應用需求十分廣泛，涉及到正弦信號源的開關(guān)特性、脈沖調(diào)制特性、捷變頻特性、過載恢復特性等眾多方面特性。利用本文上述方法，可以實現(xiàn)對其進行精確定位與測量，其中所用到的核心技術(shù)為波形抓取和四參數(shù)正弦擬合。因此，可以很容易進行推廣應用。

實驗結(jié)果表明，正弦波信號源的建立時間是一個相對穩(wěn)定的參數(shù)，但不同條件下的狀態(tài)切換，可以導致差異巨大的建立時間，對其進行精確測量與評價，有助于脈沖調(diào)制、捷變頻技術(shù)等的計量校準與深入研究。