通過(guò)線性增量控制抑制混沌

劉 暢,曾以成

(湘潭大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,湖南湘潭 411105)

1 引言

自1990年,Ott等[1]基于參數(shù)微擾的方法第一次成功實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的控制以來(lái),關(guān)于混沌控制的問(wèn)題就一直吸引著人們不斷地進(jìn)行探索.混沌控制分為兩大研究方向,其一是增強(qiáng)混沌[2–3],即增強(qiáng)混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜性,利用混沌的長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性和內(nèi)在偽隨機(jī)性來(lái)進(jìn)行保密通信[4–5]、圖像加密[6]、產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)[7]等.近年來(lái),研究最多的增強(qiáng)混沌的方法,是實(shí)現(xiàn)吸引子的多渦卷化,或多翅膀化,具體方法包括擴(kuò)展指標(biāo)2的鞍焦點(diǎn)[8]、狀態(tài)反饋控制[9]以及引入憶阻器[10]等.其二是抑制混沌[11–12],在需要避免非線性系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)時(shí),或不希望非線性系統(tǒng)出現(xiàn)強(qiáng)混沌狀態(tài)時(shí),則通過(guò)某種控制策略控制非線性系統(tǒng)進(jìn)入非混沌的目標(biāo)狀態(tài),或通過(guò)一些方法削弱非線性系統(tǒng)的混沌強(qiáng)度.例如在電子系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中要避免出現(xiàn)混沌以求系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性[13].然而,通過(guò)退化吸引子,即減少吸引子渦卷數(shù),從而抑制混沌的研究卻很少見.

最近,Natiq等[14]通過(guò)構(gòu)造2個(gè)非線性控制器,將等離子體擾動(dòng)系統(tǒng)的兩翼蝴蝶吸引子分裂為一對(duì)共存的單翼吸引子,而后均退化為周期軌道,其控制實(shí)質(zhì)是分離了等離子體擾動(dòng)系統(tǒng)的平衡點(diǎn).平衡點(diǎn)的存在性及其穩(wěn)定性是混沌系統(tǒng)產(chǎn)生多渦卷吸引子的關(guān)鍵因素,尤其是指標(biāo)2的鞍焦點(diǎn),它是系統(tǒng)產(chǎn)生渦卷運(yùn)動(dòng)的前提.因此,在非線性多渦卷系統(tǒng)中,深入研究移動(dòng)平衡點(diǎn)或減少平衡點(diǎn)的數(shù)量來(lái)逐漸減少多渦卷吸引子的渦卷數(shù)從而達(dá)到抑制混沌目的是非常有意義的,將進(jìn)一步揭示非線性系統(tǒng)中平衡點(diǎn)和吸引子渦卷之間的關(guān)系.

2011年,Sharma等[15]提出了線性增量控制,該方法最初的目的是穩(wěn)定非線性系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn),后來(lái)被應(yīng)用在控制驅(qū)動(dòng)–響應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為[16],以及減少多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)[17–18]等方面.仔細(xì)研究后發(fā)現(xiàn)線性增量控制實(shí)際上是通過(guò)控制平衡點(diǎn)的移動(dòng)來(lái)達(dá)到控制目標(biāo)的,與文獻(xiàn)[14]中的控制對(duì)象一致.

受上述分析啟發(fā),將線性增量控制方法應(yīng)用于非線性多渦卷混沌系統(tǒng)中,研究其對(duì)吸引子退化及抑制混沌的控制作用.并以經(jīng)典的三維Lorenz 兩翼系統(tǒng)[19]、三維四翼系統(tǒng)[20]以及新四維風(fēng)車型四翼系統(tǒng)為例,驗(yàn)證線性增量控制在不同維數(shù)不同渦卷數(shù)混沌系統(tǒng)中減少吸引子渦卷數(shù)從而抑制混沌的有效性.

2 線性增量控制

實(shí)施線性增量控制的動(dòng)力系統(tǒng)的一般表達(dá)形式為

其中:x,y,z為非線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量,F(x,y,z)為狀態(tài)函數(shù).將線性增量控制應(yīng)用到系統(tǒng)(2)中,以耦合在x狀態(tài)變量方程為例,將得到如下4D非線性系統(tǒng):

根據(jù)系統(tǒng)(3)的表達(dá)形式可知,如果狀態(tài)函數(shù)已知,則能分析系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性及其穩(wěn)定性,進(jìn)而研究線性增量控制對(duì)吸引子退化及抑制混沌的控制作用.因此在后續(xù)論述中筆者結(jié)合具體的多渦卷非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析討論.

3 三維Lorenz兩翼吸引子系統(tǒng)

經(jīng)典Lorenz系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

如圖1中的圓點(diǎn)所示.根據(jù)平衡點(diǎn)處的Jacobian矩陣,可得到相應(yīng)的特征值方程,其特征值解中實(shí)部為正數(shù)的個(gè)數(shù)即為指標(biāo)[22].通過(guò)計(jì)算得Lorenz系統(tǒng)3個(gè)平衡點(diǎn)處的特征值分別為

因此S1和S3是指標(biāo)2的鞍焦點(diǎn),S2是指標(biāo)1的鞍點(diǎn).

圖1 Lorenz系統(tǒng)兩翅膀吸引子Fig.1 Two-wing attractor of Lorenz system

引入線性增量控制后,系統(tǒng)(4)將變?yōu)槿缦滤木S非線性系統(tǒng):

取k=1,q為平衡點(diǎn)S1的x坐標(biāo),即

圖2 系統(tǒng)(5)3個(gè)平衡點(diǎn)的x坐標(biāo)隨ε增大的移動(dòng)曲線Fig.2 x(ε)curves of three equilibria of system(5)

根據(jù)圖2,可以發(fā)現(xiàn)隨著耦合參數(shù)ε逐漸增大,平衡點(diǎn)S1的坐標(biāo)位置不變,而S2和S3兩個(gè)平衡點(diǎn)互相靠近,最終于ε=4.7 時(shí)重合后消失.只剩下一個(gè)平衡點(diǎn)S1(8.4858, 8.4858, 27, 0.0012),且其特征值為{?12.5, 0.0384+10.5i,0.0384?10.5i, ?2.243},依然是指標(biāo)2的鞍焦點(diǎn).在Lorenz兩翅膀吸引子中,2個(gè)指標(biāo)2的鞍焦點(diǎn)S1和S3是產(chǎn)生2個(gè)翅膀的關(guān)鍵,而指標(biāo)1的鞍點(diǎn)S2是連接2個(gè)翅膀之間鍵帶形成的基礎(chǔ).S2和S3兩個(gè)平衡點(diǎn)的消失將使得兩翅膀吸引子中圍繞平衡點(diǎn)S3的翅膀消失,只剩下圍繞平衡點(diǎn)S1的單翅膀,呈現(xiàn)出兩翅膀到單翅膀的變化趨勢(shì).當(dāng)ε繼續(xù)增大,Lorenz系統(tǒng)受到線性系統(tǒng)的影響增強(qiáng),混沌強(qiáng)度將被逐漸減弱,最終穩(wěn)定在周期狀態(tài).隨耦合參數(shù)ε變化的系統(tǒng)狀態(tài)變量x的分岔圖以及相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜證明了整個(gè)Lorenz系統(tǒng)混沌強(qiáng)度減弱的過(guò)程,如圖3所示.根據(jù)分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜選取ε的值,得到特定形態(tài)吸引子在x–z平面的相軌圖,如圖4所示,初始條件為(2.9,?1.3, 25, 0.1).

圖3 系統(tǒng)(5)分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜Fig.3 Bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum of system(5)

圖4 系統(tǒng)(5)吸引子在x–z平面的相軌圖Fig.4 Phase portraits of attractor of the system(5)in the x–z plane

另外,當(dāng)取q=x3=?8.4858時(shí),可以得到相同的控制結(jié)果.通過(guò)計(jì)算可得此時(shí)系統(tǒng)(5)的3個(gè)平衡點(diǎn)x坐標(biāo)的計(jì)算方程式如式(7)所示.3個(gè)平衡點(diǎn)的x坐標(biāo)隨耦合參數(shù)ε增大而移動(dòng)的曲線如圖5(a)所示,可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)坐標(biāo)位置不變的平衡點(diǎn)是S3,消失的平衡點(diǎn)是S1和S2,最終的周期1極限環(huán)將圍繞平衡點(diǎn)S3,如圖5(b)所示.

圖5 q=x3=?8.4858,系統(tǒng)(5)Fig.5 System(5)at q=x3=?8.4858

4 三維四翼吸引子系統(tǒng)

在三維四翼吸引子系統(tǒng)中引入線性增量控制,可得到四維非線性系統(tǒng)如下所示:

當(dāng)ε=0時(shí),即未控制情況下,三維四翼系統(tǒng)在參數(shù)a=3,b=8,c=4,h=1,d=2以及初始值條件(0.1,0.1,0.1)可產(chǎn)生一個(gè)四渦卷吸引子,且有5個(gè)平衡點(diǎn):S1(2.4495,?3,?2.4495), S2(1.6630,2,2.4495), S3(0,0,0),S4(?1.6630,2,?2.4495)以及S5(?2.4495,?3,2.4495),如圖6所示.經(jīng)過(guò)計(jì)算知S1,S2,S4,S5是指標(biāo)2的鞍焦點(diǎn),S3是指標(biāo)1的鞍點(diǎn).

取k=1,q=x2=1.6630,且令=0,通過(guò)計(jì)算,得到系統(tǒng)(8)5個(gè)平衡點(diǎn)x坐標(biāo)的計(jì)算方程如式(9),根據(jù)式(9)得到5個(gè)平衡點(diǎn)的x坐標(biāo)隨ε增大而移動(dòng)的曲線如圖7所示.

圖6 ε=0,四渦卷吸引子Fig.6 Four-scroll attractor for ε=0

圖7 系統(tǒng)(8)5個(gè)平衡點(diǎn)的x坐標(biāo)隨增大的移動(dòng)曲線Fig.7 x(ε)curves of five equilibria of system(8)

根據(jù)圖7,可以發(fā)現(xiàn)隨著耦合強(qiáng)度ε的增大,S2的坐標(biāo)位置保持不變,S3和S4兩個(gè)平衡點(diǎn)的x坐標(biāo)逐漸靠近,當(dāng)ε=1.1 時(shí),S3和S4兩個(gè)平衡點(diǎn)重合后消失.而S1和S5兩個(gè)平衡點(diǎn)會(huì)逐漸遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)S2而后S1和S5互相靠近,當(dāng)ε=2.3時(shí)也重合后消失,最終只剩下平衡點(diǎn)S2.此時(shí)其坐標(biāo)為S2(1.6630,2,2.4495,0),相應(yīng)的特征值為{?8.592,0.7485+4.927i,0.7485?4.927i,?0.9050},依然是指標(biāo)2的鞍焦點(diǎn).從0開始增大ε的過(guò)程中,系統(tǒng)吸引子呈現(xiàn)出從四渦卷變?yōu)槿郎u卷、二渦卷、單渦卷的趨勢(shì),最終穩(wěn)定在圍繞平衡點(diǎn)S2的周期1極限環(huán),如圖8所示,系統(tǒng)初始值為(0.1,0.1,0.1,0.1).隨耦合參數(shù)ε變化的系統(tǒng)狀態(tài)變量x的分岔圖以及相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜也證明了這個(gè)系統(tǒng)混沌退化的過(guò)程,如圖9所示.

圖8 系統(tǒng)(8)吸引子在x–z平面的相軌圖Fig.8 Phase portraits of attractor of the system(8)in the x–z plane

圖9 系統(tǒng)(8)分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜Fig.9 Bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum of system(8)

在控制的過(guò)程中系統(tǒng)的吸引域也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化,如圖10所示.其中白色區(qū)域?yàn)闊o(wú)界解區(qū)域,圖10(a)中黑色區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)(8)在ε=0(控制前)時(shí)可以產(chǎn)生四渦卷吸引子的吸引域,圖10(b)中灰色區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)(8)在ε=2.4(控制后)時(shí)可以產(chǎn)生周期1極限環(huán)的吸引域.比較圖10(a)和圖10(b)可以發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)(8)的吸引域面積縮小,且集中在平衡點(diǎn)S2所在的區(qū)域.

圖10 系統(tǒng)(8)在控制前和后的吸引盆,取截面為y=u=0.1Fig.10 Basins of attraction of system(8)in y=u=0.1 plane before and after control

另外,當(dāng)取q=x4=?1.6630時(shí),可以得到相同的控制結(jié)果,只是最終剩下的平衡點(diǎn)為S4,最終的周期1極限環(huán)圍繞平衡點(diǎn)S4如圖11所示.

圖11 q=?1.6630, ε=2.4,周期1Fig.11 period-1 limit cycle for q=?1.6630 and ε=2.4

5 四維風(fēng)車型四翼吸引子系統(tǒng)

線性增量控制除了在不同渦卷數(shù)的三維系統(tǒng)中能夠達(dá)到消除渦卷和抑制混沌的控制目標(biāo)外,對(duì)于更高維數(shù)的多翼非線性系統(tǒng)一樣適用.對(duì)一個(gè)四維四翼系統(tǒng)[23]進(jìn)行改造得到一個(gè)可以產(chǎn)生風(fēng)車型四翼吸引子的系統(tǒng),引入線性增量控制后為

初始值條件為(1,1,1,1,0.1).通過(guò)不斷增大耦合參數(shù)ε同樣實(shí)現(xiàn)了蝶翼消除和混沌退化的控制目標(biāo),如圖12中不同耦合參數(shù)ε下的相軌圖所示.

圖12 系統(tǒng)(9)隨耦合參數(shù)ε變化的吸引子在y–w平面的相軌圖Fig.12 Phase portraits of attractor of the system(9)in the y–w plane under different values of ε

6 電路實(shí)現(xiàn)

以三維四翼吸引子系統(tǒng)的控制為例進(jìn)行電路實(shí)現(xiàn),設(shè)計(jì)的電路如圖13中所示.為避免變量動(dòng)態(tài)范圍超出集成運(yùn)放的線性動(dòng)態(tài)范,在將系統(tǒng)(8)狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換為電路方程時(shí)需將狀態(tài)變量壓縮10倍,而后進(jìn)行時(shí)間尺度變換,時(shí)間尺度變換因子為τ0=1000.根據(jù)基爾霍夫定律,相應(yīng)的電路方程可以描述為

令R12至R19電阻值均為10 k?,電容值均為10 nF,通過(guò)計(jì)算可以得到通過(guò)調(diào)整R3,R10和R11三個(gè)電阻的電阻值即可得到在不同耦合參數(shù)ε下吸引子在x–z平面的相軌圖,如圖4所示.另外,為了驗(yàn)證該設(shè)計(jì)電路的實(shí)際可行性,搭建了硬件電路,如圖15所示.在示波器上觀測(cè)到的硬件電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果與Multism仿真結(jié)果吻合,以四渦卷吸引子、單渦卷吸引子和周期1極限環(huán)為例,如圖16所示.

圖13 系統(tǒng)(8)對(duì)應(yīng)的電路圖Fig.13 Chaotic circuit corresponding to system(8)

圖14 Multism電路仿真結(jié)果Fig.14 Circuit simulation results captured on Multism

圖15 硬件電路實(shí)驗(yàn)真實(shí)環(huán)境Fig.15 Real environment of hardware circuit experiment

圖16 硬件電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.16 Hardware circuit results captured in digital oscilloscope

7 結(jié)論

針對(duì)多渦卷非線性系統(tǒng)中吸引子簡(jiǎn)單化和混沌抑制的問(wèn)題,本文證實(shí)了線性增量控制的有效性.三維Lorenz兩翼吸引子系統(tǒng)、三維四翼系統(tǒng)以及四維風(fēng)車型四翼吸引子系統(tǒng)作為被控制的例子,在x狀態(tài)方程上引入了線性增量控制后,吸引子被退化且混沌被抑制.實(shí)際上,在其他不同維數(shù)不同渦卷數(shù)的多渦卷非線性系統(tǒng)中,引入此控制于任意狀態(tài)變量方程上同樣可以達(dá)到相同的控制效果.另外,線性增量控制電路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,易于實(shí)現(xiàn),僅通過(guò)調(diào)整受耦合參數(shù)影響的電阻的電阻值,即可實(shí)現(xiàn)在不同渦卷數(shù)的吸引子以及不同周期態(tài)之間靈活切換,將為混沌電路的控制提供一種實(shí)用方法.