結(jié)構(gòu)力學(xué)中位移法與力矩分配法的關(guān)系分析★

姚展環(huán) 楊 威 馮章標(biāo) 凌志丹 農(nóng)妍妹

(北部灣大學(xué)建筑工程學(xué)院，廣西 欽州 535011)

0 引言

目前，計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的精確方法主要是位移法，位移法的思想是法國(guó)的納維于1826年提出的，其基本未知量包括節(jié)點(diǎn)的角位移和獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的線位移。但現(xiàn)實(shí)中大多數(shù)為多層多跨的結(jié)構(gòu)體系，有多個(gè)未知量，需要列多個(gè)位移法方程來求解。H.克羅斯于1930年在位移法的基礎(chǔ)上，提出了不必解方程組而是逐次逼近的力矩分配法，大大地減輕了工程的計(jì)算工作。位移法和力矩分配法的共性和特性給我們提供了一個(gè)建立二者關(guān)系的視角。兩者都需借助不平衡力矩以及查詢形常數(shù)表和載常數(shù)表來獲取形常數(shù)載常數(shù)來計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力。但兩者性質(zhì)不同，位移法是精確解法，是以節(jié)點(diǎn)的角位移和獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的線位移作為基本未知量。而力矩分配法是近似解法，主要是通過對(duì)剛節(jié)點(diǎn)施加阻止轉(zhuǎn)動(dòng)的約束得到各固端彎矩，并分配傳遞至各剛結(jié)點(diǎn)平衡。

通過研究位移法的計(jì)算過程，引入曲率半徑、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、分配系數(shù)和傳遞系數(shù)將位移法求解過程中的方程消除，從而得到不必解算聯(lián)立方程的近似解法——力矩分配法。本文將以例題展開討論位移法和力矩分配法之間的關(guān)系。

1 位移法計(jì)算過程

位移法是以結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量；以結(jié)點(diǎn)和截面的平衡方程為基本方程，據(jù)以求出結(jié)點(diǎn)位移；最后求出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。其最大的特點(diǎn)在于：位移法的思路是先通過加入附加聯(lián)系固定所有獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移，此時(shí)各附加聯(lián)系上將產(chǎn)生附加反力(不平衡反力)，為消除這些附加反力，同時(shí)放松各結(jié)點(diǎn)(即同時(shí)取消所有附加聯(lián)系)，從而同時(shí)消除各附加聯(lián)系上的附加反力。若附加聯(lián)系不止一個(gè)，則必須求解聯(lián)立的位移法典型方程[3]。

例題：用位移法計(jì)算如圖1所示連續(xù)梁的彎矩。

1)基本體系(見圖2)：

2)位移法方程：

k11Δ1+F1P=0

(1)

其中，Δ1為連續(xù)梁結(jié)點(diǎn)B角位移；k11為基本結(jié)構(gòu)在單位轉(zhuǎn)角Δ1=1作用下在附加約束中的約束力矩；F1P為基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下在附加約束中的約束力矩。

3)計(jì)算k11,F1P(見圖3～圖6)：

由結(jié)點(diǎn)B的力矩平衡可得：

∑MB=0，k11=3i+3i=6i

(2)

由結(jié)點(diǎn)B的力矩平衡可得：

∑MB=0，F(xiàn)1P=ql2/8

(3)

4)計(jì)算Δ1:

Δ1=-F1P/k11=-ql2/48i

(4)

5)作M圖(如圖7所示)：由彎矩的疊加原理：

(5)

MBA=3i×(-ql2/48i)+ql2/8=ql2/16

(6)

MBC=3i×(-ql2/48i)=-ql2/16

(7)

其中，MBA為AB桿的B端彎矩；MBC為BC桿的B端彎矩。

2 力矩分配法計(jì)算過程

力矩分配法的求解思路則有所不同，第一步先約束所有獨(dú)立結(jié)點(diǎn)角位移，得到基本結(jié)構(gòu)，顯然各結(jié)點(diǎn)將產(chǎn)生不平衡力矩。為了使基本結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為原結(jié)構(gòu)，必須消除各結(jié)點(diǎn)不平衡力矩(因?yàn)樵Y(jié)構(gòu)中不存在這些不平衡力矩)[3]。

由例題，

1)先在B結(jié)點(diǎn)加上阻止轉(zhuǎn)動(dòng)的約束(見圖8)：

(8)

2)松開結(jié)點(diǎn)B：

相當(dāng)于結(jié)點(diǎn)B施加一個(gè)力偶荷載-ql2/8。

轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：

SBA=3iBA=3i

(9)

BBC=3iBC=3i

(10)

其中，SBA為AB桿B端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度；SBC為BC桿B端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。

分配系數(shù)：

μBA=SBA/(SBA+SBC)=3i/(3i+3i)=0.5

(11)

μBC=SBC/(SBA+SBC)=3i/(3i+3i)=0.5

(12)

其中，μBA為AB桿在B端的分配系數(shù);μBC為BC桿在B端的分配系數(shù)。

∑μ=μBA+μBC=1

(13)

分配彎矩：

(14)

(15)

傳遞彎矩均為0。

即：

(16)

(17)

∑MB=ql2/16-ql2/16=0

(18)

3 位移法與力矩分配法關(guān)系分析

位移法與力矩分配法均運(yùn)用了不平衡力矩，都借助不平衡力矩來計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力。兩者都需要查詢形常數(shù)和載常數(shù)表來獲取形常數(shù)載常數(shù)以便計(jì)算。

由式(2)，圖4可知：

k11=∑i

(19)

由式(3)，圖6可知：

F1P=-M

(20)

由式(4)，式(19)，式(20)得：

Δ1=-F1P/K11=M/∑i

(21)

(22)

由式(21)，式(22)可得：

(23)

由曲率K表示單位弧段上切線轉(zhuǎn)過角度的大小作如下定義：

K=Δα/Δs

(24)

其中，K為桿件中性層的曲率；Δα為轉(zhuǎn)角增量;Δs為弧長(zhǎng)增量。

由曲率與曲率半徑的互為倒數(shù)的關(guān)系有：

K=1/ρ

(25)

其中，ρ為桿件中性層的曲率半徑。

由式(24)，式(25)得：

1/ρ=Δα/Δs

(26)

或：

Δα=Δs/ρ

(27)

由轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S為單位轉(zhuǎn)角所需的力矩作如下定義：

S=M/Δα

(28)

由桿件的彎矩：

M=EI/ρ

(29)

其中，E為材料的彈性模量；I為桿件截面的慣性矩。

由式(27)～式(29)得：

S=M/Δα=(EI/ρ)/(Δs/ρ)=EI/Δs

(30)

由可變形固體的小變形假設(shè)由Δs≈1，因此得：

S=EI/Δs≈EI/l=i

(31)

由力矩分配系數(shù)μ為同一剛結(jié)點(diǎn)上的某一根桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度與所有桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和的比值，作如下定義：

μ=Si/∑Si=ii/∑i

(32)

由式(23)得分配彎矩：

(33)

對(duì)于等截面桿件，由于均勻性假設(shè)與影響線，可知同一桿件彎矩變化為線性變化，由相似原理，與傳遞系數(shù)C表示當(dāng)桿件近端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角時(shí)，桿件遠(yuǎn)端彎矩與近端彎矩的比值作如下定義，即：

得：

(34)

因?yàn)槲灰品ㄖ泻奢d在基本結(jié)構(gòu)中相應(yīng)截面上所產(chǎn)生的彎矩MP與力矩分配法中在節(jié)點(diǎn)加上阻止轉(zhuǎn)動(dòng)的約束后由荷載產(chǎn)生的固端彎矩MF均由等截面直桿的載常數(shù)可查得，即：

MP=MF

(35)

由式(33)，式(35)：

(36)

其中，M′為遠(yuǎn)端或近端的分配彎矩。

故位移法與力矩分配法的計(jì)算結(jié)果相同。

對(duì)于多結(jié)點(diǎn)的體系，由于其處于平衡狀態(tài)，即每個(gè)結(jié)點(diǎn)的內(nèi)力與外力合力為0，所以當(dāng)結(jié)點(diǎn)合力不近似于0時(shí)，不為0的合力矩繼續(xù)傳遞直至結(jié)點(diǎn)合外力近似等于0。最終累加各桿端所得的分配彎矩可得各桿端彎矩。

4 結(jié)語

位移法是通過平衡條件建立位移法方程，取隔離體來計(jì)算不平衡力矩。而力矩分配法是在位移法的基礎(chǔ)上引入曲率半徑、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、分配系數(shù)與傳遞系數(shù)將位移法求解過程中的方程消除，所以力矩分配法不需要列方程，只需按照分配系數(shù)來分配不平衡力矩，但計(jì)算過程相對(duì)繁雜，需要很強(qiáng)的細(xì)心及耐心。

致謝：本文是在蔣瓊明博士的指導(dǎo)下完成的，在此表示深深的感謝。