小學(xué)數(shù)學(xué)拓展課：設(shè)計(jì)、樣態(tài)、模式與取向

□潘紅娟

編者按

數(shù)學(xué)拓展課的開發(fā)與實(shí)施

數(shù)學(xué)拓展課，旨在激發(fā)數(shù)學(xué)興趣、關(guān)注活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、落實(shí)核心素養(yǎng)、實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。近幾年來，不斷為廣大教師認(rèn)同、接受。但縱觀此領(lǐng)域的研究可以發(fā)現(xiàn)，大部分?jǐn)?shù)學(xué)拓展課還是停留于單節(jié)課的實(shí)踐，缺少從“課”到“類”的研究。杭州市江干區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì)在經(jīng)歷區(qū)域調(diào)研、行動(dòng)研究之后，進(jìn)一步由點(diǎn)及面類化梳理，初步形成“數(shù)學(xué)繪本類”“數(shù)學(xué)文化類”“數(shù)學(xué)游戲類”“項(xiàng)目學(xué)習(xí)類”“綜合實(shí)踐類”等各類數(shù)學(xué)拓展課的基本模型，并就不同課型的教學(xué)結(jié)構(gòu)、內(nèi)容開發(fā)、教與學(xué)的關(guān)鍵把握等進(jìn)行共性提煉，為數(shù)學(xué)拓展課的開發(fā)與實(shí)施提供很有價(jià)值的基本參照模式。本刊特刊登其研究成果，以饗讀者。

數(shù)學(xué)拓展課，通常是指以非教材例題為學(xué)習(xí)內(nèi)容，以綜合素養(yǎng)發(fā)展和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累為重點(diǎn)，并將學(xué)習(xí)內(nèi)容與數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)繪本、數(shù)學(xué)文化、綜合實(shí)踐、現(xiàn)實(shí)話題、真實(shí)任務(wù)等有機(jī)整合的課型。

當(dāng)前，關(guān)于數(shù)學(xué)拓展課的研究，不乏對(duì)其價(jià)值意義、基本特征的深入研究，不乏對(duì)單節(jié)拓展課的課例研究。那么，我們能為數(shù)學(xué)拓展課的教學(xué)研究做些什么呢？經(jīng)過思考，確定了兩個(gè)可能的方向：其一，還原數(shù)學(xué)拓展課的設(shè)計(jì)原理與基本思路，為一線教師設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)拓展課提供一般的流程框架與程序參照；其二，從“課”到“類”，對(duì)數(shù)學(xué)拓展課進(jìn)行分類研究與模式構(gòu)建，對(duì)不同課型的教學(xué)結(jié)構(gòu)、教與學(xué)的關(guān)鍵把握進(jìn)行共性提煉，為一線教師實(shí)施拓展課教學(xué)提供一般的實(shí)踐路徑與模式參照。筆者所在團(tuán)隊(duì)開發(fā)了200余節(jié)數(shù)學(xué)拓展課例，積累了一些經(jīng)驗(yàn)。下面從“教學(xué)設(shè)計(jì)”“基本樣態(tài)與模式構(gòu)建”“基本取向”三個(gè)維度展開討論。

一、數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)容維度與一般流程

有效設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)拓展課是實(shí)施拓展課教學(xué)的前提。實(shí)踐中我們逐漸認(rèn)識(shí)到，指向素養(yǎng)的拓展課教學(xué)已經(jīng)大大超出原來基于教材內(nèi)容的“教學(xué)設(shè)計(jì)”范疇，沒有可依據(jù)的明確的教學(xué)目標(biāo)，沒有直接可利用的例題材料與內(nèi)容，教師在進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)需要思考以下八個(gè)維度的問題：①學(xué)科知識(shí)：拓展課教學(xué)將指向數(shù)學(xué)學(xué)科的哪些知識(shí)與能力？②素養(yǎng)目標(biāo)：期待學(xué)習(xí)中培育學(xué)生哪些方面的素養(yǎng)？③內(nèi)容資源：選擇怎樣的內(nèi)容資源？是某一個(gè)熱點(diǎn)話題、某一個(gè)游戲、某一本繪本，還是某一個(gè)史料？④驅(qū)動(dòng)性問題：采用怎樣的問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生深度參與學(xué)習(xí)？⑤認(rèn)知策略：?jiǎn)栴}將引發(fā)學(xué)生采用哪些學(xué)習(xí)策略？⑥活動(dòng)任務(wù)：設(shè)計(jì)怎樣的挑戰(zhàn)性任務(wù)可以導(dǎo)引學(xué)生思考？⑦學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)：如何設(shè)計(jì)交流評(píng)價(jià)活動(dòng)，以促進(jìn)成果、方法的共享與提升？⑧成果展示：期待學(xué)生產(chǎn)生怎樣的成果或延伸話題？

下面的框架圖（如圖1）大致描述了數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)設(shè)計(jì)的基本流程。

圖1 數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)設(shè)計(jì)過程框架

以“小區(qū)垃圾知多少”這一內(nèi)容為例，對(duì)以上數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)設(shè)計(jì)過程框架作簡(jiǎn)要闡釋。

（1）尋找核心知識(shí)，確定素養(yǎng)目標(biāo)，開發(fā)課程內(nèi)容。數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)設(shè)計(jì)一般有兩條路徑：路徑一，先有課程內(nèi)容，然后根據(jù)內(nèi)容資源進(jìn)行教學(xué)化處理，確定相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)能力目標(biāo)與素養(yǎng)目標(biāo)；路徑二，先有學(xué)習(xí)目標(biāo)，包括數(shù)學(xué)認(rèn)知層面的核心目標(biāo)、需要培養(yǎng)的綜合素養(yǎng)目標(biāo)，然后去選擇、創(chuàng)生課程內(nèi)容。兩者都需要教師具有較強(qiáng)的課程開發(fā)能力?！靶^(qū)垃圾知多少”屬于前者，經(jīng)歷的是內(nèi)容資源“課程化”的過程。由熱點(diǎn)話題引發(fā)，挖掘問題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)性和教育性，據(jù)此出發(fā)形成拓展學(xué)習(xí)課程。

（2）設(shè)計(jì)驅(qū)動(dòng)性問題。驅(qū)動(dòng)性問題是拓展課教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，直接與整節(jié)課的目標(biāo)指向、學(xué)習(xí)策略、學(xué)習(xí)方式相關(guān)聯(lián)?！袄鴨栴}”可涉及的話題眾多，如“垃圾分類問題”“垃圾存放問題”“垃圾處理問題”等等。最后我們選擇“一個(gè)小區(qū)一天會(huì)產(chǎn)生多少垃圾”作為驅(qū)動(dòng)性問題，主要考慮幾方面因素：①這一問題具有數(shù)據(jù)分析能力、運(yùn)算能力、解決問題能力等極為豐富的能力培養(yǎng)要素；②這是一個(gè)熱點(diǎn)話題，具有鮮明的“環(huán)境保護(hù)”教育性特征；③學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)、經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備可支持此問題研究；④問題解決的空間較大，解決策略多樣。

（3）厘清解決問題的認(rèn)知策略。設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)之前，教師需要分析學(xué)生是如何解決這個(gè)問題的，學(xué)生所用到的是低階學(xué)習(xí)策略還是高階學(xué)習(xí)策略。事實(shí)上，解決“小區(qū)垃圾知多少”的問題，首先，學(xué)生需要開展調(diào)查，可以“按戶調(diào)查”“按人調(diào)查”“按單元調(diào)查”“按幢調(diào)查”等；其次，調(diào)查方式多種多樣，可以向社區(qū)咨詢、官網(wǎng)查詢、調(diào)查問卷、實(shí)地入戶等；最后，問題解決的結(jié)果也可不同，可以用“重量”“體積”等方式進(jìn)行垃圾量的表征。顯然，整個(gè)問題的解決，學(xué)生所用到的策略不是低階學(xué)習(xí)層面的信息加工，而是高階學(xué)習(xí)層面的推理、分析、問題解決、實(shí)驗(yàn)、調(diào)查等。

（4）設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)或項(xiàng)目任務(wù)。學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)直接指向?qū)W習(xí)過程?！靶^(qū)垃圾知多少”的任務(wù)設(shè)計(jì)，經(jīng)歷了從“提供調(diào)查數(shù)據(jù)—計(jì)算垃圾量—體驗(yàn)垃圾量的多少”到“方案設(shè)計(jì)—方案論證—實(shí)踐研究—成果交流”的轉(zhuǎn)變。學(xué)習(xí)任務(wù)的轉(zhuǎn)變，實(shí)現(xiàn)了從“解題計(jì)算”到“問題解決”的轉(zhuǎn)型。為更好地發(fā)揮“任務(wù)單”的導(dǎo)引作用，教師在項(xiàng)目任務(wù)單中，設(shè)置了“研究主題”“總體思路”“研究步驟”“可能遇到的困難”等具體內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷研究者必須思考的步驟與問題。

（5）設(shè)計(jì)成果交流與評(píng)價(jià)方式。無論哪一種數(shù)學(xué)拓展課，在學(xué)生經(jīng)歷探索之后，如何進(jìn)行交流、分享與評(píng)價(jià)，都應(yīng)該成為該課教學(xué)設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容。教師需要從以下幾方面進(jìn)行先期設(shè)計(jì)：①設(shè)計(jì)交流方式。是口頭匯報(bào)、操作演示、PPT匯報(bào)，還是視頻演示？②設(shè)計(jì)交流順序。是并列式交流，還是遞進(jìn)式交流？是每個(gè)小組逐一匯報(bào)，還是將同類研究的小組整合匯報(bào)，其余小組補(bǔ)充？③設(shè)計(jì)交流側(cè)重。每一個(gè)成果交流指向問題解決的同時(shí)，是否有不同的價(jià)值？一方面，考慮匯報(bào)者解決問題策略的不同；另一方面，考慮不同小組的匯報(bào)能否對(duì)此問題的研究方法、研究過程、研究結(jié)果等作方法層面的引導(dǎo)。例如，教師在設(shè)計(jì)“小區(qū)垃圾知多少”的小組交流時(shí)，有意識(shí)地選擇不同的側(cè)重點(diǎn)，如“方案設(shè)計(jì)的完整性”“樣本選取的合理性”“計(jì)算方法的巧妙性”“計(jì)算結(jié)果的體驗(yàn)性（所產(chǎn)生的垃圾量究竟有多少）”等，并根據(jù)側(cè)重點(diǎn)逐一進(jìn)行評(píng)點(diǎn)與強(qiáng)化，實(shí)現(xiàn)方法策略引導(dǎo)。④設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)維度。為避免匯報(bào)時(shí)平面陳述與淺層重復(fù)，教師可以設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)視角：“請(qǐng)你給匯報(bào)小組的過程、方法、結(jié)果找找亮點(diǎn)，并找找茬。”通過評(píng)價(jià)，尋找優(yōu)點(diǎn)、提出質(zhì)疑、給出建議。指向“亮點(diǎn)”與“建議”的評(píng)價(jià)，有效凸顯解決問題的過程方法與策略取向。

（6）設(shè)計(jì)成果展示與延伸任務(wù)。教師在拓展教學(xué)設(shè)計(jì)之初就需要規(guī)劃：期待學(xué)生產(chǎn)生怎樣的學(xué)習(xí)結(jié)果？成果要點(diǎn)有哪些？用怎樣的方式呈現(xiàn)？例如“小區(qū)垃圾知多少”案例，課中，成果以PPT、微視頻形式，通過演講在全班進(jìn)行展示。課后，成果以海報(bào)、小電影等方式在學(xué)校展示。在被調(diào)查的社區(qū)，通過小區(qū)電子屏、海報(bào)等方式進(jìn)行成果展示與“減少垃圾產(chǎn)生，做好垃圾分類”的宣傳。

二、數(shù)學(xué)拓展課的基本樣態(tài)及模式構(gòu)建

以一節(jié)課、一個(gè)項(xiàng)目為切入點(diǎn)展開實(shí)踐與思考，雖能促進(jìn)教師對(duì)這節(jié)課的深入研究，但“就課研課”的形式，認(rèn)識(shí)往往會(huì)停留于“只見樹木，不見森林”的層面。因此，我們有意識(shí)地從“課例研究”轉(zhuǎn)向“課型研究”，試圖對(duì)拓展課的基本樣態(tài)進(jìn)行分類，讓每一節(jié)拓展課與某一類基本課型或課型變式相對(duì)應(yīng)。通過同類課例的比較、類化與提煉，形成一類課的基本模式。

（一）數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)模式提煉的一般過程

之所以提煉數(shù)學(xué)拓展課的教學(xué)模式，是因?yàn)槟Ｊ骄哂休^好的“框架功能”和“程序功能”。框架功能，可以使教師更好地把握教學(xué)活動(dòng)整體及各要素之間的關(guān)系；程序功能，則可以更好地反映某一類拓展課的環(huán)節(jié)、進(jìn)程與結(jié)構(gòu)，使其更具操作性。

下面以“棋盤中的奧秘”與“神奇的色子”為課例基礎(chǔ)，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)游戲類拓展課的模式構(gòu)建過程（如表1）。

表1 數(shù)學(xué)游戲類拓展課的模式構(gòu)建過程

通過以上案例比較，大致可以得出游戲類拓展課的基本模式與操作要點(diǎn)（如圖2）。

圖2 游戲類拓展課的基本模式與操作要點(diǎn)

當(dāng)然，以上僅是對(duì)游戲類拓展課一般模型的提煉，不同的游戲內(nèi)容仍會(huì)有不同的結(jié)構(gòu)變式。在把握游戲類拓展課基本教學(xué)流程的同時(shí)，教師仍然有必要進(jìn)一步思考這類課的其他問題，例如：如何處理好游戲的“熱情參與”與“理性思考”之間的關(guān)系？如何處理好“知識(shí)運(yùn)用”與“關(guān)鍵能力”的整合？如何處理好“游戲挑戰(zhàn)性”與“游戲可接受性”之間的關(guān)系？等等。

（二）各樣態(tài)拓展課的基本模型與操作要點(diǎn)

每一節(jié)數(shù)學(xué)拓展課往往具有各自的特征，很難清晰分類與界定，為便于描述，我們暫將拓展課教學(xué)分為“數(shù)學(xué)游戲類”“數(shù)學(xué)繪本類”“數(shù)學(xué)文化類”“綜合實(shí)踐類”“項(xiàng)目學(xué)習(xí)類”“熱點(diǎn)話題類”等。在各樣態(tài)模式研究的過程中，每一類均經(jīng)歷了“課堂實(shí)踐”“分類比照”與“模式構(gòu)建”的過程（如表2）。

表2 數(shù)學(xué)拓展課典型課例與操作要點(diǎn)

續(xù)表

從不同拓展課中選擇典型課例進(jìn)行環(huán)節(jié)比照、共性提煉，形成各樣態(tài)的基本模型（如圖3）。

圖3 數(shù)學(xué)拓展課基本樣態(tài)與模式構(gòu)建

形成一類樣態(tài)的基本模式，其優(yōu)勢(shì)是適用性廣泛，易在不同情境、不同主題下遷移應(yīng)用。但值得說明的是，不同內(nèi)容、不同主題的同類課并非具有十分統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)，每一個(gè)樣態(tài)的基本模型背后，一定會(huì)有若干種變式，限于篇幅，不再展開。（部分拓展樣態(tài)的案例支持與具體模式，可見本期話題后續(xù)文章）

三、關(guān)于數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)的基本取向

（一）追求“數(shù)學(xué)認(rèn)知”與“綜合目標(biāo)”的有機(jī)整合

數(shù)學(xué)拓展課并不滿足于知識(shí)技能的獲取、記憶與固化，“學(xué)科育人”是數(shù)學(xué)拓展課的立意之本。那么，定位于整體素養(yǎng)的發(fā)展，是不是可以不依托于數(shù)學(xué)認(rèn)知呢？我們以為，基于學(xué)科的拓展課，仍應(yīng)追求“整體發(fā)展”與“學(xué)科認(rèn)知”兩者的和諧生長，而不是脫離于數(shù)學(xué)認(rèn)知與思維提升虛空發(fā)展，部分課例的目標(biāo)分析列舉如表3。

表3 拓展課例目標(biāo)分析列舉

以上案例的基本思想是著眼于綜合素養(yǎng)，堅(jiān)守學(xué)科特質(zhì)，將“數(shù)學(xué)認(rèn)知目標(biāo)”融于“整體育人目標(biāo)”中，這應(yīng)該是數(shù)學(xué)拓展課的基本取向。

（二）驅(qū)動(dòng)性問題要蘊(yùn)含豐富的探究性與驅(qū)動(dòng)力

驅(qū)動(dòng)性問題，應(yīng)該是數(shù)學(xué)拓展課學(xué)習(xí)的核心要素。問題設(shè)計(jì)要蘊(yùn)含豐富的實(shí)踐探究性和驅(qū)動(dòng)力，有利于學(xué)生通過問題，進(jìn)行操作嘗試、小組合作，發(fā)展深度思維。

表3 所列案例中，“估一估120g彩虹糖有幾顆”“閱讀繪本，創(chuàng)造三角形”“測(cè)量人體的表面積”“想辦法知道一卷膠帶有多長”等驅(qū)動(dòng)性問題，可以是一個(gè)真實(shí)項(xiàng)目，可以是一個(gè)游戲任務(wù)，可以是綜合實(shí)踐活動(dòng)，也可以是繪本閱讀中的體驗(yàn)活動(dòng)。這些問題，大多具備以下特點(diǎn)：能較大程度地激發(fā)學(xué)生興趣；與數(shù)學(xué)知識(shí)具有一定的關(guān)聯(lián)性；問題非常規(guī)，不易完成；讓學(xué)生產(chǎn)生小組合作的想法，以便完成任務(wù)并取得成功；問題的解決具有一定的空間。

以《探索人體的表面積》為例，實(shí)踐活動(dòng)的成功開展，取決于教師選擇一個(gè)好的驅(qū)動(dòng)性問題：“你會(huì)求人體的表面積嗎？”問題一經(jīng)產(chǎn)生，豐富而巧妙的解決策略相應(yīng)誕生。這個(gè)成功拓展案例的驅(qū)動(dòng)性問題具有怎樣的特征呢？①情境性。對(duì)此情境學(xué)生感興趣，但幾乎沒有嘗試過。②復(fù)雜性和挑戰(zhàn)性。沒有直接可利用的公式、方法與步驟，具有極強(qiáng)的探索性。③可接受性?！氨砻娣e”的概念，“求不規(guī)則圖形的面積”“求長方體、正方體、圓柱表面積”等知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，可支持問題解決。④開放性。解決問題策略空間大，“描輪廓法”，將不規(guī)則轉(zhuǎn)化為規(guī)則；“裹紗布法”“穿睡衣法”，將曲面轉(zhuǎn)化為平面；“直接測(cè)量法”，通過圓柱、長方體公式直接計(jì)算求得；“查資料法”，幫助學(xué)生形成信息獲取的意識(shí)與能力。

（三）讓高階學(xué)習(xí)帶動(dòng)低階學(xué)習(xí)

高階學(xué)習(xí)是一個(gè)有意義運(yùn)用知識(shí)的過程，包含六個(gè)方面的高階策略：?jiǎn)栴}解決、創(chuàng)見、決策、實(shí)驗(yàn)、調(diào)研和系統(tǒng)分析。要判斷數(shù)學(xué)拓展教學(xué)中學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，可以看這個(gè)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生是否運(yùn)用了這些策略。如果在拓展教學(xué)中，一個(gè)高階學(xué)習(xí)策略都找不到，僅僅停留于信息收集、組織、儲(chǔ)存、鞏固等低認(rèn)知策略運(yùn)用，那么這樣的數(shù)學(xué)拓展課便不是我們所要倡導(dǎo)的。

“垃圾中的數(shù)學(xué)問題”大量運(yùn)用了問題解決策略；“單車中的數(shù)學(xué)問題”主要采用了調(diào)研策略；“一卷膠帶有多長”主要采用了實(shí)驗(yàn)策略，“我是‘毅行’設(shè)計(jì)師”主要采用了創(chuàng)見策略，學(xué)生將發(fā)散性思維運(yùn)用于毅行方案設(shè)計(jì)中；“棋盤中的奧秘”采用了決策策略；“給杭州市汽車車牌編號(hào)”采用了系統(tǒng)分析策略……當(dāng)然，很多時(shí)候的問題解決，認(rèn)知策略運(yùn)用并不是單一的，往往會(huì)互相關(guān)聯(lián)，協(xié)同運(yùn)用。