利用隔項(xiàng)思想突破數(shù)列通項(xiàng)公式難題

高振寧

(山東省新泰市第一中學(xué) 271200)

數(shù)列問題是高考解答題必考題型，隨著高考命題改革的進(jìn)行，此類考查形式變化較大、有一定的解答技巧.此類問題的本質(zhì)是數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和問題，而解決的關(guān)鍵是求解數(shù)列的通項(xiàng)公式.為此筆者就利用隔項(xiàng)思想求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法介紹一下自己的淺見，試圖建立解決此類問題的通法，供大家參考.

例1已知數(shù)列{an}滿足a1=1，anan+1=3n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

若不利用隔項(xiàng)思想：log3an+1+log3an=n，則令bn=log3an，則得

例2已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+an+1=3n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

通過上述的兩個例題，可以發(fā)現(xiàn)此類問題大都是以鄰項(xiàng)和或鄰項(xiàng)積的形式出現(xiàn)，解決問題的方法可以采取兩種方式，第一種采取隔項(xiàng)思想解決，它的本質(zhì)是在子列中構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，上述例1的子列項(xiàng)的比值為常數(shù)，是等比數(shù)列，例2的子列項(xiàng)的差值為常數(shù)，是等差數(shù)列，且兩個通項(xiàng)公式相對簡單，便于應(yīng)用解決數(shù)列的相關(guān)問題；第二種方法，直接構(gòu)造等比數(shù)列，也可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，但是通項(xiàng)公式一般含(-1)n項(xiàng)，公式本身很復(fù)雜，很抽象，應(yīng)用價值不大，即使要應(yīng)用也需要利用分類討論去掉(-1)n項(xiàng)，最終得到利用隔項(xiàng)思想得到的通項(xiàng)公式,這體現(xiàn)了隔項(xiàng)思想的巨大應(yīng)用應(yīng)用價值.隔項(xiàng)思想處理此類問題的本質(zhì)是尋找子列當(dāng)中的等差或等比數(shù)列，而直接求解是整個數(shù)列構(gòu)造公比為-1的等比數(shù)列，它們都是構(gòu)造數(shù)列，只是處理的的角度不同.

利用隔項(xiàng)思想處理問題的規(guī)律總結(jié)：

(1)題目中出現(xiàn)連續(xù)兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的和與積，

(2)若是若干項(xiàng)的和，則連續(xù)兩項(xiàng)作差；若是兩項(xiàng)的差，則連續(xù)兩項(xiàng)求和，若是若干項(xiàng)之積，則連續(xù)兩項(xiàng)求商.

(3)解決問題的靈魂是構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列.

(4)求出的通項(xiàng)公式一般是分段形式，且與奇偶數(shù)有關(guān).

(5)求出通項(xiàng)公式后，若求和一般也需對序號進(jìn)行隔項(xiàng)求解，可以利用抽象問題具體化的思想來防止出錯.

從下面兩個例題來感受如何高效利用隔項(xiàng)思想.

例3(2012全國卷)數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則數(shù)列{an}的前60項(xiàng)和為( ).

A．3690 B.3660 C.1845 D.1830

解當(dāng)n為奇數(shù)時，an+1-an=2n-1，代入n+1得an+2+an+1=2n+1，兩式相減得an+2+an=2，可知n為奇數(shù)時{an+2+an}為常數(shù)列，n為偶數(shù)時，an+1+an=2n-1，代入n+1得an+2-an+1=2n+1.

兩式相加得an+2+an=4n，可知n為偶數(shù)時{an+2+an}為等差數(shù)列，則S60=(a1+a3)+(a2+a4)+(a5+a7)+(a6+a8)+…+(a57+a59)+(a58+a60)

=(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a57+a59)+(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a58+a60)

=2×15+(8+24+…+232)=1830，故答案是D.

實(shí)際上高考試題對連續(xù)兩項(xiàng)的性質(zhì)加入(-1)n后，使題目難度增大，但是根據(jù)上述規(guī)律2，n為奇數(shù)時求差，n為偶數(shù)時求和，最終得到了子列是等差數(shù)列，但是在求解出通項(xiàng)公式后，應(yīng)用容易出錯，n為偶數(shù)時，an+2+an=4n，若求S偶=(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+…

則n的取值分別為2,6,10…，而不是2,4,6，…，這是解決此類問題的易錯點(diǎn)，可以利用列舉法來歸納規(guī)律.

例4設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an+1+an=2n+1，a2<2，則使Sn=2019的n的最大值為____.

解由題意an+1+an=2n+1，得an+2+an+1=2n+3，兩式相減得an+2-an=2，故{a2n-1}是a1為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，{a2n}是a2為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列,則

當(dāng)n為偶數(shù)時,

Sn=(a1+a3+a5+…+an-1)+(a2+a4+a6+…+an)

=[a1+(a1+2)+(a1+4)+…+(a1+n-2)]+

[a2+(a2+2)+(a2+4)+…+(a2+n-2)]

當(dāng)n為奇數(shù)時,

又因n∈N*，可知n≤63，故n的最大值是63.

此題是隔項(xiàng)思想求通項(xiàng)公式與基本不等式的知識的綜合，在不知前兩項(xiàng)的前提下，可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式與a1,a2有關(guān)，借助于分類討論思想，利用分組求和方式求出數(shù)列的Sn，發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

(1)當(dāng)n為偶數(shù)時Sn與a1,a2都無關(guān)，僅與n有關(guān)，

(2)當(dāng)n為奇數(shù)時Sn既可以寫成與a1有關(guān)的解析式，也可以寫成與a2有關(guān)的解析式.

(3)在利用求解不等式解決問題時注意變量的取值范圍.

(1)若數(shù)列{an}滿足anan+1…an+k=Mαn+β(k≥1,k∈N*,M≠0)成立，則數(shù)列{an}可以拆分成k+1個子數(shù)列，且每個子數(shù)列都為等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列{an}滿足an+an+1+…+an+k=αn+β(k≥1,k∈N*)成立，則數(shù)列{an}可以拆分成k+1個子數(shù)列，且每個子數(shù)列都為等差數(shù)列.

利用隔項(xiàng)思想解決鄰項(xiàng)數(shù)列問題，值得我們進(jìn)一步作深入的研究.