對一道高考不等式的思路探究與推廣

紀(jì)定春

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 610068)

2019年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ理科第23題，該試題為條件不等式問題，同時是一道具有數(shù)學(xué)探究價值的不等式試題.從多個角度對該試題進(jìn)行思路探究，能夠激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維;對試題進(jìn)行推廣，能夠培育學(xué)生的創(chuàng)新意識，進(jìn)而提升學(xué)生的一般性思維策略，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

一、試題的呈現(xiàn)與評注

設(shè)a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1.證明：

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

評注該試題結(jié)構(gòu)簡單、形式對稱，給人以數(shù)學(xué)美的感受.此題具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、思維面開闊、切入點多、解題思路豐富等特點，能夠滿足不同考生的解題需要，體現(xiàn)了高考對考生的人文關(guān)懷，是一道優(yōu)秀的高考不等式試題.該題目的問題設(shè)計具有層次感，可以適當(dāng)?shù)靥岣呖忌膮^(qū)分度.因此，這是一道值得探究的好試題，接下將從不同角度，對該試題進(jìn)行思路探究，并將該試題進(jìn)行推廣.

二、試題的思路分析與探究

1.對問題(1)的思路探究

思路1分析法

綜合法和分析法是常見的數(shù)學(xué)解題思路分析和探究方法.分析法是一種“執(zhí)果索因”的思維分析方式，而綜合法是從原因(條件)出發(fā)去尋找結(jié)果(結(jié)論).可見，兩種分析方法恰好是一個互逆的思維過程.

解析題設(shè)a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1.

需證bc+ac+ab≤a2+b2+c2，

需證a2+b2+c2-bc-ac-ab≥0，

需證(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0.

顯然該不等式成立.取等條件為“a=b=c=1”.(注：以下均不再指明取等條件)所以原不等式得證.

評注此方法巧用條件“abc=1”，將不等式的的左端的分式結(jié)構(gòu)化為整式結(jié)構(gòu).綜合法實質(zhì)上是一種逆向思維的方法，通過結(jié)論來找出上一步成立的必要條件.因此，可以借用此方法來培育學(xué)生的逆向思維能力.

思路2基本不等式法

根據(jù)辭海的解釋，基本是指根本、基礎(chǔ)的.可見，基本不等式是相較于重要不等式更為基礎(chǔ)的不等式，也是最根本的不等式，通過基本不等式可以推導(dǎo)其它重要不等式.故將a2≥0規(guī)定為“基本”不等式，可以發(fā)現(xiàn)這個不等式是沒法證明的.由基本不等式a2≥0出發(fā)，可以推導(dǎo)出幾何不等式、算術(shù)不等式、均值不等式、冪不等式、柯西不等式、伯努利不等式等，可見這個規(guī)定是合情理的.

解析由abc=1，將不等式兩邊同時乘以“abc”，轉(zhuǎn)化為bc+ac+ab≤a2+b2+c2.

則原問題等價為證明a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0.

由基本不等式，可知(a-b)2≥0，(b-c)2≥0，(c-a)2≥0.

所以a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0.

評注該方法先用“abc=1”，將問題中的分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，然后巧用“配湊”恒等變形，最后用基本不等式來解決，充分體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想.

思路3重要不等式法

重要不等式，是比基本不等式更加廣泛的不等式，是指向的一大類不等式，如絕對值不等式、三角不等式、對數(shù)不等式、指數(shù)不等式、柯西不等式、伯努利不等式、權(quán)方和不等式、排序不等式等.不等式一般是用來解決最值的一種方法，如求最大值、最小值等.

解析由abc=1，將等式兩邊同時乘以“abc”，可得bc+ac+ab≤a2+b2+c2.

由重要不等式，可知a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca.這三個同向不等式相加，則有a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

評注該方法巧借不等式的對稱結(jié)構(gòu)和不等式的加法性質(zhì)，建立了二元均值不等式與所證不等式之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了由局部到整體、對稱和輪換等思想.

思路4向量法

向量是具有大小和方向的量，是一種矢量.向量的引入，將無向的幾何帶上了方向和大小，這對幾何的研究是方便的、進(jìn)步的.向量法，是一種利用向量的性質(zhì)、運算等解決問題的一種方法.向量在高中應(yīng)用廣泛，如求線面角、面面角、線線角、距離、最值等.

解析借助abc=1，先將待證式的左邊化為整式，即證明a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

設(shè)向量m=(a,b,c)，n=(b,c,a).

因為|m||n|≥|m·n|，所以有

可得a2+b2+c2≥bc+ac+ab.

評注該方法巧設(shè)m=(a,b,c)、n=(b,c,a)這兩個向量，這樣才能夠使得兩個向量相乘恰好等于“ab+bc+ca”.這樣的巧設(shè)法體現(xiàn)了輪換和對稱的數(shù)學(xué)思想，值得細(xì)細(xì)品味.顯然可以看出，這里的兩個向量的設(shè)法是不唯一的.

思路5柯西不等式法

柯西不等式是高中數(shù)學(xué)選講的內(nèi)容，是一個容易被忽略的知識點，但卻是高考的一個熱門考點知識，尤其是在中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中時常使用.柯西不等式，即對任意的實數(shù)a，b，c，d，e，f，有不等式(a2+b2+c2)(d2+e2+f2)≥(ad+be+cf)2成立.

解析由a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1.

于是，等價于證明a2+b2+c2≥bc+ac+ab.

將兩邊同時平方，上式等價于(a2+b2+c2)2≥(bc+ac+ab)2，

也即(b2+a2+c2)(c2+b2+a2)≥(bc+ab+ca)2.

由柯西不等式可知，上述不等式成立，故原不等式成立.

評注柯西不等式是解決多元不等式最值問題的好方法，首先要將問題轉(zhuǎn)化為(或配湊)柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式，然后再利用柯西不等式來判斷.

思路6排序不等式法

排序不等式，指在一列規(guī)定了大小順序的數(shù)字或字母，將它們按照一定的次序相互作用(相乘組合)，會產(chǎn)生不同大小結(jié)果.通常情況下，結(jié)論為：順序和≥亂序和≥倒序和.

解析已知a，b，c為正實數(shù)，不妨假設(shè)三者滿足關(guān)系a≥b≥c>0.

由排序不等式可知，順序和≥亂序和，則a·a+b·b+c·c≥a·b+b·c+c·a.

即不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca成立.

評注排序不等式是一種重要的不等式，在中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中占有十分重要的地位，應(yīng)該值得關(guān)注.

思路7“Δ”判別法

判別式法，是一種二次函數(shù)中判斷函數(shù)零點(實數(shù)范圍內(nèi))是否存在的一種方法.判別式法在幾何、代數(shù)中具有廣泛的應(yīng)用價值，是一種重要的數(shù)學(xué)方法.

由abc=1，可得f(a)=a2+b2+c2-bc-ac-ab

=a2-(b+c)a+b2+c2-bc.

則Δ=(b+c)2-4(b2+c2-bc)

=-3(b2+c2)+6bc≤-3·2bc+6bc=0,

評注該方法是解決二次不等式恒成立問題常用的方法.注意，這是一個關(guān)于a，b，c的對稱結(jié)構(gòu)，故a，b，c在不等式中的地位是等價的，故任意選擇一個當(dāng)主變元均可.

思路8二次函數(shù)法

克萊因說“函數(shù)是數(shù)學(xué)的靈魂.”函數(shù)是研究數(shù)集(或變量與變量)之間對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、幾何、概率等之間存在緊密的聯(lián)系.函數(shù)在研究連續(xù)變量和離散型變量中發(fā)揮著重要的作用，現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)知識體系，始終以函數(shù)為主線，貫穿其中，這就充分地體現(xiàn)了函數(shù)的重要地位和價值.二次函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)中一類重要的函數(shù)模型，對研究函數(shù)的最值問題，有著極為獨特的地位和作用.

由abc=1，可得f(a)=a2-(b+c)a+b2+c2-bc.

評注該方法創(chuàng)造性地使用二次函數(shù)性質(zhì)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決.

思路9導(dǎo)數(shù)法

導(dǎo)數(shù)是溝通初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一座重要橋梁.導(dǎo)數(shù)法，就是利用導(dǎo)數(shù)的知識和方法來研究問題的方法，特別是在研究函數(shù)的單調(diào)性、最值點、極值點、凹凸性等方面具有廣泛的應(yīng)用.因此，高中數(shù)學(xué)應(yīng)該重視導(dǎo)數(shù)的教學(xué).

解析略.

評注導(dǎo)數(shù)法可視為對思路9的優(yōu)化，可用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)f(a)單調(diào)性和最值，此處不再給出具體的證明過程.

2.對問題(2)的思路探究

思路1重要不等式法

解析由題知，這是一個三元不等式恒成立問題，考慮用三元均值不等式法.因此，有

(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3

=3(a+b)·(b+c)·(c+a).

此處再考慮使用3個二元均值不等式，則

3(a+b)·(b+c)·(c+a)

故不等式(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24成立.

評注通過觀察該試題的結(jié)構(gòu)形式，為3項且每項的次數(shù)為3，自然想到可以用三元均值不等式，這樣放縮以后就不會產(chǎn)生根號.經(jīng)過第一次的放縮顯然是不夠的，還需要使用二元均值不等式再次進(jìn)行放縮，才可將放縮結(jié)果與條件“abc=1”聯(lián)系起來.

思路2權(quán)方和不等式法

權(quán)方和不等式是一個重要的不等式，它完美地將柯西不等式和變異形式的柯西不等式統(tǒng)一起來，是解決高次分式型不等式最值的重要工具，在競賽數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用.

權(quán)方和不等式，即設(shè)ai，bi>0，i=1，2，…，n，k∈N*，則成立不等式

解析由題意知，有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3

故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3

評注權(quán)方和不等式的優(yōu)勢，在于能夠有效的解決分式型高次求和最值問題，題目中提供的條件“abc=1”恰好可以與“a+b+c=1”建立起聯(lián)系，所以用該方法解決這類試題會更加簡潔有效.

三、問題的推廣

張景中院士曾經(jīng)指出：“推廣是數(shù)學(xué)研究中極重要的手段之一，數(shù)學(xué)自身的發(fā)展在很大程度上依賴于推廣.數(shù)學(xué)家總是在已有知識的基礎(chǔ)上，向未知的領(lǐng)域擴(kuò)展，從實際的概念及問題中推廣出各種各樣的新概念、新問題.”將一個數(shù)學(xué)問題推廣，可以使得該問題在更大的范圍內(nèi)成立.數(shù)學(xué)自身的發(fā)展是離不開數(shù)學(xué)問題的推廣的.數(shù)學(xué)問題的推廣過程，其實也是在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識的過程，這更是一個從已知到未知的過程，需要充分地激活大腦的數(shù)學(xué)思維.接下來，對試題進(jìn)行推廣.

評注推廣1是將試題的條件推廣到更一般的情況，可以通過改變“abc=s”，來進(jìn)行試題的命制和改編.

推廣2設(shè)a，b，c為正數(shù)，且abc=s,k∈N*.求證：ak+bk≥3sk/3.

評注推廣2，將次數(shù)和條件“abc=1”同時進(jìn)行了一般化處理，使得在更一般的條件下試題可以成立，可以使用權(quán)方和不等式進(jìn)行解決，此處不再具體給出過程.

評注推廣3是在推廣2的基礎(chǔ)之上，將項的個數(shù)進(jìn)行了推廣，解決方法同推廣2.

推廣4 設(shè)a，b，c，d為正數(shù)，且abcd=1.求證：

(a+b)4+(b+c)4+(c+d)4+(d+a)4≥64.

評注推廣4將問題(2)項數(shù)和次數(shù)增加了1，解決方法可以類比問題(2)，這個推廣比較簡單，可以考慮納入數(shù)學(xué)課堂練習(xí).

評注需要注意，所求解不等式左邊是一個循環(huán)結(jié)構(gòu)，求解時需要注意項的個數(shù).

以上推廣，可以根據(jù)學(xué)生的實際情況，有選擇地將上述推廣納入數(shù)學(xué)課堂教學(xué).