重視習(xí)題教學(xué)中的“點滴發(fā)現(xiàn)”

何月豐

在上一期中，我以自己的經(jīng)歷解讀了美國著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家G·波利亞關(guān)于習(xí)題教學(xué)的一個觀點：一個專心的、認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域。

接下來，我繼續(xù)以波利亞在解題上的觀點為例，敘述我對習(xí)題教學(xué)的理解。

“一個重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一道重大的題目，但是在解答任何一道題目的過程中都會有點滴的發(fā)現(xiàn)?！?/p>

上面這句話是波利亞在其經(jīng)典著作《怎樣解題——數(shù)學(xué)思維的新方法》（以下簡稱《怎樣解題》）一書中的開篇之語。

起初讀到這句話時，對于前半句“一個重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一道重大的題目”，我能理解和接受，像“哥尼斯堡七橋問題”的故事就可以看成是這樣的現(xiàn)實，翻開數(shù)學(xué)史，這樣的例子不勝枚舉。即使到小學(xué)數(shù)學(xué)中去看，也很容易就找到這樣的例子，如發(fā)現(xiàn)“三角形內(nèi)角和是180°”之后，就能解決“多邊形內(nèi)角和”這樣的題目。

但是，對于后半句“在解答任何一道題目的過程中都會有點滴的發(fā)現(xiàn)”，就有點讓人費解了。至少以我這樣一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師看來，在小學(xué)有很多題目不是用來發(fā)現(xiàn)的，純粹是為了鞏固理解和熟練技能。比如教學(xué)了“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”的算理和算法之后，接下來讓學(xué)生做兩道計算題，就是為了把那套計算的程序練練熟，何來發(fā)現(xiàn)之有？

因為心存不解，所以一直掛念于心，以至于在自己的習(xí)題教學(xué)中，常常這樣想：這道習(xí)題在教學(xué)時能讓學(xué)生有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

因為一直這么想著，有一些問題就逐漸清楚起來了。

首先清楚的一點是關(guān)于發(fā)現(xiàn)者的角色問題。仔細(xì)體會波利亞的那句話，特別是理解了他教育思想的宗旨——教會年輕人去思考（《怎樣解題》主要倡導(dǎo)以探索法教學(xué)解題），就能理解波利亞是站在解題者的角度看待解題的，即發(fā)現(xiàn)是學(xué)生的發(fā)現(xiàn)。而我在一開始理解這句話時，是站在教學(xué)者的角度看待習(xí)題教學(xué)的，也就是說，當(dāng)我在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”之后布置了兩道計算習(xí)題進(jìn)行練習(xí)，是基于我的目標(biāo)定位來看待學(xué)生做這兩道習(xí)題的價值的——為了學(xué)生計算技能的熟練，自然不會存在發(fā)現(xiàn)。角色不同，看法也就不同了。很顯然，此處的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)以學(xué)生的角色來看待。

其次清楚的一點是對解題的理解。學(xué)生在學(xué)會了“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”的計算方法之后，再做兩道習(xí)題能否稱為解題？我相信，以波利亞的觀點，這自然不能稱為解題，只能稱為重復(fù)操練。在數(shù)學(xué)中，解題具有極其重要的地位，具有很強(qiáng)的探索性，并伴隨著發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造。如，著名數(shù)學(xué)家、中國科學(xué)院院士王元在《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》（張景中著）一書的序言中說：“由于具體的數(shù)學(xué)問題多如繁星，數(shù)學(xué)家往往整天埋頭于解決數(shù)學(xué)問題，無暇關(guān)注數(shù)學(xué)發(fā)展中出現(xiàn)的‘矛盾’?！绷_增儒教授在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》的序言中也說：“無論是數(shù)學(xué)家還是中學(xué)生，天天都在解數(shù)學(xué)題，這種驚心動魄的實踐活動已經(jīng)產(chǎn)生了驚天動地的數(shù)學(xué)成果與流芳千古的教育成果?！辈ɡ麃啞对鯓咏忸}》一書中呈現(xiàn)的“怎樣解題表”，便是對上述理解的最直觀說明。由此可見，做兩道分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的習(xí)題，并不是數(shù)學(xué)上談?wù)摰慕忸}。

最后清楚的一點是小學(xué)生的現(xiàn)實情況。由上述分析可以知道，談到解題，往往是中學(xué)生、數(shù)學(xué)家所要面臨的事。數(shù)學(xué)家解題是為了突破，他們面臨的題，往往是一個未知的數(shù)學(xué)問題，若能解答，定在解題中有所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造。中學(xué)生解題往往是為了“習(xí)得”，他們面臨的一般是一道已經(jīng)被解決過的數(shù)學(xué)習(xí)題，以探索的方式經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”的過程（當(dāng)然不是全部習(xí)題都這樣，定然也有一部分重復(fù)操練的習(xí)題）。對于小學(xué)生做習(xí)題而言，上述談?wù)摰囊恍┌l(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造行為，就只能是零零星星體現(xiàn)了，且層次也不夠高，因為小學(xué)生的知識基礎(chǔ)和心智能力都尚未達(dá)到這個高度。我們仔細(xì)對照波利亞的“怎樣解題表”就會明白，里面講到的一些操作，是指要面臨極其復(fù)雜、難解的習(xí)題時才這樣做，這在小學(xué)是很難較好實施的。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中編入“怎樣解題表”的相關(guān)操作，也進(jìn)行了簡化，如人教版在低年級采取“知道了什么？→怎樣解答？→解答正確嗎？”這樣三個步驟，高年級采取“閱讀與理解→分析與解答→回顧與反思”這樣三個步驟，不難看出都是基于小學(xué)生的實際情況所進(jìn)行的處理。

有了以上這三點認(rèn)識，我意識到，如果要將波利亞的觀點——在解答任何一道題目的過程中都會有點滴的發(fā)現(xiàn)——在小學(xué)中也能較好實施的話，一定要將其進(jìn)行適當(dāng)?shù)亍皟和碧幚?。意識到這一點，也就讓我對波利亞的這個觀點有了自己基于小學(xué)生的實際情況的看法。

首先，在小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，我們要將波利亞的觀點看成是一種理念，而不是一種必然的行為。小學(xué)數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，習(xí)題教學(xué)的主要任務(wù)是鞏固知識和熟練技能，這一點是毋庸置疑的，且這樣的任務(wù)占據(jù)了習(xí)題教學(xué)的絕大部分時間。在這樣的現(xiàn)實背景下，結(jié)合波利亞的觀點，有兩個方面需要引起我們重視：第一，在利用習(xí)題來鞏固知識、熟練技能的過程中，也要適當(dāng)?shù)乩眠@些習(xí)題來實現(xiàn)“發(fā)現(xiàn)”；第二，在小學(xué)數(shù)學(xué)的習(xí)題中，定然存在著一些可以專門作為發(fā)現(xiàn)的習(xí)題，這樣的習(xí)題一定要好好利用。對這兩方面的重視，就可以作為一種小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的理念。這種理念并不是要刻意突出“發(fā)現(xiàn)”的重要性，而是在強(qiáng)調(diào)教師要善于發(fā)現(xiàn)并發(fā)揮每一道習(xí)題不同的價值，特別是在鞏固和熟練的同時伴隨發(fā)現(xiàn)，因為這是常常被忽視的。

其次，“點滴的發(fā)現(xiàn)”應(yīng)當(dāng)成為小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的追求。在上一點中已經(jīng)提及，即使在小學(xué)，例題教學(xué)之后，在習(xí)題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生再有新的發(fā)現(xiàn)，這樣的事是客觀存在的。例如學(xué)習(xí)了長方形的面積計算方法之后，在習(xí)題教學(xué)中就會引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“周長相等的情況下，長和寬越接近，長方形的面積越大”這個結(jié)論，等學(xué)習(xí)了圓的面積之后，這個結(jié)論還將被進(jìn)一步修改，即“周長相等的情況，圓的面積最大”。所以，一開始我是太關(guān)注“發(fā)現(xiàn)”了，認(rèn)為波利亞觀點中的發(fā)現(xiàn)就應(yīng)該是類似于上述這樣的發(fā)現(xiàn)，以至于認(rèn)為在小學(xué)數(shù)學(xué)的習(xí)題中經(jīng)常有這樣的發(fā)現(xiàn)的可能性不大?，F(xiàn)在，當(dāng)我開始重視“點滴的發(fā)現(xiàn)”，并以此來作為對波利亞觀點的“兒童化”之后，看法就完全不一樣了。這也就是說，以兒童的眼光來看待發(fā)現(xiàn)，一種不同的計算方法可以是發(fā)現(xiàn)，一種公式的逆運用也可以是發(fā)現(xiàn)，點點滴滴，如此等等。

以上看法的形成，源于自己的實踐與思考。下面的例子，或許可以比較直觀地展現(xiàn)我對“在解答任何一道題目的過程中都會有點滴的發(fā)現(xiàn)”這個觀點的“兒童化”理解。

【案例：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)】

例題：

第一組習(xí)題：

如此，“計算結(jié)果能約分的要約分”并不是教師的告知，而是學(xué)生的發(fā)現(xiàn)。

第二組習(xí)題：

同樣地，在計算過程中約分這件事教師可以直接告知，但是，用“發(fā)現(xiàn)”的方式顯然會更加有意義。

上述例子，便是我一開始認(rèn)為不可能有發(fā)現(xiàn)的情況。舉例上述這樣的教學(xué)過程，也只是想說明自己的觀點：重視習(xí)題教學(xué)中“點滴的發(fā)現(xiàn)”，可以看到這樣習(xí)以為常的習(xí)題解答同樣是存在著發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象的。雖然像“發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果是分?jǐn)?shù)的時候能約分的要約分，發(fā)現(xiàn)有時候可以在計算過程中約分”這樣的發(fā)現(xiàn)真有點無足掛齒，但是從學(xué)生的視角來看待，從兒童的視角來看待，這也是了不起的發(fā)現(xiàn)。特別是，若能持之以恒地開展習(xí)題教學(xué)，關(guān)注“點滴的發(fā)現(xiàn)”，就會培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、分析、發(fā)現(xiàn)的能力。

綜上所述，不難得到這樣的結(jié)論：在小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中要實現(xiàn)“在解答任何一道題目的過程中都會有點滴的發(fā)現(xiàn)”，關(guān)鍵在于教師。教師深刻理解學(xué)生、深度把握習(xí)題，既重視“周長相等的情況下，長和寬越接近，長方形的面積越大”這樣的重大發(fā)現(xiàn)，也重視“計算結(jié)果是分?jǐn)?shù)的時候能約分的要約分，有時候可以在計算過程中約分”這樣的點滴發(fā)現(xiàn)，就能讓更多學(xué)生在更多習(xí)題中有更多的發(fā)現(xiàn)，從而獲得更好的發(fā)展。