三體問題，究竟是否可解？

夏志宏

通過這么多年的觀測和研究，人們?cè)絹碓秸J(rèn)識(shí)到，在物理世界中，穩(wěn)定的現(xiàn)象其實(shí)是罕見的，不穩(wěn)定才更常見。

今天我要講的是“三體問題和天體運(yùn)動(dòng)”。大家可能都知道一本名為《三體》的小說，小說中的很多內(nèi)容都涉及了三體運(yùn)動(dòng)的一些性質(zhì)。今天我想從科學(xué)的角度講一下三體和與之相關(guān)的一些很有趣的問題。

三體問題的由來

近代科學(xué)是從牛頓開始的。牛頓是一個(gè)非常了不起的科學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)了微積分，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，奠定了牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)。

據(jù)說，牛頓在劍橋大學(xué)的一棵蘋果樹下睡午覺的時(shí)候，一個(gè)蘋果掉下來砸在了他的頭上，結(jié)果觸發(fā)了他的靈感，讓他發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。當(dāng)然，這只是一個(gè)傳說。事實(shí)上，萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過了牛頓之前幾百年來眾多科學(xué)家的共同觀測和辛勤勞動(dòng)，它是根據(jù)許多對(duì)太陽系行星的運(yùn)動(dòng)觀測數(shù)據(jù)總結(jié)得來的，其中最著名的科學(xué)家應(yīng)該是開普勒。

開普勒提出了“行星運(yùn)動(dòng)三大定律”。這三大定律又是從哪兒來的呢？是從一個(gè)叫第谷的天文學(xué)家那里得來的。

第谷這個(gè)人非常有意思，他是一位丹麥天文學(xué)家，脾氣暴躁，年輕的時(shí)候跟人打架，還被人削掉了鼻子。他于是為自己做了一個(gè)金屬的假鼻子，粘在自己臉上，并且一生都粘著這個(gè)假鼻子。第谷脾氣不好，但是他跟國王的關(guān)系比較好，國王還專門給了他一座島，方便他在島上進(jìn)行天文觀測。第谷也是人類歷史上最后一位用肉眼觀測行星運(yùn)動(dòng)的天文學(xué)家。那時(shí)的觀測任務(wù)非常艱難，不過國王給了他很多資源，甚至為他在島上建了一家造紙廠，專供他研究需要使用的紙張。

進(jìn)行天文研究工作一段時(shí)間后，新國王上位了，但新國王不喜歡第谷，第谷只好前往捷克繼續(xù)他的天文學(xué)研究，因?yàn)槟菚r(shí)捷克的國王很喜歡他。

第谷經(jīng)常出入捷克王宮。不過意外的事情發(fā)生了，到達(dá)捷克后的第4年，有一天，他從王宮回來后居然死了。當(dāng)時(shí)人們都在討論為什么第谷從王宮回來就死了。雖然有人懷疑他可能是被毒死的，但更普遍的看法是，他在王宮喝了太多酒，出于作為一個(gè)貴族的禮節(jié)，他不好意思上廁所，結(jié)果憋尿憋死了。他可能是歷史，上唯一一個(gè)被尿憋死的科學(xué)家。

當(dāng)然，這種說法一直存在爭議。所以在第谷死后300年，也就是1901年，人們把他的尸體挖了出來，想確定他是否真的是被毒死的。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，第谷確實(shí)沒有中毒，他真是因?yàn)楸锬驅(qū)е掳螂灼屏讯赖摹?/p>

特別倒霉的是，又過了100年，到了2001年，人們又開始爭論關(guān)于第谷的另一件事——第谷因?yàn)榇蚣茏屓私o削了鼻子，那后來他給自己做的假鼻子是什么材料的呢？一部分人認(rèn)為是金子做的，一部分人認(rèn)為是銀子做的。所以很不幸，第谷的尸體又被挖了出來。經(jīng)過檢查，他的假鼻子是銅做的。

這樣一個(gè)人，真是有趣又倒霉，但就是他，奠定了萬有引功定律的基礎(chǔ)。

剛才說到，牛頓發(fā)現(xiàn)了微積分、牛頓力學(xué)和萬有引力定律，這三個(gè)發(fā)現(xiàn)恰好把一個(gè)天文學(xué)問題變成了一個(gè)數(shù)學(xué)問題。為什么這么說呢？因?yàn)槲覀兛梢愿鶕?jù)這些物理定律來精確計(jì)算行星運(yùn)行的軌跡。

我畢業(yè)于南京大學(xué)天文系，但到美國后就開始做數(shù)學(xué)，其實(shí)我所做的一部分工作跟天文和數(shù)學(xué)都有關(guān)系。

大家可能知道，方程有代數(shù)方程，也有微分方程。天文學(xué)問題變成數(shù)學(xué)問題，從某種程度，上說，就是將預(yù)測天體運(yùn)行變成了解組微分方程。

當(dāng)然，這其中最簡單的是二體問題，比如預(yù)測太陽和一個(gè)行星的運(yùn)行軌跡。這時(shí)候要解的微分方程相對(duì)比較容易，人們可以把它的解寫出來，而且經(jīng)過簡單訓(xùn)練的人，都可以通過微分方程得出二體問題的解。它的解是比較規(guī)范的，因?yàn)樾求w的運(yùn)動(dòng)相對(duì)規(guī)則。

但三體問題就比較復(fù)雜了，這也是我們今天要說的主題。舉一個(gè)三體問題的例子，比如研究太陽和兩個(gè)行星的運(yùn)行軌跡，這就構(gòu)成了一個(gè)三體問題。當(dāng)然，也有可能是兩個(gè)太陽一樣的恒星外加一個(gè)行星那樣的三體問題。當(dāng)你看到一個(gè)三體問題的軌跡，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這三個(gè)點(diǎn)在空間中的運(yùn)轉(zhuǎn)呈現(xiàn)出一種非常復(fù)雜的形狀，而且毫無規(guī)則。這也是三體問題非?；镜囊粋€(gè)性質(zhì)——三個(gè)天體的運(yùn)動(dòng)毫無規(guī)則可循。

我們的太陽系除了太陽，還有八大行星，還有冥王星這類的矮行星，還有幾百萬顆小行星，有的行星還有衛(wèi)星，還有現(xiàn)在沒發(fā)現(xiàn)的其他大行星……所以，僅太陽系這組微分方程就非常龐大、非常復(fù)雜了，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過三體問題，是多體問題了。我們現(xiàn)在連三體問題都很難解決，要解決多體問題就更難了。

三體問題是否可解？

三體問題是否可解？也就是說，有沒有一個(gè)可解的公式？很遺憾，一般的微分方程都不存在一個(gè)解的公式，因?yàn)槲覀兯莆盏暮瘮?shù)太有限，用初等方法是沒有辦法寫出解的。

學(xué)習(xí)過微積分的人可能知道，代數(shù)方程比微分方程要簡單得多。一個(gè)二次方程誰都可以解，三次方程稍微看一下書的人也可以解，四次方程可能比較復(fù)雜，但也還是可以解的。到了五次方程以后，就再也不存在初等的解了。也就是說，無法用一個(gè)公式把五次方程的解寫出來。當(dāng)然，這并不是說五次方程無解。五次方程肯定有五個(gè)根，也肯定是有解的，但是我們沒有辦法把它的解用公式的形式寫出來。著名的伽羅瓦理論和阿貝爾定理，都在講五次方程不存在一個(gè)初等形式的解。

但是在牛頓所處的時(shí)代，還是有很多人試圖解微分方程，他們最想做的事就是找首次積分，也叫經(jīng)典解。

解方程需要找首次積分。能量積分、角動(dòng)量積分、動(dòng)量積分，這都是首次積分。人們花了幾百年的時(shí)間想找三體問題的其他首次積分，但非常遺憾的是，直到現(xiàn)在，現(xiàn)代數(shù)學(xué)還是證明不存在其他的首次積分。

也就是說，用這種經(jīng)典的方法去解三體問題是不可能的，在經(jīng)典意義下，三體問題是不可解的。這反映到實(shí)際應(yīng)用中是什么意思呢？

舉個(gè)例子，比如你想知道100萬年以后太陽系是什么樣子的，因?yàn)槲覍懖怀鰜砉?，所以就無法告訴你答案。不過，這并不等于沒有解，解還是有的，只是我寫不出它的公式。當(dāng)然，我們可以讓計(jì)算機(jī)來算，但這涉及另一個(gè)問題一誤差。這種誤差短期內(nèi)很小，時(shí)間越長就越大。所以，幾千年、幾萬年、幾百萬年以后，到底會(huì)發(fā)生什么，用現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)得出的值做解答，是不可信的。這就說明，我們沒有辦法預(yù)測行星運(yùn)動(dòng)的未來。

雖然沒法預(yù)測，但我們還是想知道行星運(yùn)動(dòng)的大概情況。比如，太陽系是不是穩(wěn)定的？我們寫不出解，但能否用其他數(shù)學(xué)分析方法得出太陽系是否穩(wěn)定的答案呢？畢竟這對(duì)我們來說還是挺重要的。如果太陽系不穩(wěn)定，地日距離就不穩(wěn)定，離太陽太遠(yuǎn)地球會(huì)太冷，離太陽太近又會(huì)太熱。

太陽系是穩(wěn)定的嗎？

牛頓（1642-1727）

不是的，行星運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。

上帝控制著行星運(yùn)動(dòng)，每隔一段時(shí)間就推一下，使其在固有的軌道上運(yùn)轉(zhuǎn)。

可能牛頓的腦袋給蘋果砸壞了！

18世紀(jì)沖破宗教束縛后，牛頓的思想受到了科學(xué)家萊布尼茨等人的激烈批判。

小說《三體》中就描述了這樣一個(gè)世界：它有3個(gè)太陽，而且運(yùn)轉(zhuǎn)得非常沒有規(guī)律，有時(shí)候3個(gè)太陽會(huì)同時(shí)出現(xiàn)，過高的溫度把行星上的人全都燒死了，甚至燒成另外一種生命形態(tài)。所以，我們對(duì)這類問題還是很感興趣的。

牛頓就認(rèn)為行星運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。他非常相信上帝，后半生一直試圖用數(shù)學(xué)方法證明上帝的存在。他同時(shí)認(rèn)為，太陽系不穩(wěn)定，但如果有，上帝幫忙，每隔一段時(shí)間來推動(dòng)一下地球，就可以解決系統(tǒng)紊亂的問題了。

現(xiàn)在的，人們很難想象，牛頓居然花了很長時(shí)間，用數(shù)學(xué)公式去推導(dǎo)，上帝哪天會(huì)來推地球。雖然牛頓生活在文藝復(fù)興時(shí)期，那時(shí)大家的思想都比較開放，但牛頓的這種想法仍然受到了眾多科學(xué)家的批判。

那時(shí)候，基本上所有的大科學(xué)家都想研究三體問題，因?yàn)檫@是一個(gè)大到?jīng)]法解決的問題。每個(gè)科學(xué)家都有自己的想法，有的認(rèn)為行星運(yùn)動(dòng)是長期穩(wěn)定的，有的認(rèn)為不穩(wěn)定，他們都有自己的證明方法。

但是，通過這么多年的觀測和研究，人們?cè)絹碓秸J(rèn)識(shí)到，在物理世界中，穩(wěn)定的現(xiàn)象其實(shí)是罕見的，不穩(wěn)定才更常見。這種不穩(wěn)定現(xiàn)象，套用一個(gè)現(xiàn)代的詞匯，就叫作“混沌”。

什么是混沌？

下面我要告訴大家什么是混沌，希望聽完之后，你們也可以輕松地告訴其他人什么是混沌。

提到混沌，就不得不說一段有趣的歷史。生活在19世紀(jì)的奧斯卡二世，是當(dāng)時(shí)瑞典的國王，同時(shí)也是挪威的國王。他是一個(gè)很有意思的人，非常喜歡藝術(shù)和科學(xué)，讀的數(shù)學(xué)書也很多，經(jīng)常請(qǐng)一些科學(xué)家去為他做講座。

在他七十大壽的前兩年，有個(gè)叫米塔格·萊夫勒的數(shù)學(xué)家建議他成立一個(gè)科學(xué)大獎(jiǎng)，在兩年后國王七十大壽的宴會(huì)上頒發(fā)。這個(gè)獎(jiǎng)就是為誰能解決三體問題而設(shè)置的。當(dāng)然，我們現(xiàn)在知道三體問題不可解，所以這個(gè)獎(jiǎng)其實(shí)是白設(shè)的。

很多人疑惑，為什么諾貝爾獎(jiǎng)不設(shè)立數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，據(jù)說就是因?yàn)檫@個(gè)米塔格·萊夫勒，把諾貝爾心儀的女孩子搶走了。當(dāng)然，這也只是一個(gè)坊間傳聞。

前面提到，奧斯卡二世特別喜歡科學(xué)。某一天，他請(qǐng)巴黎大學(xué)的一個(gè)數(shù)學(xué)家來宮廷做講座，這個(gè)數(shù)學(xué)家叫潘勒韋。潘勒韋是第84屆和第92屆法國總理，同時(shí)他還是一個(gè)數(shù)學(xué)家。

在為奧斯卡二世做講座的時(shí)候，潘勒韋提出了一個(gè)猜想一在幾個(gè)星體通過萬有引力相互作用時(shí)，其中某個(gè)星體可能會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)，被其他星體甩到無限遠(yuǎn)的地方去。潘勒韋猜想提出近100年后，我在我的博士論文里終于把這個(gè)問題給解決了。

為什么我能解決呢？其實(shí)是因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在對(duì)三體或者多體的系統(tǒng)有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，我們知道了一種叫“混沌”的結(jié)構(gòu)，我就是用混沌的機(jī)理去解決潘勒韋猜想的。

回到剛才說的奧斯卡二世設(shè)置的大獎(jiǎng)。跟潘勒韋一起參與奪獎(jiǎng)的還有另一位數(shù)學(xué)家龐加萊。龐加萊對(duì)數(shù)學(xué)的影響也非常大。

當(dāng)時(shí)，龐加萊寫了一篇文章參加大獎(jiǎng)的角逐，宣稱自己解決了三體問題，于是評(píng)獎(jiǎng)委員會(huì)將奧斯卡二世的大獎(jiǎng)?lì)C給了他。結(jié)果，龐加萊的一個(gè)學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)他的文章里有一個(gè)致命的錯(cuò)誤。這就麻煩了，大獎(jiǎng)居然頒給了發(fā)表錯(cuò)誤文章的龐加萊。龐加萊開始意識(shí)到三體問題的復(fù)雜性，于是他重新寫了一篇文章。在這篇文章里，他首次提到了混沌現(xiàn)象。

最后，評(píng)委會(huì)主席魏爾斯特拉斯認(rèn)為，盡管龐加萊沒有解決三體問題，但因?yàn)橹貙懙男挛恼路浅Ｖ匾?，所以仍然決定把大獎(jiǎng)?lì)C給他。

有趣的是，大獎(jiǎng)金額約是龐加萊兩個(gè)月的工資，但因?yàn)樗麑戝e(cuò)了一篇文章，就必須自己重新寫、重新印刷、重新發(fā)行印有文章的那期雜志，結(jié)果這一折騰，花了他4個(gè)月的工資。算下來，他還虧了兩個(gè)月的工資呢。

混沌與不穩(wěn)定性

什么叫混沌？我們從一個(gè)故事講起。一位印度數(shù)學(xué)家發(fā)明了國際象棋，國王決定給他一個(gè)獎(jiǎng)賞。數(shù)學(xué)家說很簡單，我要的獎(jiǎng)賞是：你在國際象棋棋盤的第一格上放1顆麥子，在第二格上放2顆麥子，在第三格上放4顆麥子，在第四格，上放8顆麥子.....以此類推，你只要把這個(gè)棋盤的格子都放滿就行了。

國王一聽，心想這很簡單，不過就是幾顆麥子而已。但我們來看一看，如果要滿足數(shù)學(xué)家的要求，到底需要多少顆麥子呢？

國際象棋的棋盤上一共有64個(gè)格子，那就需要2”'-1顆麥子！我們換算一下，看看這些麥子一共是多少升。是140萬億升！

從人類種麥子到現(xiàn)在，全球生產(chǎn)的麥子也沒有這么多。按照現(xiàn)在的產(chǎn)量，估計(jì)要再等2000年才能把這么多的麥子生產(chǎn)出來。

這個(gè)例子說明，經(jīng)過一次次加倍，加到倍數(shù)是63次方以后，這個(gè)數(shù)字將變成一個(gè)天文數(shù)字。所以，任何數(shù)據(jù)都不能一次次加倍。比如，想要GDP每7年就增加1倍，如果真按這個(gè)速度算下去，那將是一個(gè)無法想象的數(shù)字。所以，幾何級(jí)數(shù)的增長速度是特別快的。

那么這跟我們的物理系統(tǒng)有什么聯(lián)系呢？舉個(gè)例子，假如我在一個(gè)盒子里放幾個(gè)空氣分子，我先測量這些分子的初始位置和初始速度，并且我的測量只有很小的誤差。通過觀察這些分子的運(yùn)動(dòng)情況，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，因?yàn)榉肿舆\(yùn)動(dòng)是非常不穩(wěn)定的，所以不到1秒鐘，之前的測量誤差就會(huì)加倍，再隔1秒鐘，誤差又會(huì)加倍。我說1秒鐘，其實(shí)這種加倍根本不需要1秒鐘就會(huì)發(fā)生。那么在60秒后，原來的誤差值就可能變成剛才你們看到的那個(gè)天文數(shù)字了。