小符號大道理

朱淼

[摘 要] 由于研究對象的復(fù)雜性，高等工科課程中對問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時，往往需要用到各種近似。在教材當(dāng)中，這些近似均以“≈”表示。但是，這一符號卻有不同內(nèi)涵。一部分是為了舍去問題中次要影響因素以突出模型自身特性并簡化計(jì)算，一部分是從微積分的角度舍去微元分析過程中的高階無窮小項(xiàng)，以得到問題的微分描述。明確兩類近似的內(nèi)涵并通過實(shí)例進(jìn)行解析有助于幫助學(xué)生們更深刻地理解高等工科教材中的理論推導(dǎo)及建模思想。

[關(guān)鍵詞] 高等數(shù)學(xué);微積分;工科教學(xué)

[基金項(xiàng)目] 本論文由嶺南師范學(xué)院人才專項(xiàng)（ZL2045）支持

[作者簡介] 朱 淼（1983—），男，安徽蚌埠人，工學(xué)博士，嶺南師范學(xué)院物理學(xué)院講師，主要從事物理及材料科學(xué)相關(guān)方向研究。

[中圖分類號] G642.0? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）40-0343-02? ? [收稿日期] 2020-03-27

高等教育工科課程的研究對象和物理模型相比初等教育階段更具一般性，因而其數(shù)學(xué)建模過程往往會采用近似的方法對模型進(jìn)行簡化，剝離次要因素，突出主要矛盾。微積分的引入賦予了近似更為廣泛的內(nèi)涵。從“四舍五入”這一初等形態(tài)，擴(kuò)大到微積分中的線性近似。為表述簡潔，這些近似在高等工科教材中的推理過程中通常均以“≈”表示，使得學(xué)生們經(jīng)常將其混淆，在學(xué)習(xí)過程中難以深入理解這些近似背后的數(shù)學(xué)思想。特別是在學(xué)生們尚未深入理解微積分的思想內(nèi)涵時，頻繁遇到“≈”并混淆其含義，會對相應(yīng)課程的學(xué)習(xí)帶來非常不利的影響。

一般地，“≈”在高等工科教程中具有兩種含義。其一是為了突出模型特點(diǎn)，略去對模型特性影響較小的次要變量，使數(shù)學(xué)描述更直觀，運(yùn)算更簡單，這樣的近似可以稱之為“舍次留主”的“真”近似?！啊帧焙蟮谋磉_(dá)式計(jì)算結(jié)果是與精確結(jié)果存在誤差的。第二種是在進(jìn)行微元分析時，對微元研究對象的線性近似或最低階近似，有時也表述為“略去高階無窮小”。此時，高階無窮小的舍去是不會影響模型最終表達(dá)式的精確性的，在取極限或積分求和后，所得數(shù)學(xué)表達(dá)式仍是模型的精確數(shù)學(xué)表達(dá)。下面舉例對此進(jìn)行說明。

一、舍次留主的“真”近似

如圖1所示，現(xiàn)考察電偶極子軸線延長線上某點(diǎn)A和軸中垂線上某點(diǎn)B的電場強(qiáng)度[1]。

這樣一來，A點(diǎn)場強(qiáng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式大為簡化，不僅可以減少不必要的冗余運(yùn)算，而且式中僅包含一個表示電偶極子自身特性的物理量ql（電偶極矩），更加突出了將電偶極子作為一個整體去研究的模型特征。

與A點(diǎn)的場強(qiáng)表達(dá)式對比，變化一目了然，特征更為突出，計(jì)算更為簡便。

通過這個例子可以看出，這種情形下的“≈”兩邊是存在誤差的，它是一種實(shí)實(shí)在在的近似。這樣的近似通常都出現(xiàn)在一個極大量和一個極小量的四則運(yùn)算中，在兩個量存在“？垌”或“？塏”關(guān)系的前提下使用。

二、等價無窮小近似

其中，對上式中δlcosθ項(xiàng)的處理不少教材直接給出了如下近似δlcosθ≈δr

當(dāng)θ→0時，略去方程中的高階無窮小項(xiàng)，即可得δlcosθ≈δr。可見，這里的“≈”表示舍去了高階無窮小項(xiàng)，其引入的誤差限定于一個高階無窮小，這在定性的近似表述中是完全無法體現(xiàn)的。這類近似的實(shí)質(zhì)是為了得到dlcosθ=dr這樣的微分關(guān)系。而將這一微分關(guān)系代入電場力作功計(jì)算公式可得

這里我們得到的電場力作功的積分表達(dá)式是嚴(yán)格的，沒有任何近似和誤差。雖然推導(dǎo)過程中也用到了“≈”，但是這個近似與第一類近似有本質(zhì)區(qū)別。

當(dāng)然，這里僅是以一個較為簡單的實(shí)例對此進(jìn)行說明。事實(shí)上，舍去高階無窮小是進(jìn)行微元分析導(dǎo)出微分方程時的常見步驟，在大學(xué)物理、流體力學(xué)、材料力學(xué)等高等工科課程中十分常見，有些模型背后的解析推導(dǎo)過程十分復(fù)雜，不能要求所有學(xué)生針對每個模型都能嚴(yán)格導(dǎo)出其微元關(guān)系。但是，教師在教學(xué)過程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生明辨兩類近似，知道哪些時候是舍去次要變量，哪些時候是舍去高階無窮小量，這樣才能讓學(xué)生們真正理解“≈”背后的內(nèi)涵，做到對公式的推導(dǎo)過程知其然也知其所以然。

三、結(jié)語

目前高等工科教材中對各種近似均以“≈”表示，這雖然使問題的描述簡潔，條理清晰，但也使學(xué)生們易于混淆兩類不同近似的根本思想，以至于在互聯(lián)網(wǎng)站上有大量學(xué)生發(fā)出“微積分究竟是近似還是精確的推導(dǎo)”這樣的疑問。在清楚“≈”符號背后兩類近似的內(nèi)涵之后，這些疑問都會迎刃而解。這里也建議教材中涉及微元分析時盡可能給出詳細(xì)的推演過程，幫助學(xué)生們更好的理解微積分思想在數(shù)學(xué)建模過程中的運(yùn)用以及兩類近似的本質(zhì)區(qū)別。

參考文獻(xiàn)

[1]趙近芳，王登龍.大學(xué)物理簡明教程（第3版·修訂版）[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2017：162.

[2]陳信義.大學(xué)物理教程（第2版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008：89.