多向不規(guī)則波浪的確定性模擬

羅麗，柳淑學(xué)*，李金宣，王磊

( 1. 大連理工大學(xué) 海岸與近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024)

1 引言

真實(shí)的海浪是多向不規(guī)則的波浪，其方向分布對(duì)波浪傳播特性及波浪與結(jié)構(gòu)的相互作用有著重要的影響。為了準(zhǔn)確地研究海洋環(huán)境及海洋工程中的波浪特性，有必要將實(shí)測(cè)的波浪歷時(shí)過(guò)程線（波浪時(shí)間序列）進(jìn)行再次模擬和重現(xiàn)，即波浪的確定性模擬。

一些學(xué)者對(duì)二維不規(guī)則波浪的確定性數(shù)值或物理模擬取得了較好的結(jié)果。Baldock 和Swan[1]基于對(duì)實(shí)測(cè)波浪在空間和時(shí)間上進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，在數(shù)值模型中求解了具有非線性特性的單向不規(guī)則波浪，成功的通過(guò)數(shù)值模擬方法重現(xiàn)了物理實(shí)驗(yàn)的波浪過(guò)程線。裴玉國(guó)等[2]利用一個(gè)基本波列和一個(gè)瞬態(tài)波列進(jìn)行線性疊加的方式對(duì)實(shí)測(cè)的畸形波進(jìn)行了定點(diǎn)模擬生成，模擬產(chǎn)生的波列和實(shí)測(cè)的波浪時(shí)間過(guò)程吻合良好。Liang 等[3]基于快速傅里葉變換（FFT）方法，將二維不規(guī)則波分解為具有不同初始相位的組成波，數(shù)值重現(xiàn)了不規(guī)則波過(guò)程。崔成等[4]基于單波列疊加模型，在完全非線性的數(shù)值波浪水槽對(duì)不規(guī)則的波列進(jìn)行了確定性模擬。Finnegan 和Goggins[5]通過(guò)FFT 方法將大西洋上實(shí)測(cè)的一點(diǎn)海浪表示為線性波浪疊加的形式，將此疊加的波面作為二維計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（CFD）數(shù)值模型的入射邊界，并將數(shù)值模型輸出的波浪過(guò)程線分別與濾波分析后的波浪過(guò)程線及實(shí)測(cè)的海浪過(guò)程線進(jìn)行了對(duì)比分析，驗(yàn)證了重現(xiàn)波浪的準(zhǔn)確性。沈王剛[6]基于非線性波浪分離方法，在二維勢(shì)流數(shù)值波浪水池中確定性重構(gòu)了具有反射成分的強(qiáng)非線性波浪的波動(dòng)過(guò)程。

然而，上述研究大都針對(duì)的是單向不規(guī)則波浪，而真實(shí)的海浪是多向不規(guī)則的。但是關(guān)于多向不規(guī)則波浪的確定性模擬，目前國(guó)內(nèi)外研究還較少。Naaijen 和Blondel-Couprie[7–8]基于3D FFT 方法對(duì)多向不規(guī)則海浪在較大區(qū)域進(jìn)行了模擬及預(yù)測(cè)，但是，海浪的模擬精度隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而降低。劉思[9]將多向不規(guī)則波群一個(gè)測(cè)點(diǎn)的波面信息進(jìn)行FFT 變換，得到各組成波的頻率、振幅和相位的信息，然后根據(jù)多向不規(guī)則波的理論模擬方法[10]確定組成波的方向角，再根據(jù)線性疊加理論確定多向不規(guī)則波群的數(shù)值入射邊界條件，對(duì)實(shí)測(cè)波列在數(shù)值水池的指定測(cè)點(diǎn)處進(jìn)行了確定性模擬，但其主要致力于波浪要素、波浪群性和方向分布的研究。Draycott 等[11]采用基于時(shí)間序列差相位分析（Phase Time Path Difference，PTPD）的方法在圓形水池內(nèi)重構(gòu)了多向不規(guī)則波浪的方向譜，并對(duì)比分析了模擬波列及實(shí)驗(yàn)波列，但其研究主要致力于波浪統(tǒng)計(jì)參數(shù)如波浪方向譜的驗(yàn)證。Luo 等[12]通過(guò)等分波浪方向分布的方法確定性模擬了多向不規(guī)則波浪，但其組成波方向角與特定組成頻率隨機(jī)對(duì)應(yīng)，波浪模擬存在一定的誤差。

本文采用線性單疊加模型，建立了多向不規(guī)則波浪的確定性模擬方法。通過(guò)將模擬的波浪結(jié)果與已知波浪過(guò)程線進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證本文建立的多向不規(guī)則波浪確定性模擬方法的有效性，并確定了模擬方法的應(yīng)用條件和適用范圍。

2 波浪確定性模擬方法的建立

采用單疊加方法對(duì)多向不規(guī)則波浪進(jìn)行確定性模擬，可將波浪的波面η(x,y,t)表示為

式中，N為組成波個(gè)數(shù)；ai、fi和θi分別為組成波的振幅、頻率及傳播方向角；ki為組成波的波數(shù)；εi為組成波的初始相位，在[0, 2π]內(nèi)均勻的隨機(jī)分布。進(jìn)行波浪確定性模擬時(shí)，N取2n?1，2n為對(duì)采集波浪進(jìn)行FFT 時(shí)的數(shù)據(jù)采樣長(zhǎng)度。

公式(1)中，ai、θi及εi需要基于給定的波浪序列來(lái)確定。需要說(shuō)明，為了按下述方法確定波浪的傳播方向，需要3 個(gè)以上合適位置的同步時(shí)間序列。本文的浪高儀布置形式如圖1 所示。

ai和εi的求解及選取參考Luo 等[12]的處理方法。ai取基于所有測(cè)點(diǎn)處的時(shí)間序列按單向波求得的組成波幅值aim的平均值，即：

式中，M+1 為陣列浪高儀的總個(gè)數(shù)；S(fim)為通過(guò)FFT分析方法[3]求解的第m個(gè)浪高儀處第i個(gè)組成波的譜密度值。初始相位εi近似取為圖1 所示的O 點(diǎn)浪高儀通過(guò)FFT 變換后直接求解的波浪初相位。

圖1 波浪浪高儀的布置形式Fig. 1 Sketch of the wave gauges

組成波方向角θi的求解采用Borgman[13]和Esteva[14]提出的PTPD 方法，即對(duì)3 個(gè)非共線的浪高儀同步測(cè)得的波浪過(guò)程線進(jìn)行分析，求解組成波的傳播方向角。其求解步驟如下：

（1）在M+1 個(gè)浪高儀中，根據(jù)的組合個(gè)數(shù)，確定三角形浪高儀對(duì)的組合總個(gè)數(shù)(本文取M=5)。

（2）對(duì)于組成波頻率為fi的組成波，選取有效的三角形浪高儀對(duì)組合，即確保每個(gè)浪高儀對(duì)的任意兩個(gè)浪高儀間距L12、L13和L23大于0.01Li且小于等于0.5Li[15–16]，其中，Li為頻率fi基于波浪色散方程所計(jì)算的波長(zhǎng)。

（3）對(duì)所有有效的三角形浪高儀對(duì)組合，通過(guò)互譜分析，計(jì)算相對(duì)相位Ф12(fi)和Ф13(fi)。

（4）確定每個(gè)有效的浪高儀對(duì)對(duì)應(yīng)頻率為fi的組成波的波浪傳播方向角，即

式中，sgn(*)為符號(hào)函數(shù)；P的計(jì)算公式為

（5）最終，確定對(duì)應(yīng)頻率為fi的組成波的波浪傳播方向θi?？梢圆捎靡韵聝煞N方法：在所有有效的浪高儀對(duì)中，對(duì)不同浪高儀組合所計(jì)算的方向角進(jìn)行平均所得的θi（以下記為average-θi）；在所有有效的浪高儀對(duì)中，選取對(duì)應(yīng)波浪能量最大的儀器對(duì)所計(jì)算的方向角θi（以下記為max-Energy-θi）。

3 確定性波列模擬結(jié)果分析

3.1 規(guī)則波確定性模擬

不規(guī)則波及多向波均是由單向規(guī)則波疊加得到的，因此單向規(guī)則波精確地確定性模擬是不規(guī)則波及多向波浪模擬的基礎(chǔ)。作為示例，取水深h=0.5m，規(guī)則波傳播方向θ=π/6，波高H0=0.04m，周期T0=250/256 s=0.977 s (f0=1/T0=1.024 Hz)，為了使得FFT 分析能夠準(zhǔn)確地分辨規(guī)則波浪的頻率，取T0/Δt為整數(shù)，波浪采樣間隔Δt=0.00977 s。計(jì)算波浪方向角的浪高儀布置見(jiàn)圖1，其外接半徑R/L=0.224 (R/L=C代表浪高儀間距為C倍的波長(zhǎng))，2n=4096。通過(guò)FFT 變換，可以求得：f0=1.024 Hz，H0=2×0.01994m，ε0=?0.012578 rad，average-θi和max-Energy-θi計(jì)算的波浪傳播方向角分別為：θ=π×30.173/180 rad 和θ=π×30.215/180 rad?？梢钥闯?，通過(guò)本文方法計(jì)算得到的波浪參數(shù)與初始給定的波浪參數(shù)基本一致。將模擬的波浪過(guò)程線按照求出的H0、ε0、θ計(jì)算波高，即

式中，k表示波浪的波數(shù)。

作為示例，圖2 給出了確定性模擬的波浪過(guò)程線(θ=π×30.173/180 rad)和已知理論計(jì)算波浪過(guò)程線在t=0～10 s 時(shí)于2 號(hào)和5 號(hào)浪高儀位置的對(duì)比?？梢钥闯?，模擬的波浪過(guò)程線和已知波浪過(guò)程線幾乎完全重合。

圖2 2 號(hào)（a）和5 號(hào)（b）浪高儀在T0=250/256 s，H0=0.04m，θ=π/6 時(shí)的波浪過(guò)程線Fig. 2 Comparison of the wave surface elevation histories for T0= 250/256 s, H0=0.04m, θ=π/6 of No.2 (a) and No.5 (b) gauges

3.2 理論單向不規(guī)則波浪的確定性模擬

進(jìn)一步，以Ts=1.5 s，Hs=0.04m，θ=0°的理論單向不規(guī)則波浪為例，驗(yàn)證本文方法對(duì)單向不規(guī)則波浪確定性模擬的有效性。波浪模擬時(shí)的頻譜采用Goda 改進(jìn)的JONSWAP 譜(譜峰升高因子取為3.3)[17]。圖3給出了理論波浪頻譜在fi∈(0，4fp)(fp表示波浪的譜峰頻率)的分布。波浪模擬時(shí)，采用時(shí)間間隔Δt=0.01 s，采樣長(zhǎng)度2n=8192。圖4給出了R/Ls=0.06 和0.12 時(shí)，基于average-θi和max-Energy-θi的組成波方向角誤差θEr沿fi的分布情況（Ls表示有效波波長(zhǎng)）。θEr的定義如下：

圖3 理論波浪頻譜(Ts=1.5 s，Hs=0.04m)Fig. 3 Theoretical wave frequency spectrum (Ts=1.5 s，Hs=0.04m)

圖4 R/Ls 為0.06 和0.12 時(shí)，average-θi 和max-Energy-θi 的θEr 沿fi 的分布（Ts=1.5 s, Hs=0.04m）Fig. 4 Variation of the θEr for average-θi andmax-Energy-θi with fi for R/Ls=0.06 and R/Ls=0.12 (Ts=1.5 s, Hs=0.04m)

式中，θi_original和θi分別為已知的和計(jì)算的組成波方向角。通過(guò)圖4 可以看出，R/Ls=0.06 和0.12 時(shí)的θEr分別在fi>3.2fp和fi>2.3fp時(shí)突然增大，這說(shuō)明計(jì)算波浪方向角的fi超出上述范圍后，計(jì)算的組成波方向角與理論組成波方向角不一致。這種現(xiàn)象產(chǎn)生的主要原因是由于計(jì)算θi的浪高儀間距R大于頻率fi對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的0.5 倍所導(dǎo)致的，這與Fernandes 等[15–16]的結(jié)論是一致的。此外，通過(guò)對(duì)比average-θi和max-Energyθi的θEr沿fi的分布可以發(fā)現(xiàn)，整體而言，采用averageθi計(jì)算的組成波方向角的精度相對(duì)較高，θEr相對(duì)較小。

進(jìn)一步，以average-θi在R/Ls=0.06 時(shí)計(jì)算的組成波傳播方向模擬計(jì)算的波浪序列為例，圖5 給出了t=20～40 s，波浪模擬空間范圍的rr/Ls=0.12、0.20、0.35 時(shí)，已知波列和重現(xiàn)波列在5 號(hào)浪高儀位置的對(duì)比（rr代表指定位置與O 點(diǎn)的空間距離）?？梢钥闯?，確定性模擬的波列和原始波列幾乎完全重合，僅有微小的振幅高度差及相位偏差，且隨著rr/Ls的增大，波浪的模擬誤差略有增大。

為了定量評(píng)估本文提出的波浪確定性模擬方法，定義誤差系數(shù)Er為

式中，ηoriginal為已知波浪的過(guò)程線；ηdet為模擬所得波浪的過(guò)程線；ηmax//original為已知波列的最大幅值。以R/Ls為0.06 和0.12 時(shí)確定的θi進(jìn)行波浪模擬的結(jié)果為例，圖6a 和圖6b 分別給出了基于average-θi和max-Energy-θi進(jìn)行波浪模擬時(shí)的誤差Ermax隨rr/Ls的變化，其中Ermax為rr/Ls確定后，1～5 號(hào)浪高儀位置的波浪確定性模擬的最大誤差?？梢钥闯觯珽rmax隨著rr/Ls的增大而增大。當(dāng)R/Ls=0.06 時(shí)，基于average-θi和max-Energy-θi的波浪確定性模擬誤差基本一致，但當(dāng)R/Ls=0.12 時(shí)，采用average-θi進(jìn)行波浪模擬時(shí)的誤差明顯比采用max-Energy-θi時(shí)的小。此外，結(jié)合圖3 及圖4 進(jìn)行分析，可以看出，fi∈(0，3fp～4fp)時(shí)各fi對(duì)應(yīng)的θEr大小是影響波浪確定性模擬精度的重要因素。

3.3 理論多向不規(guī)則波浪的確定性模擬

理論多向不規(guī)則波浪的模擬基于孫忠濱等[18]采用的頻率?方向?qū)?yīng)模型。波浪模擬的頻譜同樣采用Goda[17]改進(jìn)的JONSWAP 譜(譜峰升高因子取為3.3)。波浪方向分布采用Mstuyasu 型方向分布函數(shù)[17]，即

式中，s為方向分布集中度參數(shù)；θ0為波浪的主波向。

圖5 單向不規(guī)則波已知波列和模擬波列在不同rr/Ls 時(shí)的對(duì)比（Ts=1.5 s，Hs=0.04m）Fig. 5 Comparison of the original and simulated uni-directional irregular wave surface elevation histories (Ts=1.5 s，Hs=0.04m)

圖6 采用average-θi 和max-Energy-θi 模擬所得波浪的Ermax 隨rr/Ls 的變化（Ts=1.5 s，Hs=0.04m）Fig. 6 Variation of Ermax for simulated waves with rr/Ls using average-θi andmax-Energy-θi respectively (Ts=1.5 s, Hs=0.04m)

理論多向不規(guī)則波的波浪參數(shù)為：Ts=1.5 s，Hs=0.04m，θ0=0°，s=25。波浪模擬的采樣時(shí)間間隔Δt=0.01 s，模擬的序列長(zhǎng)度2n=16384。

與單向不規(guī)則波浪的研究類似，圖7 以averageθi計(jì)算的θEr為例，給出了R/Ls不同時(shí)θEr沿fi∈(0，4fp)范圍內(nèi)的分布。明顯地，θEr沿fi的誤差分布范圍隨著R/Ls的增大而增大，且θEr主要表現(xiàn)在高頻部分。這說(shuō)明，R/Ls越小，計(jì)算的組成波方向角θi在低頻部分的誤差越小。

圖7 R/Ls 不同時(shí)，采用average-θi 方法計(jì)算的θEr 沿fi 的分布（Ts=1.5 s，Hs=0.04m，s=25）Fig. 7 Variation of θEr with fi for average-θimethod with different R/Ls (Ts=1.5 s, Hs=0.04m, s=25)

圖8 rr/Ls=0.35，R/Ls 不同時(shí)，3 號(hào)浪高儀位置理論波列和確定性模擬波列的對(duì)比（Ts=1.5 s，Hs=0.04m，s=25)Fig. 8 Comparison of theoretical and simulated wave surface elevation histories for different R/Ls with rr/Ls=0.35 at No.3 gauge (Ts=1.5 s,Hs=0.04m, s=25)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證R/Ls的變化對(duì)多向不規(guī)則波浪確定性模擬的影響，圖8 以采用average-θi所得波浪模擬結(jié)果為例，給出了rr/Ls=0.35，不同R/Ls時(shí)，3 號(hào)浪高儀位置的理論波列和模擬波列的對(duì)比?？梢钥闯觯?dāng)R/Ls≤0.12 時(shí)，模擬波列和理論波列的波動(dòng)過(guò)程是基本一致的，但當(dāng)R/Ls=0.16 時(shí)，兩者的差別相對(duì)較大。結(jié)合圖7 的θEr在fi∈(0，4fp)范圍內(nèi)的分析結(jié)果可認(rèn)為，模擬波列同理論波列差別產(chǎn)生的原因是由于當(dāng)R/Ls=0.12，fi<2.3fp時(shí)，絕大多數(shù)組成波方向角誤差θEr<2%，僅有個(gè)別的組成波方向角誤差θEr稍大，但也小于10%，保證了絕大多數(shù)的波浪能量對(duì)應(yīng)的計(jì)算的組成波的傳播方向θi是準(zhǔn)確的，從而保證了波浪模擬的整體精度。明顯地，當(dāng)R/Ls=0.16 時(shí)，在fi<1.95fp內(nèi)的θEr大于R/Ls>0.12 時(shí)的θEr，且絕大多數(shù)θEr≈5%；此外，波浪高頻成分組成波的θEr也會(huì)導(dǎo)致重現(xiàn)波浪在高頻部分產(chǎn)生較大的模擬誤差，從而導(dǎo)致模擬波列和已知波列整體差別較大。

為了研究多向不規(guī)則波確定性模擬的有效范圍，圖9 以R/Ls=0.06，選取average-θi進(jìn)行的波浪確定性模擬結(jié)果為例，給出了3 號(hào)浪高儀位置處理論波列和模擬波列在t=20～40 s，rr/Ls=0.16、0.35、0.60 和0.80時(shí)的對(duì)比?？梢钥闯?，隨著波浪模擬空間范圍的增大，確定性模擬的波浪精度減小，模擬的波列與理論波浪過(guò)程線在時(shí)域上存在的振幅差及相位偏差隨著rr/Ls的增大而逐漸增大。當(dāng)rr/Ls=0.80，即確定性模擬的波浪范圍為1.6Ls時(shí)，波浪確定性模擬的誤差相對(duì)較大，但模擬波列和理論波列仍然具有一致性。

與單向不規(guī)則波浪的波浪模擬精度分析類似，圖10以R/Ls=0.06 為例，給出了多向不規(guī)則波采用averageθi和max-Energy-θi進(jìn) 行 波 浪 模 擬 時(shí) 分 析 的Ermax隨rr/Ls的變化。明顯地，當(dāng)rr/Ls確定后，采用averageθi方法計(jì)算的組成波方向角進(jìn)行波浪確定性模擬時(shí)的Ermax較采用max-Energy-θi方法計(jì)算的組成波方向角進(jìn)行波浪模擬時(shí)的Ermax小。這與單向不規(guī)則波浪所得的結(jié)論是一致的。

圖10 R/Ls=0.06 時(shí)采用計(jì)算的average-θi 和max-Energy-θi 模擬所得波浪的Ermax 隨rr/Ls 的變化（Ts=1.5 s,Hs=0.04m, s=25）Fig. 10 Variation of Ermax for simulated waves with rr/Ls using average-θi andmax-Energy-θi of R/Ls=0.06 (Ts=1.5 s,Hs=0.04m, s=25)

圖11 不同的R/Ls 采用average-θi 模擬所得波浪的Ermax 隨rr/Ls 的變化(Ts=1.5 s, Hs=0.04m, s=25)Fig. 11 Variation of Ermax for simulated waves with rr/Ls using average-θi with different R/Ls (Ts=1.5 s, Hs=0.04m, s=25)

圖11 以采用average-θi計(jì)算的組成波方向角進(jìn)行確定性模擬的多向不規(guī)則波為例，給出了R/Ls不同時(shí)，波浪模擬的Ermax隨空間范圍rr/Ls的變化情況。隨著rr/Ls的增大，波浪模擬的Ermax增大；當(dāng)rr/Ls相同時(shí)，Ermax隨著R/Ls的增大而增大。明顯地，rr/Ls一定時(shí)，R/Ls=0.16 時(shí)的Ermax與R/Ls=0.12 時(shí)的Ermax絕對(duì)差值|Ermax_0.16?Ermax_0.12|明顯地比|Ermax_0.12?Ermax_0.09|、|Ermax_0.09?Ermax_0.06|及|Ermax_0.06?Ermax_0.03|時(shí) 的 大；且R/Ls=0.03～0.12時(shí)，確定性模擬波浪的Ermax的差別不是很大。因此，為了保證采用本文方法進(jìn)行波浪確定性模擬的準(zhǔn)確性，采集波浪的浪高儀間距應(yīng)小于波浪有效波長(zhǎng)的0.12 倍。另外，綜合圖11 和圖9b 的結(jié)果可以看出，當(dāng)R/Ls≤0.12 時(shí)，在空間范圍rr/Ls<0.35 內(nèi)，即確定性模擬的波浪范圍小于0.7Ls時(shí)，模擬的波列與原始波列的差別較小，即Ermax≤20%，一般滿足波浪對(duì)結(jié)構(gòu)物作用的試驗(yàn)要求。

4 結(jié)論

基于單疊加模型，通過(guò)對(duì)給定的合適位置的多向不規(guī)則波浪同步波動(dòng)過(guò)程求解，確定各組成的波浪成分ai、ωi、θi及εi，并以單疊加數(shù)值計(jì)算模型，實(shí)現(xiàn)了多向不規(guī)則波的確定性模擬。通過(guò)定性對(duì)比分析模擬波列和已知波列在時(shí)域的分布情況及定量分析模擬波列的誤差分布情況，可得出如下結(jié)論：

（1）本文建立的方法可以在一定范圍內(nèi)確定性的模擬給定的多向不規(guī)則波波動(dòng)過(guò)程。但是，波浪的相位差和振幅高度差隨著波浪模擬范圍的增大而增大，即波浪重現(xiàn)誤差隨著波浪重現(xiàn)范圍的增大而增大。

（2）采用對(duì)不同浪高儀組合所計(jì)算的方向角進(jìn)行平均所得的average-θi為組成波方向角進(jìn)行波浪確定性模擬的結(jié)果優(yōu)于采用對(duì)應(yīng)波浪能量最大儀器對(duì)所計(jì)算的方向角max-Energy-θi為組成波方向角時(shí)的模擬結(jié)果。

（3）給定計(jì)算組成波傳播方向θi的各浪高儀間距應(yīng)小于波浪有效波長(zhǎng)的0.12 倍。

（4）當(dāng)R/Ls≤0.12 時(shí)，在空間范圍rr/Ls<0.35 內(nèi)，即確定性模擬的波浪范圍小于0.7Ls時(shí)，模擬的波浪與原始波浪的差別較小，即Ermax≤20%，一般滿足波浪對(duì)于結(jié)構(gòu)物作用的試驗(yàn)要求。