表面效應(yīng)對(duì)碳納米管中彎曲波波動(dòng)特性的影響

黃彬，武井祥，金花，周強(qiáng)

(1.湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖南湘潭，411105；2.湘潭大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，湖南湘潭，411105)

1991年，IIJIMA[1]研制了碳納米管，掀起了人們對(duì)碳納米管的研究熱潮。碳納米管具有很多優(yōu)異性能，其中，其具有良好的柔韌性，在工業(yè)上常用作增強(qiáng)型纖維，是一種理想的高強(qiáng)度纖維材料，在工業(yè)生產(chǎn)中，通常以其他工程材料為基體與碳納米管制成復(fù)合材料，以改善復(fù)合材料的強(qiáng)度及韌性等性能。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論常用于研究碳納米管力學(xué)性能，但其模型不涉及尺寸依賴性。而大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，碳納米管的力學(xué)性能具有較強(qiáng)的尺寸依賴性。在此情況下，ERINGEN[2]提出了非局部彈性理論作為研究納米材料尺度效應(yīng)的理論方法?；诖死碚?，LIEW 等[3]結(jié)合非局部Timoshenko梁理論與分子動(dòng)力學(xué)這2種方法探討了碳納米管中彎曲波的傳播特性。PANG 等[4]結(jié)合非局部彈性理論探討了尺度效應(yīng)下黏彈性單壁碳納米管中橫波的傳播特性，發(fā)現(xiàn)表面尺度效應(yīng)對(duì)碳納米管中橫波的特性影響取決于波數(shù)與管的直徑這2個(gè)因素。余陽等[5]基于非局部應(yīng)變梯度Euler梁模型，研究了尺度效應(yīng)下充流碳納米管的波動(dòng)情況，發(fā)現(xiàn)應(yīng)變梯度對(duì)低頻波動(dòng)起促進(jìn)作用，對(duì)高頻波動(dòng)起阻尼作用。王碧蓉等[6]探討了非局部效應(yīng)對(duì)碳納米管中彎曲波頻散特性的影響，發(fā)現(xiàn)非局部效應(yīng)對(duì)彎曲波頻散特性的影響主要體現(xiàn)在高波數(shù)階段。SHEN 等[7]基于非局部Timoshenko 梁模型研究了被彈性介質(zhì)包圍時(shí)碳納米管中彎曲波的特性，發(fā)現(xiàn)彈性介質(zhì)對(duì)低頻波速有重要影響。GAFOUR 等[8]基于非局部Euler-Bernoulli 梁理論，探討了彈性介質(zhì)中“之”字形雙壁碳納米管中彎曲波的特性。碳納米管具有較大的比表面積，研究其性能時(shí)也需要考慮表面效應(yīng)的影響。CAMMARATA[9]研究了界面材料與納米結(jié)構(gòu)材料的表面效應(yīng)。LI等[10]基于非局部應(yīng)變梯度理論，研究了表面效應(yīng)對(duì)黏彈性單壁碳納米管中波特性的影響。ZHEN[11]分析了表面效應(yīng)對(duì)黏彈性單壁碳納米管中波特性的影響，發(fā)現(xiàn)表面效應(yīng)的影響在小波數(shù)及小管徑下顯得尤為顯著。NARENDAR 等[12]探討了表面效應(yīng)下納米管的非局域波特性，發(fā)現(xiàn)考慮表面效應(yīng)的彎曲波數(shù)比不考慮表面效應(yīng)的彎曲波數(shù)多，并且考慮表面效應(yīng)時(shí)，彎曲波表現(xiàn)出壓縮性質(zhì)。綜上可知，考慮表面效應(yīng)的Euler-Bernoulli 梁模型未考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形的影響。而考慮表面效應(yīng)的Timoshenko 梁模型，其表面效應(yīng)模型中曲率采用?2ω/?x2，顯然忽略了剪切變形的影響。人們對(duì)基于非局部彈性梁理論下碳納米管的波動(dòng)性能進(jìn)行了大量研究，但大多只考慮了應(yīng)力梯度的影響，未考慮應(yīng)變梯度的影響。為了更準(zhǔn)確地表征表面效應(yīng)下碳納米管中彎曲波的波動(dòng)特性，本文作者建立考慮表面效應(yīng)的廣義梯度剪切梁模型。與其他模型不同，表面效應(yīng)理論模型中曲率采用-?φ/?x的形式，并且同時(shí)兼顧了彎曲變形和剪切變形與表面效應(yīng)的相關(guān)性。此外，廣義梯度綜合考慮了應(yīng)力和應(yīng)變雙梯度的影響。與碳納米管極大的彈性模量相比，其周遭介質(zhì)可被視為彈性介質(zhì)，彈性介質(zhì)采用雙參數(shù)Pasternak-type 彈性基描述。與Winkler-type 基相比，Pasternak-type 彈性基同時(shí)考慮了軸向和徑向的彈簧剛度。為此，推導(dǎo)碳納米管中彎曲波的色散關(guān)系式，并通過分子動(dòng)力學(xué)模擬對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，分別探討表面效應(yīng)、尺度因子、彈性介質(zhì)對(duì)單壁碳納米管和多壁碳納米管中彎曲波相速度的影響。

1 考慮表面效應(yīng)的廣義梯度剪切梁模型

基于廣義梯度彈性梁理論，本構(gòu)方程可以表述為[13]

式中：σij和εij分別為應(yīng)力張量與應(yīng)變張量；λ和μ均為Lamé 常數(shù)；l1=e1a，l2=e2a，均為尺度系數(shù)；a為C—C 鍵長度；e1和e2均為量綱一材料常數(shù)，其值可通過實(shí)驗(yàn)或分子動(dòng)力學(xué)模擬得到，?2為拉普拉斯算符。當(dāng)l1=0時(shí)，上述理論變?yōu)閼?yīng)變梯度彈性理論；當(dāng)l2=0時(shí)，上述理論變?yōu)榉蔷植繌椥岳碚摗?/p>

對(duì)于一維納米結(jié)構(gòu)，其應(yīng)力張量σyy=σzz=σyz=σxy=0，此時(shí)，式(1)簡化為

式中：E和G分別為彈性模量與剪切模量；x為縱坐標(biāo)；z為垂直于未變形梁中性軸的坐標(biāo)；σxx和εxx分別為正應(yīng)力與正應(yīng)變；σxz和γxz分別為剪應(yīng)力與剪應(yīng)變。

對(duì)于剪切梁模型，正應(yīng)變?chǔ)舩x與剪應(yīng)變?chǔ)脁z可以表示為

其中：w為橫向撓度，記作w(x,t)；φ為橫截面的轉(zhuǎn)角，記作φ(x,t)。

將式(4)與(5)代入式(2)與(3)，得

對(duì)方程(6)進(jìn)行變換處理，在方程兩邊同時(shí)乘以z，再對(duì)其在橫截面上積分，得

其中：M為彎矩，M=∫AzσxxdA；I為橫截面慣性矩，I=∫Az2dA；A為橫截面面積。

對(duì)方程(7)兩邊積分，得

其中：Q為剪力，Q=∫AσxzdA；Gs為有效剪切模量，Gs=κG；κ為剪切修系數(shù)，由所選橫截面形狀決定。

基于剪切梁理論，運(yùn)動(dòng)方程可以寫作

其中：ρ為碳納米管密度；q為作用于橫向表面上的分布載荷。

對(duì)式(10)與式(11)進(jìn)行變形處理，得

當(dāng)考慮表面效應(yīng)時(shí)，有如下新增變量：

其中：J=πR3；H=4τ0R；Es為表面彈性模量；τ0為殘余表面張力；R為碳納米管橫截面半徑；(EI)*為梁體和表面等效剛度。

將式(12)和式(13)代入式(8)和(9)，得

將式(14)，(15)，(16)和(17)代入式(10)和(11)，可得到考慮表面效應(yīng)的廣義梯度剪切梁控制方程：

上述控制方程是關(guān)于轉(zhuǎn)角φ和撓度w的耦合方程。為了便于下一步計(jì)算，用1個(gè)新的函數(shù)F進(jìn)行簡化。在此情況下，轉(zhuǎn)角φ和撓度w為

因此，考慮表面效應(yīng)的廣義梯度剪切梁控制方程可以用函數(shù)F為

2 單壁碳納米管中的彎曲波

在研究過程中，碳納米管通常被用作增強(qiáng)材料而嵌于復(fù)合材料中，相比碳納米管極大的彈性模量，周圍介質(zhì)可視為彈性介質(zhì)。本研究中用Pasternak-type彈性基模型模擬，其表達(dá)式如下：

式中：β0與β1分別為徑向約束的彈簧剛度與切向約束的彈簧剛度。

當(dāng)彎曲波在碳納米管中傳播時(shí)，函數(shù)F的解析式如下：

將式(24)和(25)代入式(22)，得

其中：

由于b0為0，式(26)可以被簡化成2b1ω2-b2=0，并可求得ω為

2.1 考慮表面效應(yīng)的非局部剪切梁理論（NSBT）

基于非局部剪切梁理論(l2=0)，彎曲波的相速度變?yōu)?/p>

2.2 考慮表面效應(yīng)的應(yīng)變梯度剪切梁理論（SGSBT）

令l1=0，可以得到基于應(yīng)變梯度剪切梁理論，彎曲波的相速度為

2.3 經(jīng)典剪切梁理論（CSBT）

當(dāng)不考慮尺度參數(shù)和彈性介質(zhì)的影響即碳納米管處于自由空間，且l1=l2=0時(shí)，可得到經(jīng)典剪切梁理論下彎曲波在單壁碳納米管中傳播的相速度為

2.4 單壁碳納米管的結(jié)果分析與討論

本研究中，選擇(5，5)扶手型單壁碳納米管作為研究對(duì)象，得出彎曲波基于不同梁模型下在單壁碳納米管中傳播時(shí)的色散關(guān)系圖，并與分子動(dòng)力學(xué)模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖1所示。密度ρ=2.237 g/cm3，彈性模量E=0.39 TPa，泊松比ν=0.28，剪切模量G=0.5E/(1+ν)，厚度t=0.342 nm[14]；尺度因子l1=0.8a，l2=0.1a。對(duì)于橫截面為圓形的碳納米管，剪切修正系數(shù)κ=0.8[15]。表面彈性模量ES=5.188 2 N/m，表面殘余張力τ0=0.910 8 N/m[16-17]。

圖1中，GSBT，GEBT和MD分別代表考慮表面效應(yīng)的廣義梯度剪切梁理論、考慮表面效應(yīng)的廣義梯度Euler-Bernoulli 梁理論和分子動(dòng)力學(xué)模擬結(jié)果。從圖1可見：GEBT預(yù)測(cè)的波速只在小波數(shù)區(qū)間內(nèi)與MD 預(yù)測(cè)的波速較接近；隨著波數(shù)增大，與MD模擬結(jié)果偏差越大；而GSBT預(yù)測(cè)的波速與MD 預(yù)測(cè)的波速[14]在整個(gè)波數(shù)區(qū)間都較吻合。因此，考慮表面效應(yīng)的廣義梯度剪切梁模型能很好地表征CNTs的波動(dòng)特性。

圖1 不同梁模型下彎曲波相速度與分子動(dòng)力學(xué)結(jié)果的比較Fig.1 Comparison of phase velocity and molecular dynamics results of flexural wave in different beam models

圖2所示為考慮與不考慮表面效應(yīng)這2種情況下單壁碳納米管中彎曲波相速度的對(duì)比，以便考察表面效應(yīng)對(duì)CNTs 波速的影響。從圖2可知：在小波數(shù)范圍內(nèi)，2條相速度曲線存在明顯偏差；隨著波數(shù)增大，這種偏差逐漸減小。這說明表面效應(yīng)對(duì)單壁碳納米管在小波數(shù)區(qū)間內(nèi)的彎曲波特性影響顯著，而隨著波數(shù)增大，這種影響逐漸減小，直至消失。

圖3所示為基于不同剪切梁理論下，單壁碳納米管中彎曲波的相速度曲線，GSBT，NSBT，SGSBT 和CSBT 分別代表考慮表面效應(yīng)的廣義梯度剪切梁理論、考慮表面效應(yīng)的非局部剪切梁理論、考慮表面效應(yīng)的應(yīng)變梯度剪切梁理論和經(jīng)典剪切梁理論。

圖2 考慮表面效應(yīng)與不考慮表面效應(yīng)情況下單壁碳納米管的彎曲波相速度曲線Fig.2 Phase velocity curves of flexural waves in SWCNTs with or without surface effect

由圖3可知：在小波數(shù)范圍內(nèi)，彎曲波在4種不同剪切梁理論下的相速度曲線非常接近；隨著波數(shù)增大，SGSBT模型的相速度曲線、NSBT模型的相速度曲線以及CSBT模型的相速度曲線都逐漸偏離GSBT 模型的相速度曲線；當(dāng)波數(shù)足夠大時(shí)，NSBT模型的相速度曲線無限趨近于0；SGSBT 模型的相速度和CSBT模型的相速度則隨著波數(shù)增加而增加。SGSBT，CSBT 和GSBT 這3 個(gè)模型不符合“彈性波可認(rèn)為是長波的極限”這一事實(shí)。因此，當(dāng)考慮尺度系數(shù)的影響時(shí)，選擇廣義梯度剪切梁理論研究單壁碳納米管中彎曲波的特性是合理的。

圖3 不同剪切梁理論下單壁碳納米管中彎曲波的相速度Fig.3 Phase velocities of bending wave in SWCNTs with different shear beam theories

圖4和圖5所示分別為尺度因子e1和e2對(duì)彎曲波相速度的影響。分析圖4和圖5可知：在小波數(shù)范圍內(nèi)，尺度因子e1和e2對(duì)彎曲波相速度的影響可以忽略；隨著波數(shù)增加，e1和e2對(duì)彎曲波相速度的影響逐漸增強(qiáng)；不同e1和e2對(duì)相速度的影響程度也不同，對(duì)于大波數(shù)范圍，e1增大使相速度減小，而在波數(shù)較大時(shí)，相速度隨e2增大而增大。

圖4 尺度因子e1對(duì)單壁碳納米管中彎曲波相速度的影響(e2=0.1)Fig.4 Influence of scale factor e1 on phase velocity of flexural wave in SWCNTs when e2=0.1

圖5 尺度因子e2對(duì)單壁碳納米管中彎曲波相速度的影響(e1=0.8)Fig.5 Influence of scale factor e2 on phase velocity of flexural wave in SWCNTs when e1=0.8

選取參數(shù)徑向約束的彈簧剛度β0與切向約束的彈簧剛度β1，彈性介質(zhì)對(duì)彎曲波相速度的影響如圖6和圖7所示。

圖6 彈簧剛度β0對(duì)單壁碳納米管中彎曲波相速度的影響(β1=0)Fig.6 Influence of spring stiffness β0 on phase velocity of flexural wave in SWCNTs when β1=0

圖7 彈簧剛度β1對(duì)單壁碳納米管中彎曲波相速度的影響(β0=0)Fig.7 Influence of spring stiffness β1 on phase velocity of flexural wave in SWCNTs when β0=0

從圖6和圖7可見：彈性參數(shù)β0和β1對(duì)CNT中彎曲波相速度有較大影響；在小波數(shù)范圍內(nèi)，隨著β0和β1增大，對(duì)應(yīng)的相速度均呈現(xiàn)增大趨勢(shì)，說明彈性介質(zhì)的存在使彎曲波相速度的預(yù)測(cè)結(jié)果偏大；波數(shù)越小，彈性介質(zhì)對(duì)單壁碳納米管中彎曲波相速度的影響越顯著；當(dāng)波數(shù)足夠大時(shí)，彈性介質(zhì)對(duì)彎曲波相速度的影響可以忽略，也就是說，波數(shù)越小，單壁碳納米管中彎曲波的相速度對(duì)彈性介質(zhì)越敏感。從圖6和圖7還可看出：β1對(duì)彎曲波相速度的影響范圍比β0的影響范圍要廣，這是因?yàn)棣?與β1分別為徑向約束的彈簧剛度與切向約束的彈簧剛度，所以，可以認(rèn)為彈性介質(zhì)的切應(yīng)力對(duì)波數(shù)的影響范圍要比正應(yīng)力對(duì)波數(shù)的影響范圍更廣。

3 多壁碳納米管中的彎曲波

3.1 多壁碳納米管中相速度的推導(dǎo)

不同于單壁碳納米管，多壁碳納米管相鄰管之間存在范德華力，且范德華力可由Lennard-Jones勢(shì)推導(dǎo)得到[18-21]。

第j層碳納米管的范德華力qj為

其中：αj為范德華作用系數(shù)(單位為10-7J)，

Rj為相應(yīng)內(nèi)管的半徑(單位為nm)。

對(duì)于最外層碳納米管，范德華力的表達(dá)式可以寫成

最外層碳納米管會(huì)同時(shí)受到范德華力與周圍介質(zhì)的影響。當(dāng)彎曲波在多壁碳納米管中傳播時(shí)，函數(shù)F的表達(dá)式為

其中：j為相應(yīng)碳納米管的層數(shù)；為振幅；k為波數(shù)；ω為圓頻率。

將方程(35)代入式(32)與(34)得

再將式(36)，(37)和(38)代入式(22)，得

以雙壁碳納米管為例，有

式中：

對(duì)上述行列式進(jìn)行求解，得

彎曲波在雙壁碳納米管中傳播時(shí)的相速度為

3.2 多壁碳納米管的結(jié)果分析與討論

為了進(jìn)一步研究范德華力對(duì)相速度的影響，以雙壁碳納米管為例，針對(duì)范德華力設(shè)置以下3種情況：1)考慮范德華力對(duì)相速度的影響；2)忽略范德華力對(duì)相速度的影響；3)假設(shè)范德華力趨于無窮大。范德華作用系數(shù)α1由式(33)得到，α1=0或α1→∞。當(dāng)α1=0 時(shí)，雙壁碳納米管可以看作是由2 個(gè)獨(dú)立的單壁碳納米管組成[22]；當(dāng)α1→∞時(shí)，雙壁碳納米管相當(dāng)于2 個(gè)碳納米管固結(jié)在一起，此時(shí)，雙壁碳納米管也可看作是1個(gè)單壁碳納米管，且橫截面面積A=A1+A2，慣性矩I=I1+[23-24]。驗(yàn)證結(jié)果如圖8所示。

圖8 自由空間中，范德華作用系數(shù)α1對(duì)(5，5)@(10，10)扶手型雙壁碳納米管相速度的比較Fig.8 Comparison of phase speed of(5,5)@(10,10)armchair DWCNT in free space duo to van der Waals interaction coefficient α1

事實(shí)上，α1=0 和α1→∞是2 種理論上的極限狀態(tài)。α1取由式(33)確定的值時(shí)，對(duì)應(yīng)的波速位于上述2種情況下的波速之間。同時(shí)，圖8也說明范德華作用只對(duì)較小波數(shù)范圍內(nèi)的相速度有一定影響，而對(duì)大波數(shù)的相速度影響較小。

圖9與圖10所示分別為彈性介質(zhì)及自由空間中幾種碳納米管相速度的對(duì)比結(jié)果。尺度因子e1=0.8，e2=0.1，彈性介質(zhì)中彈性參數(shù)β0/E=0.01，β1/E=20，自由空間中彈性參數(shù)設(shè)為0。研究對(duì)象包含單壁碳納米管(SWCNT)、雙壁碳納米管(DWCNT)、三壁碳納米管(TWCNT)及四壁碳納米管(QWCNT)。

圖9 彈性介質(zhì)中多壁碳納米管相速度的比較Fig.9 Comparison of phase velocity of MWCNTs in elastic medium

圖10 自由空間中多壁碳納米管相速度的比較Fig.10 Comparison of phase velocity of MWCNTs in free space

由圖9與圖10可知：當(dāng)波數(shù)ka>1時(shí)，彈性介質(zhì)對(duì)多壁碳納米管相速度的影響可以忽略不計(jì)；當(dāng)ka<1時(shí)，彈性介質(zhì)的存在會(huì)使相速度的預(yù)測(cè)結(jié)果偏大[25]，且波數(shù)越小，彈性介質(zhì)對(duì)多壁碳納米管相速度的影響越明顯；當(dāng)多壁碳納米管處于彈性介質(zhì)中時(shí)，隨著碳納米管管層數(shù)增加，相速度反而逐漸減??；當(dāng)多壁碳納米管處于自由空間中時(shí)，相速度隨著碳納米管管層數(shù)增加而變大[26]。因此，碳納米管管層數(shù)越少，相速度對(duì)彈性介質(zhì)的反應(yīng)越敏感。

為了研究表面效應(yīng)對(duì)多壁碳納米管相速度的影響，給出考慮表面效應(yīng)與不考慮表面效應(yīng)這2種情況下雙壁碳納米管中彎曲波相速度的對(duì)比結(jié)果，如圖11所示。

圖11 考慮表面效應(yīng)與不考慮表面效應(yīng)情況下雙壁碳納米管中彎曲波的相速度Fig.11 Phase velocities of flexural waves in DWCNTs with or without surface effect

從圖11可知：在小波數(shù)范圍內(nèi)，2條相速度曲線存在明顯偏差；隨著波數(shù)增大，這種偏差逐漸減小直至消失。這也說明表面效應(yīng)影響多壁碳納米管中彎曲波的特性，且影響范圍主要集中在小波數(shù)范圍內(nèi)。

4 結(jié)論

1)表面效應(yīng)影響碳納米管中彎曲波的相速度，且這種影響主要體現(xiàn)在小波數(shù)范圍內(nèi)。

2)對(duì)于小波數(shù)范圍，尺度系數(shù)e1和e2對(duì)碳納米管相速度的影響可以忽略。隨著波數(shù)增大，尺度系數(shù)e1和e2對(duì)碳納米管相速度的影響逐漸增強(qiáng)。

3)彈性介質(zhì)對(duì)碳納米管中彎曲波相速度的影響主要體現(xiàn)在小波數(shù)范圍內(nèi)，且剛度系數(shù)β0與β1對(duì)碳納米管中彎曲波相速度的影響范圍不同。波數(shù)越小，彈性介質(zhì)對(duì)多壁碳納米管相速度的影響越明顯。