空心微瓶諧振腔的曲率模型及其傳輸特性研究

（上海大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院 特種光纖與光接入網(wǎng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200444）

引言

近年來(lái)，支持光學(xué)回音壁模式（whispering gallery mode，WGM）的諧振腔受到了人們的廣泛關(guān)注。這些諧振腔基于全反射原理將光限制在其內(nèi)部，使其具有高品質(zhì)因子（quality factor,Q-factor）和小模式體積的特性[1]。WGM 諧振腔的結(jié)構(gòu)主要包括微球[2-3]、微環(huán)[4]、微盤(pán)[5]和微環(huán)芯[6]等。這些類型的諧振腔主要將WGM 限制在各自的赤道面上，因此它們通常被視為二維諧振腔[7]。隨后，WGM 諧振腔的研究擴(kuò)展到了微瓶諧振腔。由于其自身的非球面特性，它將WGM 限制在軸向上的2個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)之間，使其不僅支持沿赤道面環(huán)繞的徑向WGM，還支持在軸向上傳輸?shù)腤GM[8]。這種軸向限制作用使微瓶諧振腔又被稱為三維諧振腔。這種對(duì)光的三維限制能力提升了腔內(nèi)的光場(chǎng)能量和光子壽命，因此微瓶諧振腔被廣泛應(yīng)用在低閾值激光器[9]、傳感器[10]和腔光力學(xué)[11]等領(lǐng)域。

微瓶諧振腔獨(dú)特的限制作用吸引了眾多學(xué)者研究其傳輸特性[12-14]。2009年，英國(guó)南安普頓大學(xué)的G.Murugan 等通過(guò)熔接機(jī)放電并同時(shí)推進(jìn)的方法制備出了微瓶諧振腔[15]，分析了沿著微瓶諧振腔不同耦合位置所激發(fā)的傳輸譜特性。2016年，復(fù)旦大學(xué)的L.Xu 等通過(guò)引入紫外光固化膠作為損耗單元，選擇性地抑制微瓶諧振腔的模式諧振，降低了微瓶諧振腔傳輸譜的模式密度[16]。2018年，浙江師范大學(xué)的G.Wu 等基于有限元數(shù)值分析法研究了曲率對(duì)空心微瓶諧振腔傳輸特性的影響[17]。文中通過(guò)控制熔接機(jī)對(duì)石英毛細(xì)管的放電次數(shù)制備出了不同曲率的空心微瓶諧振腔[18]，根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程推導(dǎo)出了曲率變化模型，并且通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了不同曲率下空心微瓶諧振腔的傳輸特性。

1 軸向WGM的理論仿真

微瓶諧振腔可以將WGM 限制在軸向方向上的2個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)±Zc之間[19]。圖1為微瓶諧振腔的幾何結(jié)構(gòu)，紅線表示軸向WGM。微瓶半徑R（Z）沿Z軸方向的變化情況可以通過(guò)二次諧波函數(shù)來(lái)近似[8]：

式中：Z=0，即表示在微瓶諧振腔的中心位置處，此時(shí)R（0）是微瓶諧振腔的最大半徑；?k表示微瓶諧振腔的曲率，?k越大則意味著微瓶諧振腔的鼓起程度越大，當(dāng)?k=0時(shí)，該結(jié)構(gòu)等同于微柱型諧振腔。

圖1 微瓶諧振腔示意圖Fig.1 Schematic of micro-bottle resonator

在Z軸方向上，電場(chǎng)EZ可以類比一維諧振子問(wèn)題，相應(yīng)的解可以表示為[19]

式中：m是方位角量子數(shù)；q是軸向量子數(shù)；Hq為第q階的Hermite 多項(xiàng)式。

研究不同曲率下微瓶諧振腔中軸向WGM的分布情況。根據(jù)（1）式可以得到微瓶諧振腔的輪廓曲線，結(jié)果如圖2（a）所示。對(duì)應(yīng)的Δk分別為0.008 μm?1、0.007 μm?1、0.006 μm?1、0.005 μm?1和0.004 μm?1。隨著Δk的增加，微瓶諧振腔的R（0）也隨之增加。然后，將上述曲率代入到（2）式中并設(shè)置參數(shù)R（0）=70 μm，m=370，q=0，可以得到腔內(nèi)WGM的光場(chǎng)分布情況，結(jié)果如圖2（b）所示。|Ez|2表示光場(chǎng)的能量幅值。從圖2（b）中可以觀察出：隨著Δk的增加，±Zc之間的距離會(huì)減小，光場(chǎng)幅值|Ez|2會(huì)不斷增大。結(jié)果表明，曲率越大的微瓶諧振腔對(duì)光的束縛能力越強(qiáng)，相應(yīng)的腔內(nèi)能量也會(huì)越高，有助于增強(qiáng)光與外界物質(zhì)之間的相互作用，從而實(shí)現(xiàn)高靈敏傳感[20]。

圖2 不同曲率情況下空心微瓶諧振腔的輪廓示意圖和模場(chǎng)分布Fig.2 Outline schematic and mode field distribution of hollowed micro-bottle resonator with different curvature Δk

此外，將參數(shù)中的Δk設(shè)置為恒定值0.003 μm?1，改變軸向量子數(shù)q分別為0、1、2和3，得到的光場(chǎng)分布情況如圖3所示。隨著q值的增加，激發(fā)出的軸向WGM 數(shù)量增加。模式的軸向階次越高，光場(chǎng)越會(huì)朝著遠(yuǎn)離中心的位置拓展，但模式總是被限制在微瓶諧振腔的軸向方向上，呈現(xiàn)出兩邊幅值高于中間幅值的情況。

圖3 軸向量子數(shù)q分別為0、1、2和3時(shí)所對(duì)應(yīng)的軸向模式分布情況Fig.3 Axial mode distribution with axial quantum numberqof 0,1,2 and 3,respectively

2 器件制備

空心微瓶諧振腔是基于內(nèi)徑和外徑分別為75 μm和126 μm的去涂覆石英毛細(xì)管（Innosep TSP075150）所制成的，制備過(guò)程如圖4所示。首先，使用熔接機(jī)（FITEL S178）對(duì)石英毛細(xì)管的一端進(jìn)行放電密封，放電強(qiáng)度為100 bit，放電時(shí)間為700 ms。然后，將另一端與注射泵相連，推動(dòng)注射泵增加石英毛細(xì)管纖芯內(nèi)的氣壓。最后在放電強(qiáng)度為1 bit和放電時(shí)間為300 ms的條件下，通過(guò)電極放電使熔融的石英毛細(xì)管內(nèi)部氣壓受熱膨脹形成瓶狀結(jié)構(gòu)。

圖4 空心微瓶諧振腔的制備示意圖Fig.4 Fabrication schematic of hollowed micro-bottle resonator

通過(guò)控制熔接機(jī)的放電次數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)空心微瓶諧振腔的尺寸控制。而隨著鼓起程度的增大，石英毛細(xì)管的壁厚將會(huì)減小，采用表面積守恒法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)壁厚的理論計(jì)算。圖5中插圖所示為空心微瓶諧振腔放電前后的橫截面示意圖。左邊是未放電的石英毛細(xì)管，右邊是放電之后的情況。圖5中R1表示石英毛細(xì)管在放電前的外半徑（63 μm），R2表示其相應(yīng)的內(nèi)半徑，R3表示放電后的最大半徑，d表示其相應(yīng)的壁厚。此外，熔接機(jī)有上下兩個(gè)相對(duì)的電極，可以保證石英毛細(xì)管在任一橫截面上受到的溫度是均勻且相等的，所以從橫截面看去石英毛細(xì)管在放電前后的變化是均勻的，并且無(wú)論放電幾次，理論上該圓環(huán)的表面積都應(yīng)近似恒定。根據(jù)該理論可得：

根據(jù)（3）式可以得到不同尺寸下空心微瓶諧振腔所對(duì)應(yīng)的理論壁厚，如圖5中曲線所示。隨著空心微瓶諧振腔的尺寸增大，相對(duì)應(yīng)的壁厚也就越小。

圖5 最大半徑R3與壁厚d之間的理論關(guān)系Fig.5 Theoretical relationship between maximum radius R3and wall thickness d

然后分析了不同放電次數(shù)下空心微瓶諧振腔的曲率變化。假設(shè)每次推動(dòng)注射泵后造成石英毛細(xì)管纖芯內(nèi)的氣壓變化為Px，溫度變化為T(mén)x。體積為Vx，即為石英毛細(xì)管的體積。設(shè)置熔接機(jī)的放電時(shí)間為300 ms，對(duì)其放電之后，溫度上升到T1。通常，熔接機(jī)的放電時(shí)間比石英毛細(xì)管的膨脹時(shí)間長(zhǎng)。因此，當(dāng)溫度仍為T(mén)1時(shí)，纖芯內(nèi)的氣壓已經(jīng)降低到標(biāo)準(zhǔn)大氣壓Po。根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，PV=ngasRgasT，其中P、V和T分別是理想氣體的壓強(qiáng)、體積和熱力學(xué)溫度，ngas是氣體物質(zhì)的量，Rgas是理想氣體常數(shù)。在放電前，Vx=nRTx/Px。當(dāng)放電次數(shù)為1時(shí)，V1=nRT1/Po，其中T1=Tx+k，k為電極放電所導(dǎo)致的溫度變化。因此，可以得到以下公式：

由于石英毛細(xì)管已經(jīng)過(guò)1次放電，所以再次推動(dòng)注射泵后，初始條件變?yōu)閂1=nRTx/Px。當(dāng)放電次數(shù)為2時(shí)，V2=nR（TX+k）/Po，可以推導(dǎo)出V2的表達(dá)式：

以此類推，當(dāng)放電次數(shù)為N時(shí)，體積VN可以表示為

并且在制備過(guò)程中，石英毛細(xì)管的兩端被夾具固定，在水平方向沒(méi)有施加任何力。電極放電產(chǎn)生的高斯?fàn)铍娀挾纫彩枪潭ǖ摹Ｒ虼?，空心微瓶諧振腔的軸向長(zhǎng)度可以近似看作是固定的。圖6中插圖所示是放電次數(shù)分別為2、3、4和5次時(shí)制備的空心微瓶諧振腔。經(jīng)過(guò)測(cè)量軸向的長(zhǎng)度約為400 μm，對(duì)應(yīng)的最大半徑R3分別為68.5 μm、74 μm、76.5 μm和91 μm。通過(guò)（1）式可以求得上述尺寸所對(duì)應(yīng)的曲率?k分別為0.002 2 μm?1、0.003 2 μm?1、0.003 5 μm?1和0.005 3 μm?1。通過(guò)熱膨脹形成的空心微瓶諧振腔可以視為圓柱體和橢球體的組合：

式中：ΔR=R3?R1；L表示空心微瓶諧振腔沿Z軸的一半長(zhǎng)度。所以我們可以得到下式：

由于R3=ΔR+R1，結(jié)合（8）式可得R3與N的關(guān)系：

根據(jù)描述微瓶諧振腔輪廓的（1）式，可以求得曲率?k與放電次數(shù)N之間的關(guān)系：

根據(jù)（10）式可以計(jì)算出圖6中反映?k與N之間關(guān)系的曲線，插圖為放電次數(shù)分別是2、3、4和5時(shí)器件的顯微鏡圖像。參數(shù)Z=200 μm，R（Z）=63 μm。參數(shù)S=Px/Po+（Pxk）/（PoTx），取值為2.5。結(jié)果表明，隨著放電次數(shù)的增加，?k的增長(zhǎng)速率變大。實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合理論曲線的變化趨勢(shì)。

圖6 放電次數(shù)N和曲率?k之間的關(guān)系Fig.6 Relationship between discharge times Nand curvature ?k

3 傳輸特性分析

通過(guò)錐腰直徑為2 μm的微納光纖融錐與空心微瓶諧振腔耦合來(lái)激發(fā)WGM，實(shí)驗(yàn)裝置如圖7所示。圖7中紅色線路表示光路，黑色線路表示電路?？招奈⑵恐C振腔與微納光纖融錐之間的耦合距離由2個(gè)分辨率為20 nm的三維調(diào)整架（Thorlabs NanoMax300）來(lái)精確控制。利用CCD（chargecoupled device，電荷耦合器件）觀察兩者之間的位置，圖7中的圖像即為在CCD 下觀察到的耦合情況。并且為了提高耦合實(shí)驗(yàn)的穩(wěn)定性，將微納光纖融錐貼在空心微瓶諧振腔的表面。然后，可調(diào)諧激光器（Agilent 8164）發(fā)出的光經(jīng)過(guò)偏振控制器（Newport F-POL-APC）后耦合到空心微瓶諧振腔中，其中光功率為100 μW，偏振控制器用來(lái)調(diào)節(jié)光的偏振態(tài)。光信號(hào)經(jīng)過(guò)光電探測(cè)器（Thorlabs DET08CFC/M）轉(zhuǎn)化為電信號(hào)后被示波器（Tektronix MSO4104）記錄。

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.7 Schematic of experimental device

搭建好上述裝置后，選取曲率?k分別為0.002 2 μm?1、0.003 2 μm?1、0.003 5 μm?1和0.005 3 μm?1的空心微瓶諧振腔進(jìn)行測(cè)試。測(cè)試結(jié)果如圖8所示。從圖8中可以觀察到在1 545 nm～1 550 nm范圍內(nèi)，豐富且密集的WGM 被有效激發(fā)。這是由于瓶狀結(jié)構(gòu)的非球面特性使得空心微瓶諧振腔支持2種方向上的模式，一種是在赤道面環(huán)繞的徑向WGM，另一種是在軸向上螺旋傳播的軸向WGM。并且諧振波長(zhǎng)和激發(fā)強(qiáng)度還取決于微納光纖融錐與諧振腔模場(chǎng)之間的相位匹配程度和空間重疊度[15]。當(dāng)微納光纖融錐放置在空心微瓶諧振腔的中心附近時(shí)，所有的軸向WGM是最容易被激發(fā)的。

圖8 不同曲率?k對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.8 Experimental results corresponding to different curvature ?k

然后在圖9中放大了不同曲率下傳輸譜的測(cè)試結(jié)果。所選取的諧振波長(zhǎng)分別為1 547.346 nm、1 547.270 nm、1 547.347 nm和1 547.253 nm。經(jīng)過(guò)擬合后，根據(jù)Q-factor 公式（定義為Q=λ/?λ），其中波長(zhǎng)λ為諧振波長(zhǎng)，?λ為半高全寬，求得Q-factor分別為5.12×105、5.95×105、6.34×105和7.26×105。隨著空心微瓶諧振腔曲率?k的增大，諧振腔的Q-factor也隨之增加。但是微納光纖融錐是直接貼在空心微瓶諧振腔的表面，使得大多數(shù)WGM處于過(guò)耦合狀態(tài)會(huì)導(dǎo)致較低的Q-factor[21]。在后續(xù)研究中，我們可以通過(guò)改進(jìn)實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)現(xiàn)臨界耦合狀態(tài)或者優(yōu)化制備工藝制得表面更光滑的器件來(lái)進(jìn)一步提升Q-factor。

圖9 不同曲率?k的單個(gè)諧振峰結(jié)果Fig.9 Single resonance peak results with different curvature ?k

最后在圖10中展示了Q-factor 隨著曲率?k的變化趨勢(shì)。當(dāng)?k從0.002 2 μm?1增加到0.005 3 μm?1時(shí)，Q-factor 從5.12×105增加到了7.26×105。結(jié)果表明隨著?k的增大，空心微瓶諧振腔的Q-factor越高，相應(yīng)的諧振腔內(nèi)所儲(chǔ)存的光場(chǎng)能量也就越大，與仿真結(jié)果一致。

圖10 空心微瓶諧振腔的Q-factor和曲率?k之間的關(guān)系Fig.10 Relationship between Q-factor and curvature ?kof hollowed micro-bottle resonator

4 結(jié)論

本文提出了空心微瓶諧振腔的曲率變化模型并且研究了曲率對(duì)其傳輸特性的影響。從理論角度仿真了微瓶諧振腔內(nèi)軸向WGM的分布情況。隨著微瓶諧振腔的曲率增大，內(nèi)部基模的能量幅值也會(huì)相應(yīng)增加。利用熔接機(jī)放電沿石英毛細(xì)管制得不同曲率的瓶狀結(jié)構(gòu)。根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，分析了放電次數(shù)對(duì)空心微瓶諧振腔曲率的影響，理論趨勢(shì)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合。通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試了不同曲率空心微瓶諧振腔的傳輸譜。隨著?k增大，空心微瓶諧振腔對(duì)光的束縛能力越強(qiáng)，得到的Q-factor 也就越高，達(dá)到了7.26×105。在接下來(lái)的研究中可以將微瓶諧振腔的空心作為液體通道，將具有折射率可調(diào)特性的磁流體填充進(jìn)去，利用其軸向WGM 增強(qiáng)光與內(nèi)部磁流體的相互作用，通過(guò)監(jiān)測(cè)諧振波長(zhǎng)的變化實(shí)現(xiàn)磁場(chǎng)傳感。