一類被積函數(shù)為sin(x2)的積分問題研究

廖春艷 王夢丹

（湖南科技學(xué)院 理學(xué)院，湖南 永州 425199）

1 問題及其求法

1.1 利用積分第二中值定理求解

于是有 得證。

本例是利用積分第二中值定理來證明這個(gè)不等式，我們也可以利用類似的方法來證明一些被積函數(shù)為三角函數(shù) sin(x2)的積分等式。

由積分第二中值定理，存在 ξ ∈ [a2, b2]，使得

1.2 利用定積分的性質(zhì)及分部積分法求解

分析，本題的類型和例1 是類似的，只是上下限的形式有點(diǎn)不同，可以考慮用積分第二中值定理來求解，同學(xué)們可以自行證之。在這里我們換一種方法來進(jìn)行求解。

解：由分部積分法，有

本例我們利用分部積分和定積分的性質(zhì)來進(jìn)行求解，解題過程也是非常直觀的，也容易被同學(xué)接受。同學(xué)們看到定積分，想到最多的就是利用分部積分法和換元法進(jìn)行求解。

1.3 利用積分式變換求解

下面我們利用定積分的換元法來解決下面例題。

分析，本例我們還能不能用分部積分法來求呢？我們來看下，利用上例的方法不難得到

我們發(fā)現(xiàn)如果下限為0 的話，等式的前半部分是沒有意義的，所以不能采用分部積分的方法來進(jìn)行求解，我們換一種思路來考慮。

證明：令x2= y，則有

對第二個(gè)換元z = y ? π，則有

所以原積分就等于

注：對于這類問題采用通常的積分方法，通過分部積分法或者直接換元法轉(zhuǎn)換為求原函數(shù)的方法來計(jì)算定積分行不通，可以采取這種積分式變換的方法來得到問題的解。對于這類問題可以歸結(jié)為原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示求定積分問題，基本思路與方法差不多。一般通過拆分積分項(xiàng)的方法轉(zhuǎn)換為原積分和一個(gè)數(shù)值，或者轉(zhuǎn)換為兩個(gè)可以互相消去的積分項(xiàng)和一個(gè)積分值來得到原積分的值。

下面我們利用上例的結(jié)論來判斷下例積分的符號：

分析，這道題的被積函數(shù)并不是只有三角函數(shù)，同樣，它的原函數(shù)我們很難去求解，怎么辦呢？我們不妨觀察下本例，這個(gè)積分的上下限是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，我們很快想到積分的對稱性，但是很遺憾，被積函數(shù)并不具備奇偶性，所以本題的求解只能另辟蹊徑。還是采用前面的方式，換元再拆分。

2 結(jié) 語

數(shù)學(xué)分析中涉及到三角函數(shù)的積分問題有很多，本文主要探究的是被積函數(shù)為sin(x)2的一類特殊的三角函數(shù)的積分等式及不等式問題，利用積分中值定理、分部積分法、換元積分法以及積分的性質(zhì)，對原積分進(jìn)行拆分、換元、求解。通過以上例題的分析，有利于理解數(shù)學(xué)分析中的一些被積函數(shù)含有三角函數(shù)的積分問題，在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)新的知識，研究出新的求解規(guī)律。