基于模糊收益率的分散化投資組合調(diào)整策略

楊興雨，劉偉龍，井明月，張 永

（廣東工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，廣東 廣州 510520）

正所謂“不要把所有雞蛋放在同一個(gè)籃子里”，為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，投資者往往把資金分散地投資在多個(gè)資產(chǎn)上。假設(shè)資產(chǎn)收益率為隨機(jī)變量，分別用資產(chǎn)組合的均值和方差度量其收益和風(fēng)險(xiǎn)，Markowitz[1]提出了均值-方差(MV)投資組合選擇模型，為現(xiàn)代投資組合理論奠定了基礎(chǔ)。隨后，學(xué)者們對MV模型進(jìn)行廣泛的推廣[2-5]。

隨機(jī)投資組合模型利用隨機(jī)變量刻畫資產(chǎn)收益的不確定性，并通過歷史數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)信息來確定收益率的隨機(jī)分布。然而，在實(shí)際的金融市場中投資決策受到許多非概率因素的影響，如專家觀點(diǎn)、投資者情緒等，這些不確定性因素在很大程度上具有模糊性。因此，眾多學(xué)者開始基于Zadeh[6]提出的模糊集合理論研究模糊不確定環(huán)境下的投資組合問題。Carlsson等[7]用可能性均值和可能性方差度量資產(chǎn)組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)，提出了一個(gè)效用最大化的模糊投資組合模型。劉勇軍等[8]考慮現(xiàn)實(shí)投資約束，提出了一個(gè)以資產(chǎn)組合收益和偏度最大化，以資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)、不確定性和模糊性最小化為目標(biāo)的多準(zhǔn)則模糊投資組合模型。Yue等[9]提出了一個(gè)綜合考慮投資組合下半方差風(fēng)險(xiǎn)和下半絕對偏差的多目標(biāo)模糊投資組合模型。王燦杰和鄧雪[10]提出了一個(gè)帶融資約束的多目標(biāo)模糊投資組合模型，并設(shè)計(jì)了一個(gè)改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群算法進(jìn)行求解。宋健和鄧雪[11]針對模糊不確定的證券市場提出了一個(gè)均值-方差投資組合模型，并綜合粒子群算法和人工魚群算法設(shè)計(jì)了一個(gè)混合智能算法進(jìn)行求解。

以上模糊投資組合模型假設(shè)資產(chǎn)的收益率為模糊變量，在實(shí)際應(yīng)用中還需要對模糊分布的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。考慮到線性隸屬函數(shù)在處理上的便利性，許多學(xué)者利用三角模糊數(shù)或梯形模糊數(shù)來擬合資產(chǎn)的模糊收益率[12-14]。針對模糊收益率的擬合問題，Zhang等[15]提出了一個(gè)模糊頻率估計(jì)法。該方法通過統(tǒng)計(jì)和分析歷史收益率在事先劃分好的各個(gè)區(qū)間上的頻數(shù)來確定模糊收益率的參數(shù)。Vercher等[16]提出將資產(chǎn)的歷史收益率進(jìn)行排序，然后基于歷史收益率的特殊分位點(diǎn)來確定模糊收益率的參數(shù)。以上兩個(gè)簡單的估計(jì)方法在操作過程中都帶有較強(qiáng)的主觀性，如劃分區(qū)間和分位點(diǎn)選擇問題，因此在實(shí)際應(yīng)用中不同投資者可能得到差異性較大的結(jié)果。此外，以上方式只通過對歷史數(shù)據(jù)的簡單分析來確定模糊收益率的參數(shù)，并沒有考慮專家的觀點(diǎn)。

眾所周知，在傳統(tǒng)的隨機(jī)投資組合問題中可以通過分散化投資來降低投資風(fēng)險(xiǎn)，因而在追求風(fēng)險(xiǎn)最小化時(shí)往往會構(gòu)建一個(gè)分散化的投資組合。然而，在模糊投資組合問題中，傳統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)測度往往在所有資金集中于風(fēng)險(xiǎn)最低的資產(chǎn)上時(shí)取得最小，因而傳統(tǒng)的投資組合模型往往獲得一個(gè)集中投資于少數(shù)資產(chǎn)的投資組合，這與實(shí)際的投資組合管理經(jīng)驗(yàn)是相悖的[17]。針對傳統(tǒng)模糊投資組合模型過度集中投資的缺陷，主要改進(jìn)措施有2種：(1) 引入投資比例上下界約束[8,18]。該方法處理簡單，然而分散化的效果并不理想。(2) 引入比例熵的概念作為資產(chǎn)組合的分散化測度[19-21]。資產(chǎn)組合的比例熵在均勻投資時(shí)取得最大值，因而未能體現(xiàn)各個(gè)資產(chǎn)之間的差異性。

本文研究模糊環(huán)境下考慮交易費(fèi)用和基數(shù)約束的投資組合調(diào)整問題。首先，將資產(chǎn)的收益率視為梯形模糊數(shù)，并基于資產(chǎn)的歷史收益率和專家觀點(diǎn)提出一個(gè)模糊收益率擬合模型來確定資產(chǎn)模糊收益率的參數(shù)。其次，通過提出一個(gè)資產(chǎn)組合的分散化測度，以資產(chǎn)組合收益率的可能性均值作為其收益測度，資產(chǎn)組合收益率的下半方差作為其風(fēng)險(xiǎn)測度，構(gòu)建模糊均值-下半方差-分散化的多準(zhǔn)則投資組合調(diào)整模型。然后，設(shè)計(jì)一個(gè)改進(jìn)遺傳算法求解所提出的模糊收益率擬合模型及投資組合調(diào)整模型。最后，通過真實(shí)股票數(shù)據(jù)對所提出的策略進(jìn)行實(shí)例分析，說明策略的有效性。

1 預(yù)備知識

為了便于敘述，首先介紹本文所涉及的模糊數(shù)學(xué)的相關(guān)知識。

定義1[6]若模糊數(shù)A的隸屬度函數(shù)具有式(1)的形式

其中α,β ＞0 ，L,R:[0,1]→[0,1]為單調(diào)不增的連續(xù)函數(shù)且滿足L(0)=R(0)=1 和L(1)=R(1)=0，則稱模糊數(shù)A 為L R型模糊數(shù)。

引理1[22]設(shè)A1=(a1,b1,α1,β1)和 A2=(a2,b2,α2,β2)為梯形模糊數(shù)。對于任意實(shí)數(shù)λ ∈R，有

定義2[23]模糊數(shù)A的 可能性均值定義為其γ -截集中點(diǎn)的加權(quán)平均數(shù)，即

定義3[24]模糊數(shù)A的可能性上半方差定義為其γ-截集的右端點(diǎn)與其可能性均值之間距離的平方的加權(quán)平均數(shù)，即

定義4[24]模糊數(shù)A的可能性下半方差定義為其γ-截集的左端點(diǎn)與其可能性均值之間距離的平方的加權(quán)平均數(shù)，即

定義5[24]模糊數(shù)A的可能性方差定義為其可能性上半方差和下半方差的平均數(shù)，即

特別地，梯形模糊數(shù)A=(a,b,α,β)的可能性均值、下半方差和方差分別為

2 模糊收益率擬合模型

在進(jìn)行投資決策時(shí)，首先需要估計(jì)各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的模糊收益率。考慮到線性隸屬度函數(shù)便于處理，本文使用梯形模糊數(shù)來擬合資產(chǎn)的未來收益率。首先，通過模糊頻率量化資產(chǎn)收益率基于歷史數(shù)據(jù)的可能性。其次，考慮到專家觀點(diǎn)對于預(yù)測資產(chǎn)未來收益具有比較大的價(jià)值，綜合分析和討論專家在對所投資資產(chǎn)未來表現(xiàn)的觀點(diǎn)，將資產(chǎn)的未來收益率量化為一個(gè)三角模糊數(shù)。最后，通過整合歷史數(shù)據(jù)信息和專家觀點(diǎn)，建立一個(gè)模糊收益率擬合模型，將資產(chǎn)的收益率估計(jì)為一個(gè)梯形模糊數(shù)。

x在數(shù)據(jù)集 rh中出現(xiàn)的模糊頻數(shù)。

模糊頻數(shù)f(x)表示資產(chǎn)的歷史收益率取值在x 附近的次數(shù)，如圖1所示。例如，圖中 x0點(diǎn)的模糊頻數(shù)為2.2。

圖1 模糊頻數(shù)的計(jì)算方法Fig.1 Calculation method of fuzzy frequency

表3 所選股票模糊收益率的擬合結(jié)果Table 3 The fitting result for fuzzy return rates of the selected securities

表4 模型P 4 ～P 6的最優(yōu)投資組合Table 4 Optimal portfolios for model P4 ～P6

下面，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和專家觀點(diǎn)估計(jì)一個(gè)資產(chǎn)的模糊收益率，假設(shè)其為梯形模糊數(shù)r=(a,b,α,β)，隸著，通過測試集的數(shù)據(jù)比較各個(gè)投資組合策略在未來半年的實(shí)際表現(xiàn)。以每個(gè)月最后一個(gè)交易日為節(jié)點(diǎn)，記錄表5中5個(gè)策略在測試集中的財(cái)富累積情況，結(jié) 果如表6所示。

表5 5個(gè)模型的最優(yōu)投資組合Table 5 Optimal portfolios for the five models

表6 5個(gè)模型所構(gòu)建策略的累積財(cái)富Table 6 Cumulative wealth for the investment strategies obtained by the five models

由表5可知，本文所提出的FMSVD模型與傳統(tǒng)的Markowitz的MV模型可以構(gòu)建一個(gè)較為分散化的投資策略，而傳統(tǒng)模糊投資組合模型FMSV和FMSAD所構(gòu)建的投資策略集中投資于少數(shù)幾只股票上。可以看到，本文提出的策略可以構(gòu)建結(jié)構(gòu)合理的投資組合。從表6可以看出，與其他模型相比，本文提出的FMSVD模型在測試集中的財(cái)富累積狀況一直維持在較高的水平。因此，本文所提出的策略在實(shí)際應(yīng)用中具有較好的表現(xiàn)。

6 結(jié)論

本文研究了模糊環(huán)境下考慮交易費(fèi)用和基數(shù)約束的投資組合調(diào)整問題。首先，基于歷史數(shù)據(jù)和專家觀點(diǎn)，通過建立一個(gè)模糊收益率擬合模型，確定了各個(gè)資產(chǎn)收益率的模糊分布。其次，考慮到傳統(tǒng)模糊投資組合模型所構(gòu)建的投資策略往往集中投資于少數(shù)資產(chǎn)，提出了一個(gè)模糊均值-下半方差-分散化投資組合調(diào)整模型。然后，根據(jù)投資者對各個(gè)目標(biāo)的偏好將所提出的多目標(biāo)規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃模型，并設(shè)計(jì)了一個(gè)改進(jìn)的遺傳算法求解所建立的模型。最后，通過實(shí)例分析說明了所提出的策略可以實(shí)現(xiàn)較高的收益，較好地滿足投資者的分散化要求，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。在實(shí)際投資過程中，影響投資決策的因素和約束很多，本文僅考慮了交易費(fèi)用與基數(shù)約束。因此，考慮更全面的市場因素和現(xiàn)實(shí)約束的模糊投資組合調(diào)整問題有待進(jìn)一步探討。