妙用托勒密定理,巧破截長補(bǔ)短法

文/深圳市龍崗區(qū)平湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校 易澤健

在近幾年的中考幾何計(jì)算或證明中經(jīng)常遇到線段間的數(shù)量關(guān)系問題：①a±b=c；②a+b=kc；③a+b=c+d(a,b,c表示線段，k表示常數(shù))，一般的解題思路是截長補(bǔ)短法，本質(zhì)是利用運(yùn)用全等實(shí)現(xiàn)線段之間的等量代換，進(jìn)而解決和差問題。無論是截長法還是補(bǔ)短法，都至少需要增加一條輔助線。輔助線的添加本身就是初中階段圖形證明題的一個(gè)難點(diǎn)，當(dāng)學(xué)生多次嘗試作輔助線都無法把思路打開時(shí)，可以嘗試啟用托勒密定理，化解“截長補(bǔ)短法”的思維障礙，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來的成就感。

1.托勒密定理

托勒密定理指出，圓內(nèi)接凸四邊形的兩對相對邊的乘積之和等于兩條對角線的乘積.也就是說，如果圓是四邊形ABCD的外接圓，則AC·BD=AB·CD+AD·BC。托勒密定理本質(zhì)上是利用圓的性質(zhì)，得出其中六條線段之間的數(shù)量關(guān)系。

圖1

圖2

例題.(2019深圳龍崗區(qū)二模)如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，D是⊙O外一點(diǎn)且滿足∠DCA=∠B，連接AD.(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若AD⊥CD，CD=2，AD=4，求直徑AB的長；(3)如圖2，如果∠DAB=45°，且線段AD與⊙O交于E點(diǎn)，問：線段AC、EC、BC之間存在什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

解：(1)(2)略

1.截長補(bǔ)短法分析與解題

∵AB是直徑，∠DAB=45°，∴∠AEB=90°，∴△AEB是等腰直角三角形，∴AE=BE。

2.托勒密定理巧破截長補(bǔ)短法

圖3

通過以上示例，與傳統(tǒng)的截長補(bǔ)短法相比，您可以發(fā)現(xiàn)使用托勒密定理處理圓內(nèi)接四邊形的線段之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，托勒密定理更勝一籌.因?yàn)闊o論是截長還是補(bǔ)短，都需要添加至少一條輔助線；而輔助線的問題本身就是初中階段幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，成為學(xué)生解決此類問題的攔路虎.當(dāng)幾次嘗試作輔助線都不能把思路打開時(shí)，可以使用托勒密定理，化解“截長補(bǔ)短”的輔助線障礙，帶領(lǐng)我們越過“山重水復(fù)”而跨入“柳暗花明”的境地，到達(dá)事半功倍的效果.