帶有擾動輸入和時變時滯的線性中立型系統(tǒng)的可達集的界

陳 昊，梅學(xué)婷，康 衛(wèi)

（1.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000；2.阜陽師范大學(xué) 信息工程學(xué)院，安徽 阜陽 236041）

0 引言

時間延遲（時滯）存在于各種實際系統(tǒng)中，如生物網(wǎng)絡(luò)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、物理過程、化學(xué)過程、種群模型等. 時滯可能會導(dǎo)致系統(tǒng)振蕩或不穩(wěn)定［1-3］. 自首次將時滯引入動態(tài)系統(tǒng)以來，關(guān)于時滯動力系統(tǒng)的研究一直受到人們的極大關(guān)注［4-5］. 另一方面，在自然現(xiàn)象和工程系統(tǒng)中，擾動在很大程度上也是不可避免的［6-8］. 因此，對于具有時滯和擾動的動力系統(tǒng)的研究是一個有著重要意義的課題.

線性中立型系統(tǒng)可以看作是時滯動態(tài)系統(tǒng)的一個特例，它可以在許多實際系統(tǒng)中遇到，如電路系統(tǒng)、人口動態(tài)模型、網(wǎng)絡(luò)控制問題等［9-10］. 由于系統(tǒng)涉及到時滯狀態(tài)的導(dǎo)數(shù)，所以研究線性中立型網(wǎng)絡(luò)是一個比較復(fù)雜的問題［11-12］. 據(jù)我們所知，目前對于具有離散時滯和擾動的線性中立型系統(tǒng)的可達集進行研究的文獻非常少，因此對其進行進一步的深入研究是非常必要的.

1 預(yù)備工作

考慮如下具有輸入擾動的線性時滯中立型系統(tǒng)：

其中：z(t)∈Rn是狀態(tài)向量，ω(t)∈Rm是擾動.τ(t) 是離散時滯，σ>0 是中立型時滯（常數(shù)）.A∈ Rn×n,B∈ Rn×n,C∈ Rn×n,D∈ Rn×m，A,B,C,D是常數(shù)矩陣 .

時滯τ(t)滿足條件：其中τm,τM,μ是常數(shù)，d=max{τM,σ}.

擾動ω(t)滿足條件：ωT(t)ω(t)≤ω2m,其中ωm是常數(shù).

引理1

引理2［2］對任意常數(shù)矩陣P=PT>0 及常數(shù)h2>h1>0，下式成立：

引理3［1］對任意常數(shù)矩陣R>0 及常數(shù)h2>h1>0，下式成立：

引理4［3］設(shè)f1,f2,…,fN:Rm?R ，且在 Rm的開子集D上都是正值函數(shù). 如果D上關(guān)于fi的倒凸集合滿足條件：

引理5［13］對任意向量x1,x2，常數(shù)矩陣Ti(i=1,2,3,4),S及常數(shù)α>0,β>0，α+β=1，如果滿足條件：

則下式成立：

引理6［14］設(shè)V是根據(jù)系統(tǒng)（1）所構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)，如果則V≤ 1.

2 主要結(jié)論

定理1若存在維數(shù)適當?shù)木仃嘝>0,Q1>0,Q2>0,R1>0,R2>0，K1>0,K2>0,K3>0,K4>0,S,N，單位矩陣I及常數(shù)α>0,使得如下不等式成立：

證明構(gòu)造李雅普諾夫泛函其中

沿著系統(tǒng)（1）對V(zt)關(guān)于時間t求導(dǎo)，可得：

根據(jù)引理2，

根據(jù)引理3，

由引理5可得：

顯然，下式成立：

結(jié)合以上各式有：

由于式（2）（3）成立，所以下式成立：

根據(jù)引理6，可得V(zt)≤1.

由對稱正定矩陣譜的性質(zhì)有：λmin(P)‖z(t)‖2≤V(zt),進一步可得

若在系統(tǒng)（1）中，C=0,0 ≤τ(t)≤τ,τ(t)≤μ，則有如下推論成立.

推論1若存在維數(shù)適當?shù)木仃嘝>0,Q>0,R>0,K1>0,K2>0,M>0,S,N，單位矩陣I及常數(shù)α>0,使得如下不等式成立：

考慮具有不確定性的線性中立型系統(tǒng)：

若在系統(tǒng)（1）中，0 ≤τ(t)≤τ,τ?(t)≤μ，則有如下結(jié)論成立.

定理2若存在維數(shù)適當?shù)木仃嘝i>0(i=1,2,…,N),Q>0,R>0,K1>0,K2>0,M1>0,M2>0,S,N，單位矩陣I及常數(shù)α>0,使得如下不等式成立：

注1求解系統(tǒng)（1）的可達集可以歸結(jié)為下述最優(yōu)化問題的求解（δ>0）：

3 數(shù)值算例

例1考慮如下的系統(tǒng)：

且ωT(t)ω(t)≤1.

應(yīng)用推論1，當μ=0 時，可得可達集的半徑r的值如表1所示.

表1 τ 取不同值時半徑r 的值

例2考慮如下的中立型系統(tǒng)：

且 |ρ|≤0.2,ωT(t)ω(t)≤1.

應(yīng)用定理2，可得不同情況下δ的值如表2和表3所示.

表2 δ 的值（τm=0,τM=0.7）

表3 δ 的值（τm=0,τM=0.75）

4 結(jié)語

本文研究線性中立型系統(tǒng)的可達集邊界問題. 運用時滯分割技巧、倒凸理論、自由權(quán)矩陣及線性矩陣不等式方法，得到線性中立型系統(tǒng)可達集邊界計算的一種方法. 從表1、表2及表3可看出，該方法較文獻［13，15-18］中的計算方法所得結(jié)果更好. 可以將本文的方法推廣到非線性中立型系統(tǒng)可達集邊界的研究，有望得到更緊致的可達集新的判定條件.