橢球粒子聲輻射力計算及分析

王明升 歐陽杰 劉 浩 崔自憲

(1 杭州應用聲學研究所 杭州 310012)

(2 中國船舶工業(yè)系統(tǒng)工程研究院 北京 100094)

0 引言

當聲波在傳播過程中入射到目標物上，目標物會產(chǎn)生反射、折射、透射等各種物理現(xiàn)象，這代表著聲波與目標物進行能量和動量的交換，因此在實際表現(xiàn)中，粒子將表現(xiàn)為受到力的作用以至于粒子的運動狀態(tài)將發(fā)生變化。一般情況下，粒子受到的力正比于聲壓的平方。在線性聲學范圍內(nèi)，當一列聲波入射到材料表面，表面受到的平均(時間平均)壓力為零(由于正負抵消)，而如果考慮聲的非線性，材料表面受到一個不為零的平均壓力(非線性聲壓的“直流”部分)，成為聲輻射壓力[1]。因此通過研究目標粒子的聲輻射力(Acoustic radiation force,ARF)特征，可以實現(xiàn)對粒子的運動狀態(tài)控制，這在目前的生物工程領(lǐng)域和醫(yī)學領(lǐng)域具有極高的應用價值和廣闊的發(fā)展前景。

聲輻射力的概念最早起源于光學，并且光波粒子操控在當今社會的粒子操控和捕獲方面已經(jīng)得到了廣泛的應用。Ashkin[2]首先提出了光鑷子的概念，通過利用激光的輻射壓力，可以對微小的原子和分子進行捕捉和操控。由于聲波和光波的物理特性十分接近，國內(nèi)外學者將粒子操控研究從光波逐漸轉(zhuǎn)為聲波。聲輻射力的理論研究于20世紀30年代就已經(jīng)開展，King[3]首先提出了聲輻射力的概念，并且完備、系統(tǒng)地介紹了聲輻射力的推導過程和計算公式，這為未來其他學者對聲輻射力的特性進一步討論研究奠定了堅實的理論基礎(chǔ)。稍后，Hasegawa 等[4]推導并計算出水下彈性球的聲輻射力的特征曲線，以及黏彈性球的聲輻射力的物理特征[5]。起初，Marston[6]將Bessel波束引入到聲學領(lǐng)域，發(fā)現(xiàn)了Bessel波束作用于水下目標物的獨特特性，因此也逐漸研究Bessel波束對粒子的軸向聲輻射力的作用。液體球在較大波錐角的零階Bessel波束作用下容易產(chǎn)生負方向的聲輻射力，Marston將此歸因于粒子的背向散射受到極大的抑制。對于負聲輻射力的產(chǎn)生，Zhang 等[7]從數(shù)值角度進一步分析負聲輻射力的產(chǎn)生機理，當ω>cosβ時將會有負聲輻射力產(chǎn)生?；葶懶牡萚8]采用分波序列(Partial wave series,PWS)的方法推導了多個稀疏分布的粒子聲輻射力，認為只需要分別計算各個雙粒子系統(tǒng)的聲輻射力就可以通過疊加得到聲場中任意粒子的聲輻射力。但是，目前對聲輻射力的研究主要集中于球形粒子，對橢球粒子聲輻射力研究缺少，尤其是液體橢球粒子聲輻射力的研究。

本文根據(jù)聲散射理論，采用分波序列方法進一步推導了橢球粒子在任意波束照射下聲輻射力函數(shù)的解析表達式，拓展了分波序列方法的應用范圍，研究了不同介質(zhì)的橢球粒子在不同入射波束作用下聲輻射力的分布特點，為利用粒子的外形和介質(zhì)進行聲學操控提供了理論依據(jù)。

1 理論推導

如圖1所示，零階Bessel波束在理想流體介質(zhì)中照射橢球粒子。在理想流體介質(zhì)中的入射聲場可表示為

當波束照射到水下目標物后，流體介質(zhì)中將被激發(fā)出散射聲場，散射聲壓可表示為

由于本文討論的是橢球粒子在Bessel波束照射下，其聲輻射力的特征，在理想流體介質(zhì)中，Bessel波束的入射分波系數(shù)可表示為[9]

其中，β表示入射Bessel波束的波錐角，Jn′(·)表示n′階柱Bessel函數(shù)，kr=k0sinβ和kz=k0cosβ分別表示徑向和軸向方向的入射波波數(shù)，入射Bessel波束的坐標位置為(x0,y0,z0)，σ0=krR0，本文中將主要討論橢球粒子在Bessel波束軸向入射情況下聲輻射力特征，因此Bessel波束位置為(0,0,0)。

本文將討論剛性橢球粒子和液體橢球粒子的聲輻射力特征，由于液體橢球粒子與周圍流體介質(zhì)阻抗差異很大，液體橢球粒子即可認為是剛性橢球粒子。基于液體橢球粒子能包括剛性橢球粒子的原因，所以下面將介紹液體橢球粒子的推導過程。

對于液體橢球粒子內(nèi)，其入射聲場表達式為

其中，B0n表示橢球液體介質(zhì)內(nèi)入射波的無量綱分波系數(shù)，k1表示橢球液體介質(zhì)內(nèi)入射波波數(shù)。

圖1已經(jīng)給出了橢球粒子的物理模型，其外形的表達式為

其中，a為橢球體的極半徑，b為橢球體的赤道半徑。從式(5)中可發(fā)現(xiàn)，該橢球體的外形表達式S(θ)只與散射角θ有關(guān)。當a >b時，該橢球是細長橢球；當a

對于液體橢球粒子和周圍理想流體介質(zhì)，其表面的邊界條件是聲速連續(xù)邊界條件和聲壓連續(xù)邊界條件，即

圖1 零階Bessel波束入射橢球粒子Fig.1 The spheroid illuminated by the zeroth order Bessel beam

將式(1)、式(2)和式(4)代入式(6)和式(7)，可得到聲場的表達式為

其中，Γnm(θ,?)、Λnm(θ,?)、Xnm(θ,?)、Enm(θ,?)、Φnm(θ,?)和Hnm(θ,?)的關(guān)系分別為

將式(12)代入式(8)和式(9)，可得

其中，

根據(jù)以上推導的公式，可求得液體橢球粒子在Bessel波束照射下周圍流體介質(zhì)散射波的無量綱分波系數(shù)A0n。但是，與液體橢球粒子的邊界條件不同，剛性橢球粒子的邊界條件是Neumann 邊界條件[10]。

聲輻射力為一個周期內(nèi)粒子的平均輻射應力張量對粒子表面的積分，根據(jù)文獻[11]可知，橢球粒子的軸向聲輻射力函數(shù)為

其中：Sc代表橢球粒子截面部分的面積，對于標準球形粒子，Sc=πa2；對于細長橢球粒子和扁平橢球粒子，Sc=πb2。snm=anmA0n是散射波的散射系數(shù)，

Yz表示聲輻射力函數(shù)，即代表聲輻射力在單位聲能量密度和單位截面面積下的聲輻射力的幅值。由于本文中只討論Bessel波束軸向入射的情況，因此可知Yx=0和Yy=0。

2 理論檢驗及分析

上文中已經(jīng)推導了液體和剛性橢球粒子的聲輻射力公式，下面將檢驗以上推導的公式正確性。對于空氣中的水滴，由于其兩種介質(zhì)的阻抗差異很大，因此此時可認為水滴是剛性介質(zhì)。以空氣中的橢球水滴粒子為例，空氣的密度為ρ0=0.00129 kg/m3，聲速為c0=340 m/s，水的密度為ρ1=1000 kg/m3，聲速為c1=1480 m/s。另外，無論是剛性橢球粒子和液體橢球粒子，其遠場散射形態(tài)函數(shù)可表示為

其中，r0=max(a,b)。

為了驗證橢球粒子的聲輻射力函數(shù)的正確性，圖2給出了空氣中水滴橢球粒子在零階Bessel波束和一階Bessel波束入射下軸向聲輻射力函數(shù)，其結(jié)果與文獻[12]和文獻[13]的結(jié)果完全一致，說明了以上推導公式的正確性。對于粒子負聲輻射力的產(chǎn)生原因，可通過圖3對比可知。圖3給出了細長橢球粒子在一階Bessel波束(β=75?)入射下，入射頻率分別為kb=1.6和kb=2的散射形態(tài)函數(shù)，從圖中觀察可知當粒子的背向散射受到極大的抑制時，即粒子的前向散射軸向投影的分力大于粒子背向散射軸向投影的分力，根據(jù)牛頓第三定律，粒子將會產(chǎn)生背向的運動的合力，因此粒子將產(chǎn)生負聲輻射力的效果。

根據(jù)軸向聲輻射力Fz的推導公式[7]，

其中，〈cosθ〉表示對整個散射角度取平均。對于無能量吸收的粒子，當〈cosθ〉>cosβ時將會有負聲輻射力產(chǎn)生，并且〈cosθ〉與粒子的外形、介質(zhì)等存在很大的關(guān)系。因此在下文討論中，剛性橢球粒子和液體橢球粒子在零階Bessel波束和一階Bessel波束照射下，其負聲輻射產(chǎn)生的初始角度存在明顯的區(qū)別，這也說明了粒子操控技術(shù)的難易程度。

圖2 零階和一階Bessel波束軸向入射時剛性橢球軸向聲輻射力Fig.2 The axial acoustic radiation force of a rigid spheroid illuminated by the zeroth and first order Bessel beams

圖3 細長橢球在一階Bessel波束入射下的二維散射指向性圖Fig.3 The 2D polar plots for a prolate spheroid illuminated by the first order Bessel beam

3 計算結(jié)果

上文介紹了橢球粒子在Bessel波束軸向入射下，其軸向聲輻射力函數(shù)的計算公式。根據(jù)該計算公式，只需要計算出任意目標物在外界波束的照射下的聲散射系數(shù)，并且根據(jù)該入射波束的波型系數(shù)即可準確地計算出該目標物粒子的聲輻射力。圖4和圖5分別給出了剛性介質(zhì)和液體介質(zhì)的橢球粒子聲輻射力函數(shù)計算結(jié)果，給出了扁平橢球粒子(a/b=1/2)、標準球粒子(a/b=1)和細長橢球粒子(a/b=2)分別在零階Bessel波束和一階Bessel波束軸向入射的情況，其中計算的入射波頻率步長δkb=0.1，計算的入射波的波錐角步長是δβ=1?。為了更好地分辨負聲輻射力的分布區(qū)域，本文以Yz=?1×10?6為分界過渡線，如圖4和圖5黑線所示。

3.1 剛性橢球粒子的軸向聲輻射力

從圖4觀察可知，在零階Bessel波束和一階Bessel波束照射下，無論是扁平橢球粒子，或是細長橢球粒子，亦或是標準球粒子，該類粒子都將不會產(chǎn)生負聲輻射力的情況，并且隨著a/b的增加，軸向聲輻射力函數(shù)Yz的最大值將逐漸減少。這是因為，根據(jù)聲輻射力的計算公式可知，其聲輻射力函數(shù)與對應粒子的外界波束照射下的聲散射系數(shù)有很大的關(guān)系，剛性橢球粒子的散射形態(tài)函數(shù)與粒子的本身外形尺寸(粒子自身的曲率)存在緊密的關(guān)系，在粒子由扁平橢球粒子向細長橢球粒子的變化過程中，粒子的曲率不斷降低，因此對應的聲散射系數(shù)也將不斷減小，由此可間接推斷出粒子的聲輻射力函數(shù)也將不斷減小。

在一階Bessel波束的照射下，相對于零階Bessel波束照射的情況，橢球粒子將產(chǎn)生負聲輻射力，負聲輻射力與粒子的入射波有很大的關(guān)系，因為在前面已經(jīng)介紹，一階Bessel波束的中部聲壓為零，這更加有助于抑制目標物粒子的背向散射，有利于負聲輻射力的產(chǎn)生。

扁平橢球粒子產(chǎn)生負軸向聲輻射力的大致初始位置是kb=1.8,β=62?，標準球粒子的大致初始位置是kb=1.7,β=64?，細長橢球粒子的大致初始位置是kb=1.6,β=68?。除此之外，從圖4觀察可知，產(chǎn)生負軸向聲輻射力的面積：扁平橢球粒子>標準球粒子>細長橢球粒子，因此可知隨著a/b的增加，負軸向聲輻射力的面積將逐漸減少。因此可以得到，無論是從產(chǎn)生入射波波錐角的最小值的角度，還是產(chǎn)生負聲輻射力的面積對應的頻率范圍和波錐角的范圍的角度，剛性扁平橢球粒子更加有助于產(chǎn)生反向聲輻射力。

3.2 液體橢球粒子的軸向聲輻射力

圖5給出了正己烷橢球粒子分別在零階Bessel波束和一階Bessel波束軸向入射下的軸向聲輻射力函數(shù)，其中計算的入射波頻率步長δkb=0.1，計算的入射波的波錐角步長是δβ=1?。對于正己烷，其密度為ρ0=656 kg/m3，聲速為c0=1065 m/s。

圖4 剛性橢球粒子的軸向聲輻射力Fig.4 The axial acoustic radiation force of a rigid spheroid

從圖5觀察可知，在零階Bessel波束和一階Bessel波束的照射下，隨著a/b的增加，軸向聲輻射力函數(shù)Yz的最大值將逐漸增加。這一現(xiàn)象明顯不同于剛性橢球粒子，這是因為剛性橢球粒子在外界聲波的照射下，只存在鏡反射波和Franz波，這兩種波只與粒子本身外形尺寸有關(guān)。然而，液體橢球粒子相對于剛性粒子還存在反射和折射現(xiàn)象，因此其聲輻射力的幅值也將不止受到粒子本身尺寸的影響。

在零階Bessel波束的照射下，扁平橢球粒子在計算頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生負向聲輻射力的初始位置大概是在kb=5,β=75?處，標準球粒子的初始位置大概是在kb=3.2,β=41?處，細長橢球粒子的初始位置大概是kb=2.8,β=31?。另外，明顯觀察可知，產(chǎn)生負軸向聲輻射力的區(qū)域面積：扁平橢球粒子<標準球粒子<細長橢球粒子。因此可以判斷，在零階Bessel波束照射下，細長橢球粒子相對于扁平橢球粒子和標準球粒子更有助于負向聲輻射力的產(chǎn)生，并且有利于產(chǎn)生較大的負向聲輻射力。

在一階Bessel波束軸向入射下，扁平橢球粒子在計算頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生負向聲輻射力的初始位置大概是在kb=1.1,β=64?處，標準球粒子的初始位置大概是在kb=4.1,β=51?處，細長橢球粒子的初始位置大概是kb=4,β=36?。另外，明顯觀察可知，產(chǎn)生負軸向聲輻射力的面積：扁平橢球粒子<標準球粒子<細長橢球粒子。因此可以得到，細長橢球粒子能夠在較小的波錐角作用下產(chǎn)生負向聲輻射力，并且產(chǎn)生負向聲輻射力的區(qū)域面積比較大。

同時，相對于同一尺寸的正己烷液體橢球粒子，零階Bessel波束相比于一階Bessel波束能夠在較小的波錐角產(chǎn)生負向聲輻射力，并且零階Bessel波束產(chǎn)生負向聲輻射力的區(qū)域面積較大。另外，零階Bessel波束下產(chǎn)生負向聲輻射力的幅值更大。因此，對于正己烷液體橢球粒子，零階Bessel波束應當優(yōu)先應用在聲波操控技術(shù)中。

圖5 液體橢球粒子的軸向聲輻射力Fig.5 The axial acoustic radiation force of a liquid spheroid

4 結(jié)論

光波粒子操控技術(shù)的實現(xiàn)和廣泛應用，已經(jīng)充分證明了粒子操控技術(shù)的前景和未來，但是由于高強度光波的損傷和光鑷子儀器價格昂貴的特點大大限制了粒子操控技術(shù)的推廣。與之相對應的聲波粒子操控技術(shù)能夠大大彌補光波粒子操控技術(shù)的缺點，也必將會擁有更加廣泛的應用前景。本文以剛性橢球粒子和液體橢球粒子為對象，研究了橢球粒子在不同的Bessel波束照射下聲輻射力的特征。結(jié)果表明，對于剛性橢球粒子，扁平橢球粒子相對于細長橢球粒子更有助于激發(fā)負聲輻射力；對于液體橢球粒子，細長橢球粒子相對于扁平橢球粒子更加容易產(chǎn)生負聲輻射力；對于不同介質(zhì)的橢球粒子，不同的入射波束激發(fā)的負聲輻射力的效果也存在明顯的差異。根據(jù)實際應用需要可采用不同介質(zhì)的粒子和不同種類的Bessel波束。同時需要注意，液體橢球粒子并不一定能完美的保持固定的尺寸，因此可將液體橢球粒子的外表面添加一層極薄的外殼[14]，同樣也可以達到預想的效果。