一個夏令營問題的別證與推廣

宋志敏 尹 櫪

山東省濱州學(xué)院理學(xué)院 (256603)山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué) (256600)

在文[1]中，陳世明老師以敏銳的觀察力歸納得到了sinnθ的一個優(yōu)美的恒等式：

隨后利用歐拉公式嚴(yán)格證明了上述等式.此公式簡潔、優(yōu)美，可以作為正弦函數(shù)n倍角公式的一個有益的補(bǔ)充.關(guān)于三角函數(shù)倍角公式的應(yīng)用讀者也可以參看文[2].本文中，作者利用這個公式給出了中國科技大學(xué)2013年夏令營第7題的一個新證明，并且給出了gamma函數(shù)組合的一個新的恒等式.

注：命題1是中國科技大學(xué)2013年夏令營數(shù)學(xué)試題的第7題.原證明利用了復(fù)數(shù)以及n次方根的知識，證明復(fù)雜而且難懂，本證明更簡潔明了.

證明：利用余元公式得：

對這n-1個等式做乘積，則有

注：利用sinnθ的統(tǒng)一公式，我們給出了gamma函數(shù)的一個新的優(yōu)美等式.利用命題2，我們也容易得到下面的推論：對于n∈N*，有