極坐標與參數方程問題中直線方程的作用分析

李剛

摘要：極坐標與參數方程是高考選考內容，注重考查學生對本領域知識的理解和應用。本文以2020年高考極坐標與參數方程命題為出發(fā)點，結合以往的典型例題，以直線方程的三種形式為指導，以數形結合為核心，完成知識的應用與遷移，提升學生數學核心素養(yǎng)。

關鍵詞：極坐標與參數方程 直線方程 一題多解

一、極坐標與參數方程的背景分析

在新課程標準改革的推動下，極坐標與參數方程被納入新課程選修模塊中，在高考中以選做題形式考查，總分10分，總體難度不是很大，但是學生的總體得分率不高。在某些統(tǒng)計中發(fā)現，大約有三分之二的學生會選擇“極坐標與參數方程”，但是這其中有50%的得分不足4分，70%的得分不足7分，滿分率不足7.5%，甚至超過15%的考生不得分。為什么會出現這種情況？以下幾方面原因可供我們思考：1.學生對極坐標和參數方程的理解不夠，很多學生只局限在轉化為直角坐標普通方程，思想方法沒有提升;2.直角坐標普通方程的轉化實質牽涉到知識的遷移和知識點的轉化，是多知識的交匯，思維品質和運算能力比很多同學理解的要求要高;3.高考的命題很多考查是對極坐標與參數方程本身領域知識的理解和應用，考查考生對新方法、新知識的思維能力和學習品質，體現數學學科的核心素養(yǎng)，所以單純使用直角坐標普通方程解題，高考題會感覺越來越難、計算量愈來愈復雜，有的時候甚至出現算不下去的情況。

在2020年高考中，全國卷三套試卷的落腳點都放在極坐標與參數方程和直角坐標的互化中，直線方程的三種形式在題目中依然明顯體現。卷Ⅰ是直線極坐標方程化為直角方程的普通方程，卷Ⅱ是直線的參數方程化為普通方程，卷Ⅲ是普通方程化為極坐標方程。那么，直線方程的三種形式在解題中的作用是什么？對解題方法的分析有什么樣的指導作用？在解題中如何選擇？這些問題在歷年的高考題型和模擬題型中都有充分的體現。仔細分析，我們會發(fā)現，直線方程既是命題的基礎，更是我們解題的指南針。教學中，我們在進行這類題型的分析過程中，抓住直線的特征和三種形式去指導學生審題，往往可以很容易突破和貫穿極坐標與參數方程的解題過程。

二、直線方程三種形式以及在解題中的作用分析

直線的極坐標方程，體現的是長度ρ和角度θ的關系，本身就是兩個幾何量的關系。這里面通常有兩種情況：1.直線經過極點。這時候ρ和θ幾何意義明確，在處理綜合題型時，提示選擇直線極坐標知識，利用數形結合直接處理;2.直線不經過極點。這時候直線的極坐標方程幾何意義對高中學生來說不明顯，處理時更多考慮與直角坐標方程的互化。

直線的直角坐標方程常見的兩種形式是普通方程和參數方程。

直線普通方程是解析幾何基礎知識，學生理解掌握相對較好，利用公式計算或是數形結合處理。在題型考查中，體現在圓或圓錐曲線以參數方程形式出現，求其上點的參數形式到直線普通方程的距離公式求解一些范圍和最值問題。

直線的參數方程，特別是對于t幾何意義的理解比較靈活。直線的參數方程標準形式為x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t為參數），過定點M0（x0，y0）、傾斜角α體現著數形結合。其中t表示直線l上以定點M0為起點，任一點M（x，y）為終點的有向線段M0M的數量。

三、數形結合，利用直線方程形式來解決典型例題中的審題和解題

合肥市2020年高三第三次教學質量檢測中，坐標系與參數方程的選做題如下：在平面直角坐標系中，直線m的參數方程為x=tcosαy=tsinα（t為參數，0≤α<π）。以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系。曲線E的極坐標方程為ρ2+2ρcosθ-3=0，直線m與曲線E交于A、C兩點。

（1）求曲線E的直角坐標方程和直線m的極坐標方程;

（2）過原點且與直線m垂直的直線n交曲線E于兩點B，D，求四邊形ABCD面積的最大值。

在審題和解題中，方法選擇的多樣性和不確定性讓不少學生難于取舍，或是猶豫不決。如何快速找到解題的突破口，找到這類題型的常用分析方法？直線方程的指導作用非常明顯。

策略1 審題中發(fā)現，直線m過極點，根據前面的分析，選擇直線的極坐標方程，極坐標方程中的ρ和θ幾何意義明確，|AC|=|ρA-ρC|，同理處理|BD|。

由第（1）問可得直線m的極坐標方程，帶入代入E的極坐標方程，并結合韋達定理可得|AC|=|ρ1-ρ2|=（ρ1+ρ2）2-4ρ1ρ2=2cos2α-3，用同樣方法求得|BD|=2sin2α-3，再利用SABCD=12|AC||BD|并極值判斷，便可得到SABCD的最大值為7。

策略2 根據題意，面積計算只牽涉到AC和BD的長度，我們選擇直線的參數方程。根據直線參數方程和數形結合，定點選擇為坐標原點。如圖，根據直線參數方程的幾何意義，A對應參數為t1，B對應參數為t2，則|OA|=t1，|OC|=-t2|AC|=|t1-t2|，只需將將直線的參數方程帶入E的直角坐標方程，化簡并結合韋達定理便可得到AC和BD的長度。

策略3 由于本題考查的是直線和圓，所以也可利用數形結合的方式，利用垂徑定理結合圖形求解。

從命題意圖看，本題考察的是極坐標與參數方程的綜合應用，對極坐標與參數方程本身的知識理解是解題的關鍵，直線方程的三種形式是很明顯的突破口。教師要強調數形結合的重要作用，采用一題多解的方式培養(yǎng)和鍛煉學生的數學核心素養(yǎng)。

四、綜合考慮已知條件，不同角度的審題策略對直線方程形式選擇的影響

（一）牽涉到二次曲線上點到直線距離問題，優(yōu)先考慮直線的一般方程

例1在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的方程為ρ=4cosθ。設點A的極坐標為2，π3，點B在曲線C上，求△OAB面積的最大值。

分析：審題時，OA長度一定，考慮面積公式S=12|OA|·h，h為曲線C上點B到OA的距離，根據教材中典型例題的方法，優(yōu)先考慮到直線OA的一般方程y=3x，而且曲線C的參數方程為x=2+2cosθy=2sinθ（θ為參數），把B用參數表示，根據點到直線距離公式表示出h，代入面積公式后，便可判斷出最大值。

當然，數形結合的思想方法同樣適用。根據已知條件，s=12|OA||OB|sin∠AOB，|OA|=2，設點B的極坐標為（ρB，θ）（ρB>0）.由題設知|OA|=2，ρB=4cosθ，于是△OAB面積S=12|OA|·ρB·sin∠AOB=4cosθ·sinθ-π3=2sin2a-π3-32≤2+3。當θ=-π12時，S取得最大值2+3。

（二）對于直線參數方程的非標準形式，引導學生抓住本質，從幾何與代數方面做好轉化

例2 在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為：x=-6-2ty=26+2t（t為參數）。以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的方程為ρ=46cosθ，

（1）求圓C的直角坐標方程;

（2）設圓C與直線l交于點A，B，求|AB|的大小。

分析：一般題目中直線的參數方程提供為標準形式，但是本題題干為直線的非標準參數方程，轉化為標準形式是我們首先的思路，是我們利用直線參數方程幾何意義解題的關鍵，如何轉化，我們可以從兩個方面來考慮，一是幾何意義，二是代數形式。

解：（1）由ρ=46cosθ，得圓C的直角坐標方程為（x-26）2+y2=24。

（2）方法一：題干所提供的是直線參數方程的非標準形式，根據直線的幾何意義，重新選擇定點，構造新的直線的標準參數方程，化非標準參數方程為標準參數方程，利用標準方程中t的幾何意義求解。

根據圖形，取定點為（6，0），直線傾斜角為3π4，

所以，直線的標準參數方程為x=6-22ty=22t（t為參數），

方法二：根據直線參數方程標準形式的代數結構，應用換元的方法處理非標準形式參數方程。

直線的參數方程為x=-6-2ty=26+2tx=-6-22（2t）y=26+22（2t）（t為參數），

令s=2t，則x=-6-22sy=26+22s（s為參數）

直線參數方程化為標準形式之后，代入圓的方程，整理后根據韋達定理即可求解。

當然，對于掌握程度比較好的同學，可以提示抓住直線方程的本質特征，直接使用直線的非標準形式來處理。直線l非標準參數方程x=x0+aty=y0+bt（t為參數），設兩點M1、M2為l上任意兩點，M1、M2對應t的值分別為t1、t2，由兩點間距離公式可得|M1M2|=a2+b2|t1-t2|。當a2+b2=1時，非標準形式即為標準形式。

四、小結

運用極坐標與參數方程可使代數與幾何完美相結合，使許多繁雜的運算變的巧妙簡潔。處理這類題型，直線方程的三種形式指標意義明顯，對我們審題和解題都有指導作用。2019年全國Ⅰ卷中第二問考查圓錐曲線參數到直線的距離，考慮選擇直線方程的一般形式;全國Ⅱ卷中第一問直線過極點，第二問也是過極點，考慮選擇極坐標方程或是互化，利用數形結合解決;2018年全國Ⅱ卷參數方程幾何意義，考慮選擇直線參數方程……通過對直線形式的選擇，并以此為出發(fā)點，可以讓學生可以迅速找到的解題方法。

數學核心素養(yǎng)要求我們要將學生的數學能力構建納入他們今后的學習和思維能力上來。高中數學學科核心素養(yǎng)是在學生數學學習過程中逐漸形成的，滿足學生終身學習和社會發(fā)展需求的綜合能力與品質，是高中數學學科課程目標的集中體現。直線方程三種形式在審題和解題中的不同體現，既是分析方法更是解題指導，貫穿了思考和解題的過程，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)造性思維和知識遷移能力，使得學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有依托、有根基，水到渠成。

參考文獻：

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