一類時間不一致問題均衡控制的存在性

張 婷， 彭云飛， 張大永

（貴州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，貴州貴陽550025）

1 問題及主要結(jié)果

首先建立數(shù)學模型.讓Rn表示n維實歐氏空間，U∈Rm是非空有界閉凸集.本文的控制集為U［t，T］＝｛u：［t，T］→U｜u 可測，t∈［0，T）｝，受控系統(tǒng)為常微分方程

目標泛函為

模型中的受控系統(tǒng)是基于確定型投資組合模型提煉所得，性能指標是雙曲貼現(xiàn)和期望方差組合的特例，更一般地是相應的隨機模型.本文的問題是極小化目標泛函，即問題（P）：尋求一個反饋控制ˉu，使得對任意的 ε ＞0，v∈U 和任意的（t，x）∈［0，T］×Rn有

其中

如果問題（P）有解ˉu，則稱ˉu為均衡控制.

上述問題與經(jīng)典最優(yōu)控制問題有著本質(zhì)區(qū)別，主要是最優(yōu)控制問題的目標泛函不依賴于初始狀態(tài)，只優(yōu)化一個目標泛函，最優(yōu)策略具有一致性（符合動態(tài)規(guī)劃原理），通常將具有此特征的問題稱為時間一致問題.經(jīng)典最優(yōu)控制問題之所以有一致性，是因為假設(shè)了決策者在做決策時不受決策者的心態(tài)以及外界環(huán)境變化等因素的影響.這一假設(shè)雖然對許多工業(yè)問題是合理的，但遇到金融等復雜領(lǐng)域時，此假設(shè)往往由于過于理想化而導致問題失真.為此，不得不考慮環(huán)境變化以及決策者的心態(tài)等因素對決策的影響，體現(xiàn)在數(shù)學模型上就是目標泛函始終依賴于初始狀態(tài).因此，需要優(yōu)化一族性能指標（無窮不可數(shù)多個），而非一個，這導致所謂最佳策略不具有一致性（不滿足動態(tài)規(guī)劃原理），這樣的問題常被稱為時間不一致問題.關(guān)于此問題的研究，至少可追溯到 1739年 Hume［1］和 1759年Smith［2］所做的工作.特別是 1955 年 Strotz［3］進行數(shù)學公式化后，引起許多學者興趣，相關(guān)工作可參考文獻［4-11］.特別地，Yong［9］在 2012 年將時間不一致問題視為時間一致問題的極限，從非合作博弈的角度出發(fā)，研究時間不一致問題，獲得開環(huán)形式的均衡控制.2017年Yong［7］進一步研究了時間不一致隨機LQ控制問題，深入研究了開環(huán)閉環(huán)均衡策略.

本文雖然也將時間不一致問題視為時間一致問題的極限，但構(gòu)造時間一致問題系列的方法完全不同于雍炯敏教授的構(gòu)造方法（分割時間區(qū)間）.其次，雍教授主要獲得了開環(huán)形式的均衡控制.雖然也考慮了閉環(huán)形式的解，但與本文閉環(huán)形式解的定義有本質(zhì)的不同（可參閱文獻［7］）.經(jīng)濟學家大多認為，只有閉環(huán)控制才能刻畫時間不一致問題的特征，即閉環(huán)控制能夠吸納環(huán)境以及決策者心態(tài)變化等因素對決策的影響，而開環(huán)控制不具備這個特征.本文的閉環(huán)形式的均衡控制是許多經(jīng)濟學家希望引入的.

在陳述主要結(jié)果之前，首先引進一些基本假設(shè).

［F］映射 f：［0，T）× Rn→Rn關(guān)于時間變量 t可測，且存在常數(shù)L＞0使得對任意的xi∈Rn（i＝1，2），t∈［0，T）有

［G］映射 g：［0，T）× Rn× ［0，T）×Rn→R 關(guān)于時間變量t可測，且存在常數(shù)L＞0使得對任意的（ti，xi，yi）∈［0，T）× Rn× Rn（i＝1，2），s∈［0，T）有

［H］對任意的開環(huán)控制u（·），都能找到一個閉環(huán)的二元可測函數(shù)u（·，·）使得

其中x（·）是受控系統(tǒng)對應的解.

雖然假設(shè)［H］中等式兩端的同一符號表示的內(nèi)涵不一致，但在本文不至于引起混淆的情況下，為了簡潔，用同一符號表示（其它地方同此）.此外，假設(shè)［F］和［G］是通常的假設(shè)，即使是時間一致問題解的存在性也是需要的.對于假設(shè)［H］，類似于Filippov選擇性定理，在適當?shù)臈l件下，此假設(shè)是可驗證的.在本文中，由于篇幅限制，在此不再證明.

在上述假設(shè)下，有如下的主要結(jié)論.

定理 A若假設(shè)［F］、［G］和［H］成立，則問題（P）至少有一反饋均衡控制.

2 定理A的證明

引理1若假設(shè)［F］成立，則下列結(jié)論成立：

和

證明根據(jù)假設(shè)［F］有

結(jié)合Gronwall不等式，可知（5）式成立.而且，

由此可斷言（6）式成立.

引進問題（P1）：尋找控制 u1∈U［0，T］使得

其中

對問題（P1），不難證明下面的存在性結(jié)論.

引理 2若假設(shè)［F］和［G］成立，則問題（P1）至少存在一個最優(yōu)閉環(huán)控制u1.

引進偏微分算子Av為

不難證明下面的偏微分方程

有唯一解

其中（s，y）∈［0，T）×Rn.令

問題（P2）：尋找控制函數(shù) u2∈U［0，T］使得

類似地，對問題（P2），也有如下存在性結(jié)論.

引理 3若假設(shè)［F］和［G］成立，則問題（P2）至少存在一個最優(yōu)閉環(huán)控制u2.

繼續(xù)上述過程，構(gòu)造控制函數(shù)列｛uk｝k≥1、.

根據(jù)關(guān)于控制策略集的假設(shè)，存在｛uk｝k≥1的子列（不妨設(shè)為其自身）在L2［0，T］中弱收斂到某個ˉ.結(jié)合假設(shè)［H］，存在閉環(huán)控制ˉu使得

根據(jù) Ascoli-Arzela定理和引理 1，不難證明在 C［0，T］中是緊的并且

進而可推斷函數(shù)列

其中

是Rn中的有界閉集，且

其中（t，x）∈［0，τ）×E.進而能夠證明

及

于是下列HJB方程

有粘性解 Vk.進而，結(jié)合（12）～（14）和（16）～（17）式，可推斷下列的HJB方程

有粘性解V并且適合

結(jié)合（23）式有

結(jié)合（22）式可得

對任意的（t，x，v）∈［0，T）× E × U，上述結(jié)論均成立，因此是問題（P）的一個均衡控制.這就完成了主要結(jié)果的證明.

3 結(jié)束語

時間不一致控制問題是數(shù)學與金融交叉的前沿課題，其研究一直方興未艾.但一直未取得理論上的突破，未能像最優(yōu)控制理論那樣有完善的求解方案.本文對一類常微分系統(tǒng)支配的時間不一致控制問題進行討論，提出了一個求解方案，特別是解的定義不僅符合數(shù)學要求，更是經(jīng)濟學家希望的.不僅如此，本文所給的方案，對建立時間不一致控制問題的一般理論也是有益的.

致謝貴州省科技計劃項目（黔科合平臺人才［2017］5788號）對本文給予了資助，謹致謝意.