由雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的線性自排斥擴(kuò)散的最小二乘估計(jì)

綦樂(lè)天， 葛 勇， 閆理坦

（東華大學(xué) 理學(xué)院，上海201620）

1992年，R.Durrett 等人在文獻(xiàn)[1]中對(duì)一類刻畫增長(zhǎng)聚合物形狀變化的模型進(jìn)行了研究。 在一些特定條件下，他們研究了隨機(jī)微分方程

其中W 是一個(gè)d-維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，f 是Lipschitz 連續(xù)的。 方程（1）的解Xt是文獻(xiàn)[3]中提出并研究的一個(gè)離散過(guò)程的連續(xù)版本。 1995年，M.Cranston 等人在文獻(xiàn)[2]中擴(kuò)展了該模型并建立了自吸引擴(kuò)散的概念，作為特殊情況，他們研究了線性自交互（即f 是線性的）與常自交互（即f（x）=σ·sign（x），σ＞0）兩種情形。

若對(duì)任意的x∈Rd，函數(shù)f 滿足x·f（x）≥0，稱方程（1）的解為自排斥的；若對(duì)任意的x∈Rd，函數(shù)f 滿足x·f（x）≤0，稱方程（1）的解為自吸引的。

值得注意的是這種模型可比擬為一個(gè)Ornstein-Uhlenbeck 過(guò)程，因此，研究這類方程的漸近行為與參數(shù)估計(jì)或許是很有意義的。 關(guān)于自排斥與自吸引擴(kuò)散的進(jìn)一步研究可參閱文獻(xiàn)[4-5]；關(guān)于一般自交互擴(kuò)散的研究可參閱文獻(xiàn)[6-7]。 最近，L.Yan 等人在文獻(xiàn)[8]中考慮了隨機(jī)微分方程

其中BH是一個(gè)Hurst 指數(shù)為1/2＜H＜1 的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，并作為特例研究了如下線性方程

其中θ＜0。 并在θ＜0，1/2≤H＜1 時(shí)給出了這個(gè)過(guò)程的顯式解，且證明了當(dāng)t 趨于無(wú)窮時(shí)，這個(gè)解是均方與幾乎必然收斂的。 高輝等人在文獻(xiàn)[9]中研究了線性分?jǐn)?shù)自吸引擴(kuò)散模型的離散刻畫，給出了一個(gè)逼近并建立了收斂性定理。

另一方面，Y.Hu 等人在文獻(xiàn)[10]中研究了由分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的Ornstein-Uhlenbeck 過(guò)程的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，構(gòu)造了最小二乘估計(jì)量并證明了估計(jì)量的幾乎必然收斂性，并且在Hurst 參數(shù)1/2≤H＜3/4 時(shí)給出了估計(jì)量的收斂速度。

受到上述相關(guān)研究的啟發(fā)，文中考慮由雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)BH，K驅(qū)動(dòng)如下線性方程的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題

文中內(nèi)容組織如下：第1 節(jié)中，簡(jiǎn)單介紹雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)以及Malliavin 導(dǎo)數(shù)等一些基本知識(shí)。 第2 節(jié)中，給出參數(shù)θ 的最小二乘估計(jì)量，及文中的主要定理，即的漸進(jìn)分布。 并為定理的證明建立一些引理。 第3節(jié)中，使用第2 節(jié)中建立的引理，給出漸進(jìn)分布的證明。

1 預(yù)備知識(shí)

眾所周知，參數(shù)為H，K 的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)BH，K={BtH，K， t≥0}是一個(gè)均值為零的，HK-自相似高斯過(guò)程，其協(xié)方差函數(shù)R（s，t）為

其中α=22-KH2K（K-1）；β=21-KHK（2HK-1），且可以證明φ（s，t）是非負(fù)的。

H 是一個(gè)Hilbert 空間并且當(dāng)1/2＜HK＜1 時(shí)，有

假設(shè)用ε 表示由示性函數(shù)1[0，t]，t≥0 所張成的線性空間。在t≥0 時(shí)考慮映射這個(gè)映射在ε 上是線性的，并且它是一個(gè)從ε 到B 生成的高斯空間的一個(gè)等距，這個(gè)等距可以被擴(kuò)張到H 上。稱這個(gè)等距映射為關(guān)于BH，K的Wiener 積分，記成

假設(shè)δ 表示如下光滑泛函的集合

對(duì)于如上的F，定義導(dǎo)數(shù)算子DH，K（Malliavin 導(dǎo)數(shù)）為

散度算子δH，K是DH，K的對(duì)偶，有D1，2?Dom（δH，K）并且對(duì)任意的u∈D1，2

假設(shè)1/2＜HK＜1，如果u 是一個(gè)H?lder 連續(xù)性指數(shù)為α 的過(guò)程，且滿足α+HK-ε＞1（這里的ε 是一個(gè)充分小的正數(shù)），則Young 積分是適定的。

進(jìn)一步地，如果u∈D1，2（|H|），有

筆者將在接下來(lái)的運(yùn)算中使用到兩種積分的轉(zhuǎn)換關(guān)系，若采用其他種類的積分，則分析過(guò)程則會(huì)不同。

2 主要結(jié)果及引理

假設(shè)C 是一個(gè)可能依賴于H，K，θ 的正常數(shù)，并且它的值在不同情況下可不同，這種假設(shè)同樣適用于c。

參照文獻(xiàn)[8]可以算出（3）式的解

文中主要結(jié)果即以下定理：

定理1假設(shè)1/2≤HK＜1 并且θ＞0。 當(dāng)T 趨向于無(wú)窮大時(shí)，如下收斂性依分布成立

其中N 為一個(gè)獨(dú)立于雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)BH，K的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，并且

引理1設(shè)為所研究方程的解并且θ＞0，1/2≤H＜1，s，t∈[0，T]。 則

其中C，c 兩個(gè)常數(shù)依賴于T。

證明

對(duì)于A[s，t]2，分別有

由此可知

對(duì)于A[0，s]2

注意到

所以一定存在一個(gè)適當(dāng)可以被多項(xiàng)式控制的函數(shù)f（s），使得

所以可以得到A[0，s]2≥（t-s）2f（s）。 故有

經(jīng)過(guò)相同的分析，A[s，t]×[0，s]，A[0，s]×[s，t]都滿足同樣的性質(zhì)。 故有

證畢。

由于f（x）足夠光滑，所以XtH，K與BtH，K的連續(xù)性保持一致，這個(gè)結(jié)果并不是出乎意料的。

引理2假設(shè)1/2≤HK＜1。 則隨機(jī)變量

是一個(gè)L2（Ω）空間中的元，并且當(dāng)T 趨向于無(wú)窮大時(shí)，ξT以概率1 和L2（Ω）收斂于ξ∞。 進(jìn)而得知

證明

故可以得到：ξ∞是一個(gè)L2（Ω）中的元素。

其中

即證明了ξT均方收斂于ξ∞。

再者由分部積分知

且由事實(shí)

與

獲得估計(jì)

由Borel-Cantelli 引理得：當(dāng)T 趨于無(wú)窮時(shí)，ξT以概率1 收斂于ξ∞。

引理3假設(shè)1/2≤HK＜1。 對(duì)任意的有限整數(shù)p≥1，當(dāng)T 趨于無(wú)窮大時(shí)，幾乎必然有

證明

由引理2 以及ξt的連續(xù)性，可知：因此，使用洛必達(dá)法則可以得到想要的結(jié)論。

引理4令1/2＜H＜1。 當(dāng)T 趨于無(wú)窮時(shí)，有

證明

由同樣的分析可以得到第二個(gè)收斂性。證畢。

引理5假設(shè)1/2≤HK＜1。則對(duì)任意的σ{BtH，K， t≥0}-可測(cè)的并滿足P（F＜∞）=1 的隨機(jī)變量F，當(dāng)T 趨于無(wú)窮大時(shí)，有

其中N 是獨(dú)立于BtH，K的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量。

證明

僅需要證明其協(xié)方差矩陣的任一元素收斂到0 即可。 對(duì)任意固定的s＞0，

顯然，當(dāng)T→∞時(shí)有C（T）→0。 對(duì)于D（T）

證畢。

引理6對(duì)于所有的1/2＜HK＜1，當(dāng)T 趨向于無(wú)窮大時(shí)，如下收斂在L2（Ω）意義下成立

和

證明

由等式（4），對(duì)任意的T＞0，獲得

即，將上式拆分成為4 項(xiàng)，分別計(jì)算之

A2在區(qū)間s＞t，s＜t 上的值是一樣的，故不妨假設(shè)s＞t。

A4的收斂性分析與A3一致，且結(jié)論（12）由同樣的分析即可得出。證畢。

3 定理1 的證明

假設(shè)1/2＜HK＜1。 由（7）式、引理3 以及洛必達(dá)法則，有收斂性

假設(shè)1/2＜HK＜1。 對(duì)任意的T＞0，在下式中等號(hào)左邊代入（13）式后得到

首先，對(duì)任意的T≥0，由（5）式以及引理6 得

其次，由（5）式知，對(duì)任意的T≥0，有

再將（7）式代入下式等號(hào)左邊，獲得最終結(jié)合引理5 以及Slutsky 定理，得到

其中

證畢。