建立幾何模型，發(fā)展學(xué)生思維

來洪江

摘要：以模型思想為理論依據(jù)，以一道教師競賽題為例，展示了利用幾何模型解決問題以及問題的延伸、拓展、思考過程，并由此引發(fā)利用幾何模型解題的思考，為學(xué)生學(xué)會有邏輯、創(chuàng)造性地思考奠基。

關(guān)鍵詞：線索;幾何模型;思維;核心素養(yǎng)

《數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》指出，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的模型思想。下面以一道競賽題為例，以模型思想為理論依據(jù)，淺談利用幾何模型的解題教學(xué)及思考。

原題（2019年杭州市教師數(shù)學(xué)競賽試題21）：銳角等腰△ABC，AB=AC，以A為圓心，AB為半徑作圓。M為AC的中點，BM與⊙A交于G，過B作BH⊥CA于K，并與⊙A交于H，若AC交GH于X，證明：AX=2AC。

一、對解法的探索

波利亞的“怎樣解題表”的第一步就是理解題意，目的在于通過對題目的整體分析，把握題目的條件和目標;通過對題目中某個特征性條件進行聯(lián)想和思維發(fā)散，去尋找數(shù)學(xué)中常用的、相似的、已經(jīng)解決的問題模型，接下來只要在這個待解決問題和已解決模型之間搭建一座橋梁，轉(zhuǎn)化問題、解決問題即可。這種解題策略可以縮短學(xué)生的思維路徑，使得問題得以盡快解決。

（一）線索1：點B在哪里？

分析題目，當(dāng)BA⊥AC時，即A，K重合，此時，BH變成了直徑，所以，當(dāng)BG⊥HX，易得△ABM∽△AXH，由AM∶AB=1∶2，得AH∶AX=1∶2，即AX=2AC。從特殊圖形蘊含一般問題的思維角度出發(fā)，只要證明△ABM∽△AHX，原命題就可以得證。要證明兩個三角形相似，已有∠BAC=∠HAX，只需證明∠AHX=∠AMB，又因為∠AMB=∠MBC+∠BCA，∠BCA=∠ACH=∠AHC，∠GBC=∠CHG，所以∠AHX=∠AMB，命題得證。

特殊化思想是指對于某個具有一般性結(jié)論的數(shù)學(xué)問題，先研究它的特殊情況，即把研究對象從全體轉(zhuǎn)變?yōu)閷儆谶@個全體中的一個或部分對象，然后再把解決特殊情況的方法或結(jié)論應(yīng)用或者推廣到一般問題上，從而獲得一般性問題的解答。本題中用特殊化圖形找到隱含在圖形中的隱形結(jié)論∠AHX=∠AMB，此法功不可沒。

（二）線索2：點B和點H關(guān)于AX軸對稱

對于一些幾何問題，若能洞察到圖形的對稱性，往往能誘發(fā)解題靈感，將問題巧妙轉(zhuǎn)化，使問題思路變得更簡捷，化難為易，簡化思維過程，使問題迎刃而解。

（三）線索3：圓可以隱去嗎？

題目的基本框架是銳角等腰△ABC，AB=AC，后面一系列的操作，都是為了得到點X。根據(jù)圓的對稱性，發(fā)現(xiàn)作∠MBC=∠CBX，與AC的延長線交于點X，效果是一樣的。所以原題的條件可以改為：銳角等腰△ABC，AB=AC，BM是AC邊上的中線，作∠MBC=∠CBX，與AC的延長線交于點X，證明：AX=2AC。

化歸三角形問題后，結(jié)合結(jié)論“點C是AX的中點”，思考方向變得非常清晰，這是個三角形中位線模型問題。

三角形的相關(guān)知識內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)中是最為核心、最為重要的領(lǐng)域和內(nèi)容之一，三角形不僅僅是基本的平面圖形之一，更是研究其他圖形的工具和基礎(chǔ)。初中數(shù)學(xué)中大多數(shù)幾何問題最終都是化歸為三角形問題，圓中的問題也是如此。本題轉(zhuǎn)化條件后，“柳暗花明又一村”，此法讓人回味無窮。

二、對題目的再思考

波利亞的“怎樣解題表”最后一步是回顧，題目的解法僅僅只是解決數(shù)學(xué)問題的一半，更重要的是解題以后對問題解決過程的反思與回顧。波利亞指出：回顧已經(jīng)完成的解答是解題中的一個重要且具有啟發(fā)性的階段，它有利于培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力和創(chuàng)新精神，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律并加以拓展延伸與推廣，有利于學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和促進對數(shù)學(xué)知識的理解，是一個在數(shù)學(xué)解題、學(xué)習(xí)和研究過程中不能忽視的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。下面對題目再次進行分析、思考。眾所共知，在幾何圖形的產(chǎn)生過程中，起決定性作用的是點，下圖展示的是本題中各關(guān)鍵點產(chǎn)生的過程，顯然此題中點B在圓上的不同位置決定著各關(guān)鍵點的位置和各線段間的數(shù)量關(guān)系。

（一）動態(tài)圖形中的定性問題

所謂定性，是指通過非量化的手段來探究問題的本質(zhì)。改變動態(tài)點B的位置，探究點X的位置。當(dāng)點B的位置使得△ABC是銳角三角形時，M為AC的中點，能得到AX=2AC。也就是說，當(dāng)半徑AC保持不變時，點X永遠是個不會動的點。這不禁讓我們思考：當(dāng)△ABC是直角三角形時，結(jié)論是否成立？結(jié)論是成立的。如果△ABC是個鈍角三角形，這個結(jié)論還會保持不變嗎？只要利用上面任何一種解法，都同理可得AX=2AC。也就是說，在這個等腰△ABC中，只要滿足點M是AC邊上的中點，只要半徑AC大小保持不變，無論點B在圓的任何位置（除了AC的反向延長線與圓的交點），點X都是個定點。

（二）動態(tài)圖形中的定量問題

三、幾何模型在教學(xué)中的應(yīng)用及思考

提升“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”是新一輪課程改革的主要目標，它的主陣地顯然是日常的數(shù)學(xué)課堂，通過課堂教學(xué)將其推進并不斷深化。這就要求一線教師把這樣的理念體現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計中，并實施到教學(xué)過程中。本文所例舉的正是用模型思想解決數(shù)學(xué)問題的典例?；仡櫞祟}解法中的幾種思維過程。

從整個思維過程看，問題的焦點集中在中間環(huán)節(jié)，即已解決問題類模型。已解決問題類模型是指某些典型問題已被解決，而該問題的解決有利于其他相關(guān)問題的解決，即該問題的結(jié)論可用于其他問題的解決，或是該問題的解決思路可遷移到其他問題的解決。此題中已解決問題類模型主要用的是相似基本模型和中位線基本模型，在條件與模型之間、問題與模型之間的橋梁是聯(lián)想，通過找相似、找相關(guān)、做對比等手段理清思路、解決問題。

（一）在新課教學(xué)中突出幾何模型

在新課教學(xué)中，通過設(shè)計教學(xué)活動突出幾何模型，有助于學(xué)生加深對數(shù)學(xué)模型思想的價值認識，有利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和提高。

（二）在單元教學(xué)引入中鋪墊幾何模型

單元教學(xué)引入設(shè)計是一個特別重要的教學(xué)環(huán)節(jié)，它起承前啟后、引入主題的作用，它是學(xué)生整個單元思維模式的引領(lǐng)者。在單元起始用幾何模型統(tǒng)籌教學(xué)引入，有利于學(xué)生對單元知識學(xué)習(xí)的整體感知，特別是在思維上為接下來的新課學(xué)習(xí)做了很好的鋪墊。比如單元學(xué)習(xí)——對兩個三角形相似判定定理的探索，三個判定定理都是以預(yù)備定理（一個三角形內(nèi)部平行得相似）為已解決問題類模型，如何根據(jù)條件用數(shù)學(xué)的方法把兩個分離的三角形構(gòu)造成預(yù)備定理的模型，從而使定理得證。所以，在探究第一個判定定理（有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）時，教師就要做好單元教學(xué)引入的整體設(shè)計。

（三）在章節(jié)專題復(fù)習(xí)中運用幾何模型

章節(jié)專題復(fù)習(xí)課的特點主要體現(xiàn)在“理”和“通”兩個字上，在核心素養(yǎng)的十個核心概念中，模型思想是這個“通”字的最好體現(xiàn)。它的功能是使知識點能形成網(wǎng)絡(luò)，并構(gòu)建體系，從解決一個問題到解決一類問題。所以，在上復(fù)習(xí)課時，教師要選擇布置合適的習(xí)題，明確題中蘊含的數(shù)學(xué)模型，充分利用題中的模型引導(dǎo)學(xué)生對知識進行整理，力爭達到觸類旁通的效果。

四、結(jié)束語

模型思想有助于教師教學(xué)觀的改變，更好地發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用;有助于教師學(xué)習(xí)觀的轉(zhuǎn)變;更有助于學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變，從而有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，提升學(xué)生的創(chuàng)新意識。數(shù)學(xué)教育要著眼于學(xué)生的長期利益，需要教師通過研究課程所蘊含的價值觀資源，不斷發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

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（責(zé)任編輯：韓曉潔）