根的判別式在解題中的應(yīng)用

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一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式Δ=b²-4ac在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有非常重要的地位，它是解決一元二次方程相關(guān)問題的重要工具，也是中考的必考知識(shí)點(diǎn)。利用根的判別式可以判斷一元二次方程的根的情況，在解決方程、函數(shù)、不等式等問題時(shí)也有廣泛的應(yīng)用。下面就根的判別式在解題中的應(yīng)用舉例說明，以期對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)“一元二次方程”第20頁的習(xí)題中有這樣一題：

例1 k取什么值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程x²-2x+k-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？沒有實(shí)數(shù)根？

【分析】本題主要考查的是一元二次方程的根的判別式的知識(shí)。一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情況可以由根的判別式b²-4ac的符號(hào)來判定。當(dāng)Δ=b²-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)Δ=b²-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)Δ=b²-4ac<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。故先用含k的代數(shù)式表示b²-4ac，再分別用b²-4ac=0，b²-4ac>0，b²-4ac<0求出相應(yīng)的k的取值范圍。

變式1 （2020·江蘇南京）關(guān)于x的方程（x-1）（x+2）=p²（p為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（ ）。

A.兩個(gè)正根

B.兩個(gè)負(fù)根

C.一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根

D.無實(shí)數(shù)根

【分析】本題考查一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)。先把方程（x-1）（x+2）=p²化為一般式，根據(jù)根的判別式A=b²-4ac的符號(hào)來判斷方程根的個(gè)數(shù)，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a來判斷根的正負(fù)性，即可求解。

解：將原方程化為x²+x-2-p²=0，

則Δ=b²-4ac=1+8+4p²=9+4p²0，可知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

因?yàn)閤¹·x²=c/a=-2-p²<0，

所以此方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，故選C。

變式2 已知關(guān)于x的方程mx²+（3m-2）x+2m-2=0。

（1）求證：方程總有實(shí)數(shù)根;

（2）若方程有兩個(gè)整數(shù)根，求整數(shù)m的值。

【分析】本題考查含字母系數(shù)方程的根的情況。（1）對(duì)于此類問題，首先要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論，先確定方程的類型。若m=0，方程是一元一次方程，有實(shí)數(shù)根;若m≠0，方程是一元二次方程，則需由根的判別式Δ=b²-4ac進(jìn)行判定，確定根的判別式的符號(hào)，從而得知方程根的情況。（2）把mx²+（3m-2）x+2m-2=0因式分解得到方程的兩個(gè)根，再根據(jù)題意求整數(shù)m的值。

（1）證明：當(dāng)m=0時(shí)，原方程可化為-2x-2=0，方程有實(shí)數(shù)根X=-1;

當(dāng)m≠0時(shí)，mx²+（3m-2）x+2m-2=0是關(guān)于x的一元二次方程，

由題意，得a=m，b=3m-2，c=2m-2。

因?yàn)椤?b²-4ac=（3m-2）²-4m（2m-2）=m²-4m+4=（m-2）²≥0，

所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

綜上所述，不論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根。

（2）解：由題意知方程有兩個(gè)整數(shù)根，故m≠0。

因?yàn)閙x²+（3m-2）x+2m-2=0，

所以（mx+2m-2）（x+1）=0，

所以x₁=-1，x₂=-2+2/m。

因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)整數(shù)根且m是整數(shù)，

所以m=±2或m=±1。

二、判別式在實(shí)際問題中的應(yīng)用

蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)“一元二次方程”第24頁問題1：

例2 用一根長22cm的鐵絲：

（1）能否圍成面積是30cm²的矩形？

（2）能否圍成面積是32cm²的矩形？

【分析】本題考查列一元二次方程解決實(shí)際問題、根的判別式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)。（1）設(shè)圍成的矩形的長是xcm，根據(jù)矩形的面積公式列出方程，解方程即可;（2）同第1問，列出方程，要判斷能否圍成矩形，需要判斷方程根的情況，借助根的判別式b2-4ac即可得到結(jié)論。

解：設(shè)這根鐵絲圍成的矩形的長是xcm，則矩形的寬是（11-x）cm。

（1）根據(jù)題意，得x（11-x）=30，

即x²-11x+30=0。

解這個(gè)方程，得x₁=5，x₂=6。

當(dāng)x=5時(shí)，11-x=6;當(dāng)x=6時(shí)，11-x=5。

答：用一根長22cm的鐵絲能圍成面積是30cm²的矩形。

（2）根據(jù)題意，得x（11-x）=32，

即x²-11x+32=0。

因?yàn)閎²-4ac=（-11）²-4×1×32=121-128=-7<0，

所以此方程沒有實(shí)數(shù)根。

答：用一根長22cm的鐵絲不能圍成面積是32cm²的矩形。

變式1 把一根長32cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個(gè)正方形。問：這兩個(gè)正方形面積的和可能等于30cm²嗎？

【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，利用正方形的周長表示出正方形的邊長進(jìn)而列出方程，然后可以利用一元二次方程的根的判別式判斷方程是否有解，若無解，則不可能;若有解，先求解，再根據(jù)實(shí)際問題來驗(yàn)證解是否符合條件。

解：設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長是xcm，則另一個(gè)正方形的邊長是（8-x）cm。

根據(jù)題意，得x²+（8-x）²=30，

即x²-8x+17=0。

因?yàn)閎²-4ac=（-8）²-4×1×17=64-68=-4<0.

所以此方程沒有實(shí)數(shù)根。

答：這兩個(gè)正方形面積的和不可能等于30cm²。

變式2 已知EYABCD的兩邊AB、AD的長是關(guān)于x的方程x²+m/2-1/4=0的兩個(gè)根。問：m為何值時(shí)，◇ABCD是菱形？并求出菱形的邊長。

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)。若◇ABCD為菱形，則邊長相等，那么一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即可以得到根的判別式b²-4ac=0，進(jìn)而求出m的值，最后通過解一元二次方程的根求出菱形的邊長即可。

解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD。

∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即b²-4ac=0。

故b²-4ac=m²-4（m/2-1/4）=0，

解這個(gè)方程，得m=1。

當(dāng)m=1時(shí)，原方程為x²-x+1/4=0，

解這個(gè)方程，得x₁=x₂=0.5。

答：當(dāng)m為1時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，菱形的邊長為0.5。

總而言之，根的判別式的應(yīng)用在歷年的中考題中都有所體現(xiàn)，它不僅可以用來判斷一元二次方程根的情況，也可以解決如函數(shù)、方程、不等式、幾何等很多其他的問題。許多表面與一元二次方程無關(guān)的數(shù)學(xué)問題，如完全平方式、二次三項(xiàng)式的因式分解等，都可以通過構(gòu)造一元二次方程，把原問題轉(zhuǎn)化為討論方程根的性質(zhì)的相關(guān)問題進(jìn)行解決。