隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)的極限性質(zhì)

黃 敏萬(wàn)成高

(1.武漢學(xué)院信息工程學(xué)院,湖北 武漢430212)

(2.中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 武漢430073)

(3.湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,湖北 武漢430062)

1 引言

設(shè)(Ω,F,P)是一概率空間,(X,A)和(Θ,B)均為任意的可測(cè)空間,={ξn:n≥0}和={Xn:n≥0}分別是(Ω,F,P)上取值于Θ 和X的隨機(jī)序列,{P(θ):θ∈Θ}是(X,A)上的一族轉(zhuǎn)移函數(shù),且假設(shè)對(duì)任意的A∈A,P(·;·,A)是B×A可測(cè)的,{K(·,·)}是(Θ,B)上的轉(zhuǎn)移函數(shù),且假設(shè)對(duì)任意B∈B,K(·,B)是關(guān)于B可測(cè)的.對(duì)任意序列記設(shè)這里Θj=Θ,Bj=B,j≥0.

如果對(duì)任意A∈A,n≥0,有

則稱(chēng)為隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈,稱(chēng)為隨機(jī)環(huán)境序列.若是一馬氏序列,則稱(chēng)為馬氏環(huán)境中的馬氏鏈.

本文假設(shè)是一步轉(zhuǎn)移概率為K(θ,B)的馬氏鏈,對(duì)任意的E∈A×B,記Pn(E)=P((Xn,ξn)∈E).約定:文中出現(xiàn)的C總表示正常數(shù),它在不同的地方可以代表不同的值.集合A的示性函數(shù)記為IA.

20世紀(jì)80年代初,Cogburn等人開(kāi)始研究隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的一般理論,取得了一系列深刻的結(jié)果[1-3].Orey[4]在Cogburn等人的研究基礎(chǔ)上對(duì)隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈進(jìn)行了深入的研究,并提出了一系列的問(wèn)題,引起了眾多概率論學(xué)者的廣泛關(guān)注,使得隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈一般理論的研究成為國(guó)際上又一新的研究方向.國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)這一領(lǐng)域進(jìn)行了深入的研究[5-9].目前,隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律這方面研究的相關(guān)文獻(xiàn)比較多[10-13],如由李應(yīng)求(2003)首先提出具有離散參量的馬氏環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)的強(qiáng)大數(shù)定律,并且給出了直接加于鏈和過(guò)程樣本函數(shù)上的充分條件.隨后,郭明樂(lè)(2004)同樣也研究了隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律.近年來(lái),不同于李應(yīng)求和郭明樂(lè)等人所研究的,吳艷蕾等人(2011)和宋明珠等人(2016)又分別研究了隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律成立的一系列充分條件.大家知道,極限定理一直是經(jīng)典馬氏鏈理論研究中的熱門(mén)課題,取得的結(jié)果已十分深入.鑒于此,本文研究了隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)的極限性質(zhì),給出了隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)強(qiáng)大數(shù)定律成立的一系列充分條件.本文結(jié)構(gòu)安排如下:首先,本文定理1給出了馬氏序列的強(qiáng)大數(shù)定律成立的兩個(gè)充分條件且得到了之前學(xué)者的相似結(jié)論;然后,在定理1的基礎(chǔ)上對(duì)偶函數(shù)列g(shù)n(x)取適合的函數(shù),即可得到之前學(xué)者的一系列充分條件,故此充分條件較已有結(jié)論相對(duì)弱一些,從而推廣了之前學(xué)者的一系列充分條件;最后,利用本文所給出的充分條件重新給出了隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)強(qiáng)大數(shù)定律成立的一系列充分條件.因此,本文拓寬了已有結(jié)論的適用范圍.

2 主要結(jié)果及證明

引理1[11]設(shè)為隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈,則是馬氏鏈.

定理1設(shè){(Xn,Yn):n≥0}是(Ω,F,P)上取值于X×Y上的馬氏序列,{fn:n≥0}是(X,A)可測(cè)函數(shù)列.{gn(x),n≥0}為R上的偶函數(shù)序列,在區(qū)間(0,∞)上取正值,且對(duì)任意的n≥0,存在λ＞0,使得下述條件之一成立

(i)gn(x)在(0,∞)內(nèi)單調(diào)不減,當(dāng)0＜x≤1時(shí),gn(x)≥λxθ(0＜θ≤1),且Efn(Xn)=0,n≥0;

同時(shí)對(duì)于正常數(shù)序列{an,n≥0},滿(mǎn)足an↑∞,有

則對(duì)任意的k≥1,有

及

這里約定:對(duì)任意的k≥1,X-k≡0,Y-k≡0.

證先考慮k=1的情況.在條件(i)下,當(dāng)|fn(Xn)|＞an時(shí),由于gn(x)在(0,∞)內(nèi)單調(diào)不減,且有g(shù)n(1)≥λ.從而

在條件(ii)下,當(dāng)|fn(Xn)|＞an時(shí),利用gn(x)≥λxβ(β≥1,x＞1),可知

由(2.5)式或(2.7)式知

即P(|fm(Xm)|＞am:i.o.)=0,因而

由(2.6)式或（2.8）式知

記

由{(Xn,Yn),n≥0}的馬氏性,易知{Zn,Bn,n≥0}為鞅差序列.在條件(i)下,由鞅差序列的正交性知

在條件(ii)下,同樣有

下面再考慮k＞1的情形.由{(Xn,Yn):n≥0}的馬氏性易知,對(duì)任意的n=1,2,3,···,k-1,{(Xmk+n,Ymk+n):m≥0}是馬氏鏈,由(2.2)式顯然有

因此對(duì)任意的n=1,2,3,···,k-1,有

從而

亦即(2.3)式對(duì)k＞1成立,又由Kronecker引理知(2.4)式對(duì)k＞1也成立.

注本文定理1的充分條件中,對(duì)偶函數(shù)列g(shù)n(x)取適合的函數(shù)時(shí),例如當(dāng)0＜r＜1時(shí),gn(x)=|x|r/(1+|x|r);當(dāng)1≤r≤2時(shí)，gn(x)=|x|r/(1+|x|r-1),即可得到類(lèi)似于之前學(xué)者已有結(jié)論.較之前學(xué)者已有結(jié)論,如文獻(xiàn)[12]的定理1和文獻(xiàn)[13]的定理1,本文的推論1和推論2都是在定理1的基礎(chǔ)上對(duì)gn(x)取不同的函數(shù),即可得已有結(jié)論.因此本文所給出的隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)強(qiáng)大數(shù)定律成立的兩個(gè)充分條件拓寬了已有結(jié)論的適用范圍.

推論1設(shè){(Xn,Yn):n≥0}是(Ω,F,P)上取值于X×Y上的馬氏序列,{fn:n≥0}是(X,A)可測(cè)函數(shù)列.{φn(x),n≥0}為R上的偶函數(shù)序列,在區(qū)間(0,∞)上取正值,且對(duì)任意的n≥0,下述條件之一成立

(iii)φn(x),x/φn(x)在(0,∞)內(nèi)不減,且Efn(Xn)=0,n≥0;

(iv)φn(x)/x,x2/φn(x)在(0,∞)內(nèi)不減.同時(shí)對(duì)于正常數(shù)序列{an,n≥0},滿(mǎn)足an↑∞,若有則有(2.3)和(2.4)式成立.

證取gn(y)=φn(xy)/φn(x),對(duì)任意的x∈(0,∞),y∈R,則有

且gn(y)為在(0,∞)內(nèi)取正值的偶函數(shù).

同時(shí),在條件(iii)下,gn(y)滿(mǎn)足定理1的條件(i),在條件(iv)下,gn(y)滿(mǎn)足定理1的條件(ii),而且于是由定理1知,推論1的結(jié)論成立.

推論2設(shè){(Xn,Yn):n≥0}是(Ω,F,P)上取值于X×Y上的馬氏序列,{fn:n≥0}是(X,A)可測(cè)函數(shù)列.{an,n≥0}是正常數(shù)列,滿(mǎn)足an↑∞,若有下述條件之一成立

則有(2.3)和(2.4)式成立.

證當(dāng)條件(v)成立時(shí),取gn(x)=|x|r/(1+|x|r),0＜r＜1;當(dāng)條件(vi)成立時(shí),取1≤r≤2.那么對(duì)任意的n≥0,gn(x),均為偶函數(shù),且在(0,∞)內(nèi)取正值,不減.同時(shí)分別有

若條件(v)被滿(mǎn)足,則

若條件(vi)被滿(mǎn)足,則

于是由定理1知推論2成立.

定理2設(shè)為隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈,{fn:n≥0}是(X,A)上可測(cè)函數(shù)序列,0＜an↑∞,如果定理1(或推論1、推論2)條件成立,則對(duì)任意的k≥1,有

及

證由引理1知是馬氏鏈,從而由定理1(或推論1、推論2)知(2.13)和(2.14)式均成立.

定理3在定理2的條件下,則對(duì)任意的k≥1,有

及

證同文獻(xiàn)[11]中推論2的證明.

定理4在定理3的條件下,若存在C＞0,對(duì)任意的n≥0,都有n/an≤C,且

則

證由于定理3的條件滿(mǎn)足,從而(2.16)式成立.又由于

因此欲證(2.18)式成立,只需證

由于{(Xn,ξn):n≥0}是一步轉(zhuǎn)移概率為Q(x,θ;A×B)=K(θ,B)P(ξ;x,A)的馬氏鏈,故有

上述第一個(gè)等式是由于m＜k時(shí),有E(fm(Xm)|Xm-k,ξm-k)=E(fm(Xm)a.s..從而由(2.17)式知(2.19)式成立,繼而(2.18)式成立.