建立方程模型 加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)

文 康葉紅

生活離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)離不開生活，數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活而最終服務(wù)于生活。一元二次方程是揭示現(xiàn)實(shí)社會(huì)數(shù)量關(guān)系的一個(gè)重要數(shù)學(xué)模型。用一元二次方程解決實(shí)際問題時(shí)，通常要經(jīng)歷以下過程：從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程求出它的根，進(jìn)而解決實(shí)際問題。具體如下圖：

在現(xiàn)實(shí)生活中，許多問題中的數(shù)量關(guān)系都可以抽象為一元二次方程。用一元二次方程解決實(shí)際問題的常見題型有：圖形的面積問題、平均變化率（增長(zhǎng)或下降）問題、銷售問題等。下面我們結(jié)合例題，一起來看一下如何用一元二次方程解決實(shí)際問題。

問題1 圖形的面積問題

例1（2020·江蘇南京秦淮一模）手卷是國(guó)畫裝裱中橫幅的一種體式，以能握在手中順序展開閱覽得名。它主要由“引首”“畫心”“拖尾”三部分組成（這三部分都是矩形形狀），分隔這三部分的其余部分統(tǒng)稱為“隔水”。下圖中的手卷長(zhǎng)1000cm，寬40cm，引首和拖尾完全相同，其寬度都為100cm。若隔水的寬度為xcm，畫心的面積為15200cm2，求x的值。

【分析】問題中出現(xiàn)的圖形是矩形，其數(shù)量關(guān)系是：矩形的面積=長(zhǎng)×寬。正確審題，弄清題意，體會(huì)“算兩次”的數(shù)學(xué)方法，理性思考即可。

解：根據(jù)題意，得（1000-4x-200）·（40-2x）=15200。

解這個(gè)方程，得x1=210（不合題意，舍去），x2=10。

所以x的值為10。

【總結(jié)】用一元二次方程解決實(shí)際問題的一般過程為：審、找、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答。其關(guān)鍵是找出實(shí)際問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系，列出方程。一般地，當(dāng)我們經(jīng)歷以上過程，便能更進(jìn)一步體會(huì)建立數(shù)學(xué)模型的思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。

問題2 平均變化率（增長(zhǎng)或下降）問題

例2（2020·上海）去年某商店“十一黃金周”進(jìn)行促銷活動(dòng)期間，前六天的總營(yíng)業(yè)額為450萬(wàn)元，第七天的營(yíng)業(yè)額是前六天總營(yíng)業(yè)額的12%。

（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額；

（2）去年，該商店7月份的營(yíng)業(yè)額為350萬(wàn)元，8月份、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率相同，“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額與9月份的營(yíng)業(yè)額相等。求該商店去年8月份、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率。

【分析】平均變化率問題（以增長(zhǎng)為例）中常用的數(shù)量關(guān)系是：變化前的量+增長(zhǎng)的量=增長(zhǎng)后的量，增長(zhǎng)的量=變化前的量×增長(zhǎng)率。我們將這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系合起來可表示為：變化前的量×（1+平均增長(zhǎng)率）=增長(zhǎng)后的量。

第（2）問中，如果設(shè)平均增長(zhǎng)率為x，則可用表格表示為：

解：（1）450+450×12%=504（萬(wàn)元）。

答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額是504萬(wàn)元。

（2）設(shè)該商店去年8月份、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率是x。

根據(jù)題意，得350×（1+x）2=504。

解這個(gè)方程，得x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）。

答：該商店去年8月份、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率是20%。

【總結(jié)】平均變化率問題的關(guān)鍵是理解平均變化率和變化量的區(qū)別，如果設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過n次變化后的數(shù)量關(guān)系可表示為a×（1±x）n=b。

問題3 銷售問題

例3（2020·江蘇南京建鄴一模）某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)每件30元的襯衫以每件40元銷售，平均每月可售出600件。為了增加盈利，商場(chǎng)采取漲價(jià)措施。若在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每漲1元，商場(chǎng)平均每月會(huì)少售出10件。為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤(rùn)，這種襯衫每件的價(jià)格應(yīng)定為多少元？

【分析】這個(gè)問題中的數(shù)量關(guān)系較多，如漲價(jià)前每件襯衫的利潤(rùn)×漲價(jià)前每月的銷售量=漲價(jià)前總利潤(rùn)，即（40-30）×600=6000，漲價(jià)后每件襯衫的利潤(rùn)×漲價(jià)后每月的銷售量=漲價(jià)后總利潤(rùn)，漲價(jià)后每件襯衫的售價(jià)-每件襯衫的進(jìn)價(jià)=漲價(jià)后每件襯衫的利潤(rùn)，漲價(jià)前每月的銷售量-10×漲價(jià)數(shù)=漲價(jià)后每月的銷售量等。我們可以借助列表的形式分析其中的數(shù)量關(guān)系，設(shè)這種襯衫每件的價(jià)格應(yīng)定為x元，則可表示如下表。

解：設(shè)這種襯衫每件的價(jià)格應(yīng)定為x元。

根據(jù)題意，得（x-30）［600-（x-40）×10］=10000。

解這個(gè)方程，得x1=50，x2=80。

答：這種襯衫每件的價(jià)格應(yīng)定為50元或80元。

【總結(jié)】在運(yùn)用一元二次方程分析、表達(dá)和解決實(shí)際問題的過程中，可以借助于適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)直觀工具（如表格、線形示意圖等），找出問題中的已知量、未知量，分析數(shù)量之間的相等關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題。此外，還需要根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理。其具體過程是：

總之，利用一元二次方程解決實(shí)際問題，需要對(duì)題目中的關(guān)鍵語(yǔ)句進(jìn)行分析，運(yùn)用各種策略，確定等量關(guān)系，建立方程模型，問題便能迎刃而解。