分?jǐn)?shù)階振子的自由振動(dòng)研究

何松林，黃 焱，俞 安，任 杰

(1．昆明學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，云南 昆明 650214；2．昆明學(xué)院 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，云南 昆明 650214)

分?jǐn)?shù)階微積分的出現(xiàn)已有300多年的歷史，近10多年來(lái)得到快速發(fā)展并在科學(xué)研究及工程技術(shù)中受到廣泛關(guān)注和應(yīng)用．其中，在粘彈性材料力學(xué)性質(zhì)、反常擴(kuò)散、信號(hào)檢測(cè)、過(guò)程控制等領(lǐng)域采用分?jǐn)?shù)階微積分的研究已有大量報(bào)道[1-4]，且取得很多成果．而由含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的微分方程描述的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的研究變得越來(lái)越重要．本文將對(duì)類(lèi)比諧振子建立的分?jǐn)?shù)階振子模型進(jìn)行研究，以弄清楚其運(yùn)動(dòng)性質(zhì)．

1 分?jǐn)?shù)階振子模型

眾所周知，諧振子自由振動(dòng)的微分方程是一個(gè)二階線(xiàn)性常微分方程，而一個(gè)只受粘性阻力作用的質(zhì)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)方程可化為一階線(xiàn)性常微分方程．

如果質(zhì)點(diǎn)僅受與其位移隨時(shí)間變化的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)成正比的力作用，其運(yùn)動(dòng)微分方程可化為分?jǐn)?shù)階線(xiàn)性常微分方程，這樣的系統(tǒng)被稱(chēng)為分?jǐn)?shù)階振子[5]．

定義運(yùn)動(dòng)微分方程為(1)式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為分?jǐn)?shù)階振子的自由振動(dòng)．

(1)

(1)式中1≤α≤2，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)采用Caputo定義[6]，并將初始條件記為：

(2)

2 微分方程的解

拉普拉斯變換法是求解常微分方程初值問(wèn)題的常用方法，其特點(diǎn)在于變換時(shí)就考慮到初始條件的影響， 反變換后的結(jié)果直接是滿(mǎn)足初始條件的特解．對(duì)(1)式進(jìn)行拉普拉斯變換[7]：

(3)

利用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)Laplace變換的性質(zhì)

(4)

得

sαX(s)-sα-1x0-sα-2x1+kX(s)=0，

(5)

整理得：

(6)

Mittag-Leffler函數(shù)的Laplace變換公式為：

(7)

(8)

(9)

當(dāng)β=2,m=0時(shí)，(7)式化為：

(10)

(11)

對(duì)(6)式進(jìn)行Laplace反變換，利用(9)和(11)得方程(1)的解為：

x(t)=x0Eα,1(-ktα)+x1tEα,2(-ktα)．

(12)

3 分?jǐn)?shù)階振子的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)

3.1 階數(shù)為2的分?jǐn)?shù)階振子表示諧振子

當(dāng)α=2時(shí)，方程(1)化為典型的諧振子運(yùn)動(dòng)方程

(13)

在此情況下，(12)式化為：

x(t)=x0E2,1(-kt2)+x1tE2,2(-kt2)．

(14)

兩參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)的定義為：

(15)

其中Γ(z)是Gamma函數(shù)，當(dāng)z為整數(shù)時(shí)，Γ(z)=(z-1)!．由(15)式可推出：

(16)

(17)

利用歐拉公式可得：

(18)

(19)

將(18)和(19)式代入(14)式得：

(20)

(21)

3.2 階數(shù)為1的分?jǐn)?shù)階振子表示受粘性阻力作用的質(zhì)點(diǎn)

當(dāng)α=1時(shí)，方程(1)化為受粘性阻力作用的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

(22)

x(t)=x0E1,1(-kt)=x0e-kt，

(23)

與(22)式常規(guī)解法得到的結(jié)果完全相同．

3.3 分?jǐn)?shù)階振子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨階數(shù)和線(xiàn)性項(xiàng)系數(shù)變化

設(shè)初始速度x1=0，則(12)式簡(jiǎn)化為

x(t)=x0Eα,1(-ktα)．

(24)

由于Mittag-Leffler函數(shù)是大多數(shù)人比較陌生的特殊函數(shù)，為了能夠直觀(guān)地感受(24)式表示的分?jǐn)?shù)振子位移隨時(shí)間的變化情況，利用(15)式，編程計(jì)算不同值的分?jǐn)?shù)階振子的位移隨時(shí)間變化情況．計(jì)算中取x0=5 m,k=2 kgmαs-α,α從2變化到1，結(jié)果顯示如圖1．

圖1中(a)，(b)，(c)，(d)，(e)，(f)中的值分別是2.0，1.8，1.6，1.4，1.2，1.0．從圖1可看出，隨α值的減小，振幅的衰減加快，同時(shí)“欠阻尼”振動(dòng)時(shí)的周期隨α的減小而增大．換句話(huà)說(shuō)，α值既影響振子的振幅衰減，同時(shí)也影響振動(dòng)的周期．

為觀(guān)察線(xiàn)性項(xiàng)系數(shù)對(duì)分?jǐn)?shù)振子運(yùn)動(dòng)影響，取x0=5 m,α=1.8,k分別取0.5，1.0，1.5 kgm1.8s-1.8，按(24)式計(jì)算系統(tǒng)位移隨時(shí)間的變化情況，結(jié)果顯示如圖2．由圖2可見(jiàn)，α固定時(shí)，隨k的增大，振子的振幅衰減加快，振動(dòng)周期減?。?/p>

由上面的分析可知，分?jǐn)?shù)振子的自由振動(dòng)是阻尼振動(dòng)，這是一種“內(nèi)稟”的阻尼振動(dòng)，是系統(tǒng)自身性質(zhì)決定的．分?jǐn)?shù)階振子的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)和線(xiàn)性項(xiàng)系數(shù)都會(huì)影響分?jǐn)?shù)階振子振幅衰減的快慢程度和振動(dòng)的周期．線(xiàn)性項(xiàng)系數(shù)不變時(shí)，隨分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)α值的減小，振子振幅衰減逐漸加快，振動(dòng)周期增大；分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)α固定時(shí)，隨線(xiàn)性項(xiàng)系數(shù)的增大，振子振幅衰減加快，振動(dòng)周期減?。?/p>

4 分?jǐn)?shù)振子可采用阻尼諧振子近似代替

(25)

對(duì)參數(shù)α,k,x0取不同值的分?jǐn)?shù)振子，用(25)式對(duì)由(24)式給出的位移時(shí)間數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合[8]，得到A和B兩個(gè)常數(shù)分別取10/9和1/9時(shí)效果最好．即(24)的近似公式為：

(26)

α=1.8,k=1 kgm1.8s-1.8,x0=2 m時(shí)的擬合結(jié)果見(jiàn)圖3，其近似解與精確解符合較好．

眾所周知，諧振子阻尼振動(dòng)的微分方程為：

(27)

在欠阻尼δ<ω0情況下的解為：

x=Ae-δtcos(ωt+φ)．

(28)

將(28)式與(26)式對(duì)比，可得：

(29)

(30)

也就是說(shuō)在實(shí)際應(yīng)用中，分?jǐn)?shù)振子運(yùn)動(dòng)微分方程(1)可以由諧振子阻尼振動(dòng)微分方程(27)式近似代替，阻尼和剛度分別由(29)和(30)式給出．

綜上所述，本文定義了分?jǐn)?shù)階振子，采用Mittag-Leffler函數(shù)求出其自由振動(dòng)微分方程的解析解，由此得出分?jǐn)?shù)振子的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，證明了諧振子和受粘性阻力作用的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分別是階數(shù)為2和1的分?jǐn)?shù)階振子的自由振動(dòng)；分析得出分?jǐn)?shù)階振子的“內(nèi)稟”阻尼振動(dòng)的振幅衰減及振動(dòng)周期既與分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)有關(guān)，也與線(xiàn)性項(xiàng)系數(shù)有關(guān)；提出在工程實(shí)踐中，可采用諧振子阻尼振動(dòng)方程近似代替分?jǐn)?shù)振子自由振動(dòng)方程進(jìn)行處理．本文的工作，對(duì)加深理解含分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)，擴(kuò)展對(duì)“振子”運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)含分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的系統(tǒng)在實(shí)際工程及其他學(xué)科研究中的應(yīng)用有積極作用．