葉落知秋，見微知著
——淺談小學低段學生數(shù)學學習錯誤背后的真相

何江英

(浙江省紹興市柯橋區(qū)柯巖中心小學 浙江 紹興 312030)

1.引發(fā)思考

教學片段：《20以內數(shù)的認識》

師：同學們不僅會順著數(shù)，倒著也會數(shù)數(shù)，那老師來考考大家：18的前面是幾？

生：18的前面是19。

師：前面的數(shù)比18大還是比18??？

生：小。

師：那么，18前面應該是幾？

生：18前面是17。

……

學生這樣的錯誤回答，在低段的教學中是常見的，甚至有些類似錯誤在高段也是屢見不鮮。上過這一課的老師們都明白，大部分教師處理此類錯誤的方法就是以上教學片斷中教師的處理方式。可是，在作業(yè)中，學生還是照錯不誤，這又是為何？于是，引起了筆者深深的思考。

2.尋找真相

2.1 思維的不可逆性。分析低段學生的認知狀況，主要處于前運算階段的后期或者具體運算階段的前期。在此階段中，學生能夠借助表象進行思維運動，但是思維卻是不可逆的，可逆性改變人的思維方向，使之回到起點，而前運算階段的兒童不能這樣思維，通俗的說就是缺少逆向思維能力；所以說，學生對事物的理解是是單薄的，還不太會從多方向理解知識，分析知識。

正如前面的教學片段中，教師雖然是在教學了數(shù)的順序后提出這樣的一個問題，但是部分學生在面對實際問題時，并沒有把順著數(shù)數(shù)和倒著數(shù)數(shù)區(qū)分開來，數(shù)的時候也如小和尚念經(jīng)一樣有口無心，甚至模仿其他同學。理解數(shù)的先后順序時，他并沒有形成逆向思維，因此無法主動得到正確的答案。

由思維的不可逆性造成的錯誤，在低段數(shù)學的運算當中屢見不鮮。如提問2+( )=6，( )-4=5，我們經(jīng)常會得到這樣的錯誤答案：2+(8)=6，(1)-4=5。面對這樣的情況，老師們經(jīng)常覺得不可思議，難道學生不會試著想一想：2+8會等于6嗎？1-4會等于5嗎？沒錯，這各階段的許多孩子就是不會進行這樣的思維過程，他們看到“+”，想到的是把兩個數(shù)相加，看到“-”，想到的是把兩個數(shù)相減，且一般默認用大的數(shù)去減小的數(shù)。

當然，大部分學生不會發(fā)生這種錯誤，那么他們應該進入了具體運算階段，可逆性逐步形成，并借助傳遞性，能夠按照事物的某種性質如大小、出現(xiàn)的時間、長短等進行順序的排列。

2.2 思維的自我中心性。自我中心是指兒童在思考問題時總是以自己的角度為出發(fā)點，這并不是說前運算階段的兒童很自私，而是指他們以為別人看到的世界與他們看到的是一樣的。這個階段的孩子在考慮問題時總是站在自己經(jīng)驗的中心，只有參照他自己才能夠理解其他事物，以模仿性思維為主。體現(xiàn)在以上教學片段就是，有些學生理解的“數(shù)下去”就是“往前面數(shù)”，就像我們走路是往前走的，他們把自己看作了問題的中心，只是依照慣性思維從小到大來數(shù)，那么，自然而然18的前面就是19了。這些問題都源于學生的認識發(fā)展過程。

2.3 思維的不集中性。出現(xiàn)教學片段中的問題，還有一些同學給出的原因可能是沒仔細看。很多時候，我們總是把學生在學習上的尤其是作業(yè)上的錯誤，歸結為“粗心”，在計算中，數(shù)字的順序經(jīng)常會看錯，運算符號經(jīng)常會搞錯，尤其前面是乘法算式，后面出現(xiàn)一題是除法算式時，學生很容易把最后一題的除法算式當做乘法算式來計算。真的只是因為“粗心”嗎？

數(shù)學的學習囊括了極其復雜的心理活動，它不是一個單一平面化的過程，意志、動機、態(tài)度、個性往往起非常重要的作用。數(shù)學推算過程注重強大的邏輯構架和清晰理性思維，往往需要學生對題目“咬定青山不放松”的堅定意志；符號與符號的碰撞之抽象，數(shù)字與數(shù)字的交融之復雜，需要學生自信心與動機興趣的正向推力；小學數(shù)學問題的解決十分注重群體的競爭、合作意識，于是保持誠懇的態(tài)度至關重要。

下表是學生一次作業(yè)，括號里的是學生的錯誤答案：

求原有、借走、還剩的這樣的表格，對于學生并不陌生。為什么會有這樣的錯誤呢？一方面是由于學生思維不集中，受思維定勢影響，因為平時的練習都是豎著看的，而本題是橫看的，部分學生仍把它當作是平時練習的方式，沒有看自信，憑感覺就填寫了答案。另一方面，由于學生不會看表格，對題意還沒有十分的理解，他們看到數(shù)據(jù)就進行加加減減，對于數(shù)學概念的本質還是十分模糊的，沒有自己的理解。所以，我們不能籠統(tǒng)把這樣的錯誤歸結為“粗心”，而是要尋找這所謂“粗心”背后的真相。

3.提出對策

課程標準指出：教師通過學習小結對學生的學習情況進行評價，可以反思自己的不足以及需要改進的地方，分析反思教學過程中影響學生學習能力發(fā)展和素質提高的原因，尋求改善教學的對策。

3.1 尊重學生的認知規(guī)律。低年級學生學生思維特點主要以形象思維占優(yōu)勢,抽象思維相對較弱。這就需要首先在學生頭腦中建立正確而豐富的表象，讓學生試著自己去感知、理解、探索、發(fā)展，從而建立新的認知結構，讓學生真正理解知識的內涵和概念的本質屬性。如在學習加法時，我們要結合具體的情境，有意識地引導學生，使其了解加法的本質。但在現(xiàn)實情況中，很多老師認為多重復幾遍，學生自然會記住，便采取簡單地說教、乏味地練習，明顯忽略了數(shù)學思維的培養(yǎng)。這樣枯燥無味的、不尊重學生認知發(fā)展規(guī)律的教學只會讓學生喪失學習興趣，結果會適得其反。

3.2 豐富學生的生活體驗。課標中指出:“學生能夠認識到數(shù)學存在于現(xiàn)實中,并被廣泛應用于現(xiàn)實世界,才能切實體會到數(shù)學的應用價值?！睌?shù)學本源于生活，教師教學要抓住與學生生活經(jīng)驗的最佳聯(lián)結點，并架起橋梁，變傳統(tǒng)的“書本中教數(shù)學”為引領學生在“生活情景中學數(shù)學”。我們要鼓勵學生在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學，感受數(shù)學，提出數(shù)學問題，解決數(shù)學問題，增強學生的數(shù)學意識，培養(yǎng)學生的數(shù)學興趣和素養(yǎng)，提高學生的實踐應用能力。

我們可以結合教材的教學內容設計數(shù)學實踐活動、布置數(shù)學活動類家庭作業(yè)。比如超市購物、統(tǒng)計全校學生人數(shù)、測量自己的身高、外出旅游行程規(guī)劃、經(jīng)費核算等等。這樣的學習活動一舉多得，首先能更加具象地簡化原本抽象的問題，便于學生的理解，其次能培養(yǎng)他們的自主創(chuàng)新能力和解決問題的能力，另外能埋下學習的記憶點，當學生在生活中碰到類似問題時能第一時間想起曾經(jīng)做過的數(shù)學題，起到生活反作用于學習的效果。

3.3 關注學生的思維變化。有人說，最好的課堂教學就是能關注到每一位學生的變化與發(fā)展。數(shù)學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解。學生掌握數(shù)學知識，不能依賴死記硬背，而是應以理解為主。在理解和掌握知識的過程中，教師應通過課堂回答，課堂作業(yè)及課外練習訓練等關注學生的學習細節(jié)，這些細節(jié)其實就是學生認識的思維過程。而在這過程出現(xiàn)的錯誤就是暴露出來的思維缺陷，應該引起教師的高度重視，并且對癥下藥。

學生學習數(shù)學是認知發(fā)展和認知建構的過程，在數(shù)學教師指導下，學生從已有的經(jīng)驗出發(fā)，主動獲得對數(shù)學知識的理解與數(shù)學技能的掌握，并在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到的進步和發(fā)展的過程。但是，低段的學生由于在生理和心理上的發(fā)展都不夠成熟，所以對于知識的接受情況有強弱之分。如果教師忽視了這一事實，對于教學無疑是不利的，尤其后進生。教師應該再面向全體學生的同時，更加關注個體差異，掌握“事實真相”，促進學生全面、和諧、持續(xù)的發(fā)展。