完全中心Delannoy數(shù)

楊勝良, 劉 婷

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

19世紀(jì)末Henri Delannoy引入了Delannoy矩陣.對(duì)于任意整數(shù)n和k, 矩陣D=(dn,k)滿足如下遞推關(guān)系:

dn+1,k+1=dn,k+1+dn,k+dn+1,k

當(dāng)n≥k≥0時(shí), 令mn,0=dn,0,mn,k=dn-k,k則Delannoy三角形M=(mn,k)是一個(gè)無限下三角形也是Riordan矩陣.下面給出Riordan矩陣[4-6]的相關(guān)定理.

(1)

(2)

若Riordan矩陣G=(gn,k)=(d(t),h(t))的第0列定義為

(3)

則d(t)可以通過下面的公式得到

d(t)=

(4)

式中

2019年Barry[10]給出了完全中心系數(shù)序列的概念,定義如下.

定義1完全中心系數(shù)序列是從Riordan矩陣G=(gn,k)中第0列開始交替取對(duì)角線和它下方的一項(xiàng)生成,即g0,0,g1,0,g2,1,g3,1,g4,2,g5,2,….

本文主要通過利用Riordan矩陣的A-矩陣得到了幾類格路計(jì)數(shù)的Riordan矩陣表達(dá)式.給出了完全中心Delannoy數(shù)的幾類組合解釋并證明了這些矩陣與完全中心Delannoy數(shù)之間相互聯(lián)系.

1 主要結(jié)論

Delannoy三角形矩陣M=(mn,k)滿足如下遞推關(guān)系:

mn+1,k+1=mn,k+mn-1,k+mn,k+1n≥0,k≥1

給出它的前幾行為

根據(jù)定義1得完全中心Delannoy數(shù)(en)n≥0=1,1,3,5,13,25,….通過Delannoy三角形可得完全中心Delannoy數(shù),也可根據(jù)格路的方法得到完全中心Delannoy矩陣從而得到完全中心Delannoy數(shù).以下給出完全中心Delannoy數(shù)的另外幾個(gè)組合解釋.

當(dāng)允許的步子為U=(1,1),D=(1,-1),H=(2,0)和只能出現(xiàn)在x軸上的h=(1,0)時(shí),從(0,0)到(n,k)限制在x軸上方的格路的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的無限下三角矩陣就是完全中心Delannoy矩陣W=(wn,k),它的前幾行為

它的第0列就是完全中心Delannoy數(shù),且構(gòu)造方法如圖1所示.

在圖1中可以發(fā)現(xiàn)有三種步子,則wn+1,k+1由wn,k,wn-1,k+1,wn,k+2得到.當(dāng)在x軸上時(shí),wn+1,0由wn,0,wn-1,0,wn,1得到,則有如下遞推關(guān)系式:

因?yàn)閣n+1,k+1=wn,k+wn-1,k+1+wn,k+2,則對(duì)應(yīng)的A-矩陣為

且根據(jù)式(2)有

h(t)=t(1+h(t)2)+t2h(t)=t+th(t)2+t2h(t)

又因?yàn)閣n+1,0=wn,0+wn-1,0+wn,1,可得R0(t)=1+t,R1(t)=1,Si(t)=0.根據(jù)式(4)得

則有

定理1完全中心Delannoy矩陣W為

現(xiàn)在考慮一個(gè)新的Riordan矩陣,在允許的步子為U=(1,1),D=(1,-1),H=(2,0)的情況下,從(0,0)到(n,k)沒有限制條件的無限下三角矩陣R=(rn,k)的前幾行為

可以發(fā)現(xiàn)在矩陣R中每一行前兩列的和組成的序列就是完全中心Delannoy數(shù)(en)n≥0=1,1,3,5,13,25,且構(gòu)造方法如圖2所示.

在圖2中可以發(fā)現(xiàn)有三種步子,則rn+1,k+1由rn,k,rn-1,k+1,rn,k+2得到.當(dāng)在x軸上時(shí),rn+1,0由rn,-1,rn-1,0,rn,1得到,又因?yàn)檎麄€(gè)圖關(guān)于x軸對(duì)稱,所以rn,1=rn,-1,則有如下遞推關(guān)系式:

因?yàn)閞n+1,k+1=rn,k+rn-1,k+1+rn,k+2,根據(jù)已有結(jié)果可得

又因?yàn)閞n+1,0=rn-1,0+2rn,1,可得

R0(t)=2t
R1(t)=1,Si(t)=0

根據(jù)式(4)得

則有

定理2序列{rn,k}n,k≥0的Riordan矩陣形式如下:

用得到矩陣R同樣的方法將格路限制在x軸上方可得到對(duì)應(yīng)的無限下三角矩陣S=(sn,k)的前幾行為

可以發(fā)現(xiàn)在矩陣S中每一行的行和組成的序列就是完全中心Delannoy數(shù)(en)n≥0=1,1,3,5,13,25,…,且構(gòu)造方法如圖3所示.

在圖3中可以發(fā)現(xiàn)也有三種步子,則sn+1,k+1由sn,k,sn-1,k+1,sn,k+2得到.當(dāng)在x軸上時(shí),因?yàn)椴豢傻竭_(dá)x軸下方去,所以sn+1,0由sn-1,0,sn,1得到,則有如下遞推關(guān)系式:

又因?yàn)閟n+1,0=sn-1,0+sn,1,可得R0(t)=t,R1(t)=1,Si(t)=0.根據(jù)式(4)得

則有

定理3序列{sn,k}n,k≥0的Riordan矩陣形式如下:

2 矩陣R與S的關(guān)系

定理4對(duì)Riordan矩陣R和S,令

因?yàn)镃i(t)=d(t)h(t)i,所以

則

又因?yàn)?/p>