考慮輪轍相干性的兩種隨機(jī)路面IFFT生成算法

王漢平，張哲，廖小華

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081)

路面不平度的模擬方法主要有諧波疊加法、IFFT法、白噪聲濾波法、AR/ARMA法和基于分形理論的模擬法等[1]，但在推廣應(yīng)用于2維路面不平度生成時，這些方法卻存在較大的差異. Zhang Yonglin[2]基于文獻(xiàn)[3]給出的輪轍相干模型利用白噪聲濾波法將相干函數(shù)近似成輪轍間的傳遞函數(shù)，構(gòu)造了2維的時域路面不平度；Wang X[4]和孫寧[5]對諧波疊加法中諧波疊加組分的相位角進(jìn)行了優(yōu)化，從而使模擬路面的統(tǒng)計功率譜密度(PSD)更符合標(biāo)準(zhǔn)PSD；Sz?ke D 等[6]基于IFFT方法提出了一種不同輪轍相位角與相干函數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系，仿真結(jié)果表明改進(jìn)的相關(guān)關(guān)系具有更好的模擬效果；任宏斌[7]和王亞[8]分別基于IFFT方法和諧波疊加法采用擬合的方式獲得了左右輪相位角的相關(guān)特性，其實施過程未加詳述，從相位角相關(guān)性的表達(dá)形式上看，可能借鑒了文獻(xiàn)[6]的思想；榮吉利[9]和朱興高[10]分別基于有理濾波獲得了不同輪轍的不平度特性和履帶對路面的包絡(luò)特性；盧凡[11]則將有理傳遞函數(shù)與相干函數(shù)之差構(gòu)造成目標(biāo)函數(shù)，借助優(yōu)化來擬合左右輪的相干函數(shù)，從而實現(xiàn)輪轍間的濾波器設(shè)計，最終獲得左右輪路面的不平度特性. Liu Xiandong[12]基于IFFT方法，通過將左右輪的不平度特性分解為原始不平度和擾動不平度，并假定左右輪的原始不平度完全相同，左右輪的擾動不平度完全獨立且與原始不平度無關(guān)，然后借助PSD和左右輪的相干函數(shù)來獨立生成原始不平度和左右擾動不平度，最終疊加得到左右輪的不平度特性，但與參考標(biāo)準(zhǔn)的對比可以看出，其模擬精度差強(qiáng)人意；李倩[13]在諧波疊加法的基礎(chǔ)上根據(jù)PSD及相干函數(shù)的定義推導(dǎo)了不同輪轍諧波疊加組分相位角之間的解析關(guān)系，并由此構(gòu)建了通用的二維路面仿真模型，仿真結(jié)果驗證了模型的有效性，但該模型的計算量較大；Bogsj?K[14-15]針對不同路面的測試數(shù)據(jù)擬合了左右輪轍的相干特性，發(fā)現(xiàn)均符合指數(shù)衰減規(guī)律，在車輛振動損傷模擬方面，這種指數(shù)衰減規(guī)律的相干函數(shù)模型相較于各向同性的相干模型精度明顯要高.

以上文獻(xiàn)表明，2維隨機(jī)路面的生成主要從兩方面入手：①通過疊加組分相位角的相干關(guān)系；②通過不同輪轍間的傳遞函數(shù)關(guān)系. 但這些2維路面仿真模型或沒公開原始推導(dǎo)，或模擬精度偏低，或算法是時域而非空間域，或算法本身存在不足，亦或計算量較大，這給工程應(yīng)用帶來某些不便. 由此，本文以功率譜密度(PSD)函數(shù)、相干函數(shù)同不平度函數(shù)傅里葉變換之間的關(guān)系為基礎(chǔ)，理論推導(dǎo)了IFFT法中不同輪轍相位角的相干關(guān)系，同時也驗證IFFT法與諧波疊加法的等價性；還借助不同輪轍功率譜密度陣的LU分解得到白噪聲濾波的傳遞函數(shù)陣，進(jìn)而分別基于輪轍相位角相干關(guān)系和輪轍功率譜密度陣LU分解構(gòu)造了兩種2維路面的IFFT生成模型. 兩模型均基于空間域，且仿真速度快捷，最終的仿真對比驗證效果良好，從而為2維不平度路面的生成提供了兩種高效高精度的仿真模型.

1 基于輪轍相位角相干性的模擬算法

路面不平度特性可當(dāng)做均值為0的平穩(wěn)隨機(jī)過程，通常采用路面功率譜密度函數(shù)來描述其統(tǒng)計特性，國際通用標(biāo)準(zhǔn)是將路面不平度分為A至H共8級，其功率譜密度函數(shù)的表達(dá)式為

(1)

式中：n為空間頻率，n0為參考空間頻率，通常取0.1 m-1，Gq(n0)為參考空間頻率下的路面不平度系數(shù)，不同等級的路面其取值不同；w為頻率指數(shù)，一般取2.

假設(shè)左輪的路面不平度曲線為fL(x)，則可知其傅里葉變換為

(2)

根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義可知，左輪輪轍路面不平度的自相關(guān)函數(shù)為

由于功率譜密度函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是Fourier變換和反Fourier變換的關(guān)系，考慮到路面譜是單邊譜，則可知左輪路面的功率譜密度函數(shù)為

(4)

于是

(5)

同理

(6)

式中：φL(n)，φR(n)∈[0,2π]均勻分布隨機(jī)數(shù). 于是，分別對FL(n)，F(xiàn)R(n)進(jìn)行逆Fourier變換(IFT)即可得到左、右輪輪轍路面不平度函數(shù);

(7)

(8)

考慮到計算效率，在進(jìn)行IFT計算時，可以使用快速逆Fourier變換(IFFT)算法，這就是路面不平度生成的IFFT方法.

將式(7)(8)代入式(4)，可得GLL(n)、GRR(n)為

Gq(n)e[φL(-n)+φL(n)]I,

(9)

Gq(n)e[φR(-n)+φR(n)]I.

(10)

由式(1)可知，Gq(n)=Gq(-n)，所以只有φL(-n)=-φL(n),φR(-n)=-φR(n)時，GLL(n)=GRR(n)=Gq(n)，于是式(7)、(8)可改寫為

(11)

(12)

將式(11)(12)與文獻(xiàn)[11]中的諧波疊加法對比，只要Ldn≈LΔn=1，則IFFT法與諧波疊加法是等價關(guān)系，若左右輪不平度的相干函數(shù)為coh(n)，于是可知：

φL(n)=φR(n)+sgn(φ(n))arccos(coh(n)),

(13)

式中：φ(n)∈[-0.5,0.5]是均勻分布的隨機(jī)數(shù)，sgn是符號函數(shù)，即左右輪相位角的相干關(guān)系.

2 基于輪轍功率譜密度陣LU分解的模擬算法

文獻(xiàn)[16]表明，不同輪轍不平度的功率譜矩陣為

(14)

文獻(xiàn)[14-15]經(jīng)過大量試驗給出了一種描述不同路面和輪距的路面不平度相干函數(shù)，

(15)

式中：B為左右輪的輪距，ρ為跟路面有關(guān)的經(jīng)驗值，由此可知coh(n)∈[0,1]. 所以式(14)中的譜陣可進(jìn)行矩陣分解，且分解為一個矩陣與其轉(zhuǎn)置的乘積，即G(n)=H(n)·HT(n)，文獻(xiàn)[17]給出了一種解：

(16)

但該矩陣解中沒有哪一個輪轍的譜是獨立于coh(n)的，不利于構(gòu)造具有輪轍相關(guān)性的2維路面. 這里提出一種基于LU分解的解，將不同輪轍的譜陣分解為一個下三角陣與其轉(zhuǎn)置的乘積，解為

于是，可以構(gòu)造兩個相互獨立、譜值為1的白噪聲w1(x)、w2(x)，其對應(yīng)的傅里葉變換為W1(n)、W2(n)，假設(shè)不同輪轍的譜陣是兩個白噪聲在H(n)濾波下生成，則

(18)

由隨機(jī)振動理論可知，式(18)中左右輪不平度的譜陣就是式(14)，于是，對式(18)進(jìn)行逆傅里葉變換，即可得到左右輪的不平度曲線,

(19)

(20)

式中θL(n)、θR(n)∈[0,2π]為均勻分布隨機(jī)數(shù).

3 路面生成及結(jié)果檢驗

針對相位角相干性模型，由式(12)(15)可得,

f(x,y)=

(21)

針對不同輪轍功率譜陣LU分解的模型，由式(20)、(15)可得

(22)

這就是兩種路面不平度生成的IFFT模型，利用Matlab按式(21) (22)編寫了兩種IFFT路面不平度曲面生成程序，用兩種方法對不同等級路面進(jìn)行了大量的仿真驗證，模擬所得的路面功率譜與標(biāo)準(zhǔn)譜完全吻合，左右輪相干性與參考函數(shù)也具有很好的一致性. 篇幅所限，不便一一列出，在此僅就ρ=1時的D級路面(即Gq(n0)=1 024×10-6(m2/m-1))的仿真情況進(jìn)行展示. 圖1所示路面縱向長度L=1 000 m，輪轍距離B=2.5 m，路面等級為D級，空間頻率范圍為0.011～2.830 m-1，垂向偏移為0 m的兩方法生成的兩輪轍路面不平度曲線，其中模型Ⅰ指基于不同輪轍相位角相干性的IFFT模型，模型Ⅱ指基于不同輪轍功率譜陣LU分解的IFFT模型.

圖2和圖3分別是在3維路面中截取的輪距B=2.5 m、ρ=1的左右輪輪轍功率譜密度和相干函數(shù)的仿真曲線與標(biāo)準(zhǔn)參考曲線的對比，從中不難看出，自功率譜幾乎重合，而不同輪轍間的相干函數(shù)也符合較好，這從側(cè)面驗證了本文推導(dǎo)的左右輪輪轍相位角的相干性關(guān)系以及由左右輪輪轍功率譜陣LU分解得到的傳遞關(guān)系是合理可信的. 圖3中兩模型的仿真相干性與指定參考函數(shù)及二者間均存在一定差異，其原因在于兩模型都是隨機(jī)模擬，在相干性方面確實容易出現(xiàn)離差，這是隨機(jī)模擬無法規(guī)避的問題.

4 結(jié) 論

基于IFFT法構(gòu)造了左右輪路面不平度特性，并根據(jù)左右輪不平度特性推演了左右輪輪轍的自功率譜和相干關(guān)系，由此得到路面重構(gòu)的IFFT法當(dāng)Ldn≈LΔn=1時，其與諧波疊加法是完全等價的關(guān)系，進(jìn)而借此獲得IFFT法中不同輪轍相位角的解析關(guān)系；同時也基于輪轍功率譜密度陣的LU分解得到了白噪聲濾波傳遞函數(shù)的解析表達(dá)，對不同輪轍不平度的Fourier函數(shù)進(jìn)行逆Fourier變換即得不同輪轍路面不平度曲線. 兩種IFFT模型均是解析模型，具有理論上的合理性；仿真結(jié)果表明，兩模型中各輪轍的自功率譜與標(biāo)準(zhǔn)功率譜吻合較好，輪轍間的相干性也與參考模型具有較好的一致性，從而驗證了基于左右輪相位角相干關(guān)系的IFFT模型和基于功率譜密度陣LU分解的IFFT模型也具有較好的仿真可信性，它們都能很好地用于2維路面不平度的數(shù)字模擬.