幾何畫板在初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題中的應(yīng)用探究

姜敏霞

摘要：幾何畫板是一款適用于數(shù)學(xué)教學(xué)的動(dòng)態(tài)幾何教學(xué)用具，它可以為教師提供了豐富且便捷的創(chuàng)造功能，可以使教師能夠根據(jù)教學(xué)任務(wù)自如地編輯出自己所需要的教學(xué)課件。同時(shí)這款軟件還為中考數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)問題的教學(xué)提供了豐富的教學(xué)手段，使教師方便教學(xué)，學(xué)生更加深刻理解各類動(dòng)點(diǎn)問題的精髓所在。

關(guān)鍵詞：幾何畫板;初中數(shù)學(xué);動(dòng)點(diǎn)問題;難題;中考

1.幾何畫板的背景及發(fā)展

幾何畫板軟件是一款優(yōu)秀的教學(xué)軟件，它是由美國Key Curriculum Press 公司制作并出版的。它能提供足夠多的方式方法幫助教師實(shí)現(xiàn)其教育教學(xué)思想，教師們只需要熟悉其簡單的使用方法就可以進(jìn)行課件的編輯，幾何畫板可以說是目前數(shù)學(xué)教學(xué)最出色的軟件之一。1996年，在人民教育出版社的幫助下，該公司在中國發(fā)行了幾何畫板的中文版，為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了極大的便捷，尤其是動(dòng)點(diǎn)問題方面。幾何畫板能夠直觀地展示出動(dòng)點(diǎn)的位置關(guān)系，運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)的變化規(guī)律，是解決初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題的關(guān)鍵。

面對中考數(shù)學(xué)當(dāng)中的動(dòng)點(diǎn)問題，幾何畫板可以提供多種功能來幫助教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)。如繪圖功能、計(jì)算功能、動(dòng)畫功能、變換功能以及文字功能。尤其是動(dòng)畫功能可以直觀地展示出動(dòng)點(diǎn)問題中的一些相對應(yīng)的動(dòng)畫，以幫助學(xué)生解決各類難題。

2.中考數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)難題

動(dòng)點(diǎn)問題是中考數(shù)學(xué)當(dāng)中的重要組成部分，也是中考數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)所在。要解決動(dòng)點(diǎn)問題，一是要搞清在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化的過程中，題目中有哪些圖形在發(fā)生變化，并在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相對靜止的那一瞬間，尋找變量之間的關(guān)系;二是學(xué)會(huì)運(yùn)用對應(yīng)的幾何知識(shí);三是要具體問題，具體分析，進(jìn)而達(dá)到解題目的。

如2019年衢州市的一道中考數(shù)學(xué)題：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接BM并延長分別交DE，AC于點(diǎn)F，G。求下列三個(gè)問題：

（1）求CD的長;

（2）若點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，求EF∶DF的值;

（3）請問當(dāng)DM的長滿足什么條件時(shí)，在線段DE上恰好只有一點(diǎn)P，使得∠CPG=60°？

這是一道典型的中考數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題，點(diǎn)M是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)F，G也會(huì)隨著M 的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。它的綜合性很強(qiáng)，對學(xué)生的動(dòng)手操作能力有很好的提升。通過教師在課堂上的講解，學(xué)生基本也能聽懂，但一到課下就不知道該如何動(dòng)筆。能聽懂，但又不知該如何面對新題，該怎么辦呢？幾何畫板的運(yùn)用，能夠很好地幫助學(xué)生解決這一難題。

3.幾何畫板在動(dòng)點(diǎn)問題中的應(yīng)用

我們可以運(yùn)用幾何畫板將上述問題直觀地展示出來，這樣能夠使該動(dòng)點(diǎn)問題的解決更加生動(dòng)形象化，使得學(xué)生對這一問題的理解更加深刻。如上述題目中的第（3）小題，當(dāng)線段DM的長度滿足什么條件時(shí)，在線段DE上恰好只有一點(diǎn)P，使得∠CPG=60°？

對于這個(gè)問題，我們可以引導(dǎo)學(xué)生先在草稿紙上畫出草圖，再把它放入幾何畫板當(dāng)中進(jìn)行解決。通過幾何畫板為學(xué)生演示該問題各種分類的精髓所在，以此加深學(xué)生對于動(dòng)點(diǎn)問題的理解和把握。

要使∠CPG=60°，我們可以過點(diǎn)C，P，G作外接圓，圓心為Q，則△CQG是頂角為120°的等腰三角形。如圖所示：

當(dāng)點(diǎn)M在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，○Q的大小在發(fā)生變化，其與線段DE 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)也在發(fā)生變化。根據(jù)幾何畫板上的動(dòng)態(tài)圖象，我們很容易就發(fā)現(xiàn)這么一個(gè)事實(shí)：當(dāng)點(diǎn)M在線段AD上從點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，○Q的半徑越來越大，，其與線段DE的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由0個(gè)變成1個(gè)再變成2個(gè)到最后又變回1個(gè)，如上圖。

當(dāng)○Q與線段DE的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由0個(gè)變成1個(gè)時(shí)，此時(shí)○Q與線段DE相切。如圖1，可作QH⊥AC于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)P。不妨設(shè)○Q的半徑為r，則QH=r，r+r=2，從而得出r=，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，就可以得出答案。

當(dāng)○Q與線段DE的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由1個(gè)變成2個(gè)時(shí)，此時(shí)○Q與線段DE相交。當(dāng)○Q經(jīng)過點(diǎn)E后，此時(shí)○Q與線段DE的交點(diǎn)恰好只有一個(gè)。如圖2，延長CQ交AB于點(diǎn)K，仍舊設(shè)○Q的半徑為r，在Rt△EQK中，QK=3-r，EQ=r，EK=1，根據(jù)勾股定理，解得半徑r=.再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，就可以得出答案;當(dāng)○Q經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，如圖3，此時(shí)點(diǎn)M，點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，可得DM=AD=4。

觀察上述三幅圖象可知：當(dāng)DM= 或時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P恰好只有1個(gè)。

4.結(jié)語

由于篇幅的限制，本文所列舉的例子較少，但這并不影響幾何畫板在初中數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用，尤其是動(dòng)點(diǎn)問題方面。教師進(jìn)修學(xué)校為此還特意開設(shè)有關(guān)幾何畫板的培訓(xùn)課程，教師通過參加此類培訓(xùn)，學(xué)習(xí)幾何畫板的繪圖功能、計(jì)算功能、動(dòng)畫功能、變換功能以及文字功能，可以增加幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的廣泛度。同時(shí)這也能提高學(xué)生對于動(dòng)點(diǎn)問題的理解和轉(zhuǎn)化能力，提升他們的學(xué)習(xí)自信心，在學(xué)習(xí)上更上一層樓。