相關(guān)于撓理論的（擬）連續(xù)模

李煜彥，何東林

（隴南師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)信學(xué)院，甘肅 隴南 742500）

1 引言及預(yù)備知識(shí)

具有extending 性質(zhì)的模類是內(nèi)射模類的真推廣，而（擬）連續(xù)模與extending 模和內(nèi)射模都有著非常緊密的聯(lián)系. 近年，許多作者研究了與（擬）連續(xù)模相關(guān)的問(wèn)題. 1998 年，López-Permouth[1]提出了相對(duì)（擬）連續(xù)模的概念，討論了（擬）連續(xù)模的性質(zhì)及其等價(jià)刻畫. 2007 年及2012 年，文獻(xiàn)[2]和[3]分別提出了τ-CS模概念，其中τ=(T,F)表示遺傳的撓理論. 2013 年及2017 年，文獻(xiàn)[4]和[5]研究了相關(guān)于撓理論的奇異和非奇異模，這類模跟τ-CS模有非常緊密的聯(lián)系. 2015 年及2017年，文獻(xiàn)[6]和[7]分別研究了C3模和C4模，這些模與（擬）連續(xù)模有非常緊密的聯(lián)系. 2011 年，Asgari等[8]給出了t-extending 模的概念，稱模M 是t-extending 模，如果M 的每個(gè)包含Z2(M)的閉子模是M的直和因子. 2017 年，Asgari[9]在t-extending 模的基礎(chǔ)上研究了t-連續(xù)模，證明了模M 是t-連續(xù)模當(dāng)且僅當(dāng)M 是t-extending 模和的自同態(tài)環(huán)是Von Neumann 正則環(huán). 受此啟發(fā)，本文提出了模M 是τ-N-（擬）連續(xù)模的概念，給出了模M 是τ-N-extending模的等價(jià)刻畫，并對(duì)短正合序列0→ N1→ N → N2→ 0，證明了M 是τ-N-(擬)連續(xù)模當(dāng)且僅當(dāng)M 是τ-N1-和τ-N2-（擬）連續(xù)模.

本文中的環(huán)都是有單位元的結(jié)合環(huán)，模指酉右R-模. 稱N 是M 的τ-稠密（純）子模，如果是τ-撓(自由)模，記為 N ≤τ-dM(N ≤τ-pM)，用表示由M 的所有τ-稠密子模構(gòu)成的集合. 稱N是M 的τ-基本子模，如果 N ≤τ-dM 且N≤eM，記為 N ≤τ-eM，此時(shí)也稱M 是N 的τ-基本擴(kuò)張. 如果N 沒(méi)有真τ-基本擴(kuò)張，則稱N 是M 的τ-閉子模. 稱L 是N 在M 中的τ-基本閉包，如果 N ≤τ-eL，且L 是M 的τ-閉子模. 設(shè) K,N ≤M,稱K 是N 在模M 中的τ-補(bǔ)，如果K 是N∈ Dτ(M)}中的極大元. 設(shè)M ,N 是模，定義模族

由文獻(xiàn)[1]知，A(N,M)關(guān)于子模、基本擴(kuò)張和同構(gòu)像封閉.

定義1[1]設(shè)M 是模，稱M 分別是 N-extending模、N-連續(xù)模、N-擬連續(xù)模、如果M 分別滿足N-(C1),N-(C1)和N-(C2),N-(C1)和N-(C3).

引理1[1]設(shè)M 是模，N≤M，K 是M 的直和因子，則K 是N 在M 中的補(bǔ)當(dāng)且僅當(dāng) K∩N=0，且 K⊕N≤eM.

引理2[2]設(shè)M 是模，K ,N≤M，則K 是N 在M 中的τ-補(bǔ)當(dāng)且僅當(dāng)K 是N 在M 中的補(bǔ)，且K⊕N∈ Dτ(M).

由引理1 和引理2 易得如下引理.

引理 3設(shè)K ,N≤M，K 是模M 的直和因子，則K 是N 在M 中的τ-補(bǔ)當(dāng)且僅當(dāng) K∩N=0，且K⊕N ≤τ-eM.

設(shè)M ,N 是模，定義模族

易知，Aτ(N,M)關(guān)于τ-子模、τ-基本擴(kuò)張和τ-同構(gòu)像封閉.

設(shè) W=Aτ(N,M)，考慮如下3 個(gè)條件：

1）Nτ-(C1)對(duì)任意W∈ A，存在M 的直和因子K ，使得 W ≤τ-eK ;

2）Nτ-(C2)對(duì)任意W∈ A以及M 的任意直和因子L，如果，那么W 是M 的直和因子；

3）Nτ-(C3)對(duì)任意W∈ A以及M 的任意直和因子L，如果W 是M 的直和因子且 W∩L=0，W⊕L∈ Dτ(M)，那么W⊕L是M 的直和因子.

下面根據(jù)Nτ-(C1)，Nτ-(C2)和Nτ-(C3)條件，分別給出τ-N-extending模、τ-N-連續(xù)模、τ-N-擬連續(xù)模的概念.

定義2設(shè)M ,N 是模. 稱M 分別是τ-N-extending模、τ-N-連續(xù)模、τ-N-擬連續(xù)模，如果M 分別滿足Nτ-(C1)，Nτ-(C1)和Nτ-(C2)，Nτ-(C1)和Nτ-(C3).

顯然，若M 分別是 N-extending模(N-連續(xù)模、N-擬連續(xù)模)，則M 分別是τ-N-extending模(τ-N-連續(xù)模、τ-N-擬連續(xù)模).

2 主要結(jié)論

先給出τ-N-extending模的等價(jià)刻畫.

性質(zhì)1設(shè)M ,N 是模，A=Aτ(N,M). 則以下等價(jià)：

1）M 是τ-N-extending模；

2）對(duì)任意L∈ A，存在M 的直和因子K ，使得 K∩L=0，且 K⊕L ≤τ-eM ；

3）對(duì)任意L∈ A，存在L 的τ-補(bǔ)K ，使得K 是模M 的直和因子；

4）對(duì)任意L∈ A，以及L 的任意一個(gè)τ-基本閉包N，存在M 的直和因子K ，使得K 是N 的τ-補(bǔ)；

5）對(duì)任意L∈ A，以及L 的任意一個(gè)τ-基本閉包N ，存在M 的直和因子K ，使得 K∩L=0，且K⊕L ≤τ-eM ；

6）對(duì)任意L∈ A，存在L 的τ-基本閉包N，使得N 是M 的直和因子；

7）對(duì)任意M 的τ-閉子模K ，若K∈ A，則K 是M 的直和因子.

證明1）?2）設(shè) L ≤τ-dM ，由于M 是τ-N-extending模，故存在M 的直和因子K ，使得 L ≤τ-eK .設(shè)M=K⊕K′，由L≤K知，L∩K′=0. 又因?yàn)樗?L ≤τ-eK . 從而L⊕K′ ≤τ-eK⊕K′=M .

2）?3）由引理3 易證.

3）?4）設(shè) L ≤τ-dM ，N 是L 的一個(gè)τ-基本擴(kuò)張. 由3）知，存在L 的τ-補(bǔ)K ，使得K 是模M的直和因子. 于是有 N∩K=0，L⊕K ≤τ-dM 且L⊕K≤N⊕K≤M ，由引理3 知，N⊕K ≤τ-dM . 另一方面，設(shè)K≤B且 N∩B=0，N⊕B∈ Dτ(M)，因?yàn)镵 是L 的τ-補(bǔ)，所以K=B，從而證得K 是N的τ-補(bǔ).

5）?1）對(duì)任意 L ≤τ-dM ，設(shè)N 是L 的一個(gè)τ-基本閉包，則由5）知，存在M 的直和因子K ，使得 K∩N=0，且 K⊕N ≤τ-eM . 設(shè)M=K⊕K′，易知 L ≤τ-dK′，又由 L ≤τ-eK 可得，L⊕K ≤eN⊕K≤eM=K′⊕K. 從而 L ≤τ-eK′.

1）?6）及1）?7）由定義2 和文獻(xiàn)[1][2]易證.

由 Aτ(N,M)的封閉性，易得下面結(jié)論.

性質(zhì)2模M 是τ-M-（擬）連續(xù)模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意模N，M 是τ-N-（擬）連續(xù)模.

證明因?yàn)棣邮沁z傳撓理論，所以 Aτ(N,M)關(guān)于τ-稠密子模、τ-基本擴(kuò)張、τ-同構(gòu)像封閉. 故Aτ(M,M)以及等于M 的τ-稠密子模構(gòu)成的集合. 即結(jié)論成立.

定理1設(shè)M 是模，是短正合序列. 則以下結(jié)論成立：

2）M 是τ-N-extending模當(dāng)且僅當(dāng)M 分別是τ-N1和τ-N2-extending；

3）對(duì)任意 K∈Aτ(N,M)，存在使得 K=K1⊕K2.

證明1）不妨設(shè) N1≤N，易得

另一方面，設(shè) W∈Aτ(N2, M)，則存在 X ≤τ-dN2以及 f∈Hom(X,M)，使得 f(X)≤τ-eW . 而由g 滿知，存在Y≤N，使得 X=g(Y). 從而 f(X)=f(g(Y))≤τ-eW ，即 W∈Aτ(N,M).

2）充分性. 設(shè)M 是τ-N1和τ-N2-extending模. 不失一般性，不妨設(shè)設(shè)W∈Aτ(N,M)，則存在 X ≤τ-dN 以及 f∈Hom(X,M)，使得 f(X)≤τ-eW . 令K 是W 在M 中的τ-閉包，K′是 f(X∩N1)在K 中的τ-閉包. 則下證K 是M 的直和因子即可.

由K′∈ Aτ(N1,M)以及M 是τ-N1-extending模知，K′是M 的直和因子. 則存在K′≤M，使得M=K′⊕K′故是標(biāo)準(zhǔn)投射. 令顯然h是同態(tài)映射. 設(shè) 0≠y∈ K∩ K''，由于則 存 在 r∈R, x∈X ，使 得 0≠yr=f(x)=πf(x)=h(x+N1)，所以因 為，K∩ K′是K的τ- 閉子模，因而也是M的τ- 閉子模，又K∩K′∈Aτ(N2, M)以及M 是τ-N2-extending模知，K∩ K′是M的直和因子. 故存在L≤M，使得M=(K∩ K′)⊕L. 于是

即K∩ K′也是K′的直和因子，從而 K=K′ ⊕(K∩ K′)是M 的直和因子.

必要性. 由1）易得.

3）由2）的證明過(guò)程知，對(duì)任意 K∈Aτ(N,M)，存在 K1,K2≤M，使得 M=K1⊕K2，K1≤K，且K=K∩ M=K∩(K1⊕K2)=K1⊕(K∩ K2)，其中 K1∈Aτ(N1, M),K2∩K∈Aτ(N2, M).

下面給出M 是τ-N-（擬）連續(xù)模的等價(jià)刻畫.

定理2設(shè)M 是模，是短正合序列，則M 是τ-N-（擬）連續(xù)模當(dāng)且僅當(dāng)M 是τ-N1和τ-N2-（擬）連續(xù)模.

證明充分性. 設(shè)M 是τ-N1和τ-N2-（擬）連續(xù)模，則由定理1 知，M 是τ-N-extending模. 下面先證M 滿足Nτ-(C3)條件.

設(shè)W 和L 是M 的直和因子，且 W∈Aτ(N,M), W∩L=0, W⊕L∈ Dτ(M). 由定理1 的3）知，存在 A1∈Aτ(N1, M)和 A2∈Aτ(N2, M)，使得 W=A1⊕A2. 因?yàn)镸 是τ-N2-擬連續(xù)模，故 L⊕A2是M 的直和因子，從而 W⊕L=(A1⊕A2)⊕L=A1⊕(A2⊕L). 即W⊕L是M 的直和因子，所以M 是τ-N-擬連續(xù)模.

再 證M 滿 足Nτ-(C2)條件. 設(shè) W∈Aτ(N,M)，L 是M 的 直 和 因 子，且W?L. 于 是 存 在A1∈Aτ(N1, M)和 A2∈Aτ(N2, M)，使得 W=A1⊕A2. 且 A1和 A2都同構(gòu)于M 的直和因子，由M 是τ-N1和τ- N2-連續(xù)模知，A1和 A2都是M 的直和因子，從而W 是M 的直和因子. 所以M 是τ-N-連續(xù)模.

必要性. 由定理1 易證.

由定理2 容易得到，τ-N-extending（擬）連續(xù)模關(guān)于有限直和是封閉的.

推論1設(shè)M ,是模，若M 是τ-Ni-extending （擬）連續(xù)模(i=1,2,…,n)，則M 是τ-N-extending（擬）連續(xù)模.