三種群競爭合作非局部擴散時滯系統(tǒng)行波解的存在性

姚美萍,喬鵬芝,王飏

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

0 引言

近年來,如下帶有時滯的三種群競爭合作反應(yīng)擴散系統(tǒng)得到一定的關(guān)注[1],

(1)

其中,ui(x,t)表示3個種群的種群密度,di>0,ri>0, 0≤aij<1,τij≥0,i,j=1, 2, 3。事實上,可以看出,在系統(tǒng)(1)中,種群u1和u2相互合作并且同時與u3進行競爭。

(2)

進一步,對系統(tǒng)(2)中的參數(shù)和核函數(shù)做出如下假設(shè):d1=d2=d,a31k1+a32k2>1,且核函數(shù)Ji(i=1, 2, 3)滿足

(P1)J1=J2=J;

本文將研究系統(tǒng)(2)連接平衡點E1和E2的行波解的存在性問題。

1 行波解的存在性

本節(jié),我們考慮系統(tǒng)(2)行波解的存在性問題。事實上,如果向量函數(shù)

ξ=x+ct,ξ∈R,c>0,

且滿足如下方程

(3)

及邊界條件

(4)

其中,

則稱Φ(ξ)是系統(tǒng)(2)的連接E1和E2的行波解。

(5)

則系統(tǒng)(2)存在連接平衡點E1和E2的行波解對應(yīng)于系統(tǒng)(5)存在連接平衡點(0, 0, 0)和(k1,k2, 1)的行波解。經(jīng)變量替換后,邊值問題(3)-(4)相應(yīng)的轉(zhuǎn)化為如下邊值問題

(6)

及

(7)

其中,

因此,我們只需證明邊值問題(6)-(7)的解的存在性問題。

現(xiàn)在,我們給出系統(tǒng)(6)的上下解的定義。令

為了構(gòu)造系統(tǒng)(6)的上下解,令

(8)

通過簡單計算不難得到如下引理。

在本文中,我們給出如下假設(shè):

(P4)r1(1-a13)=r2(1-a23)。

當(dāng)(P4)成立時,由(8)式可知:

Δ1(λ,c)=Δ2(λ,c):=Δ(λ,c)。

進一步,引理1退化為下述推論。

為方便起見,令

φiξ(s)=φi(ξ+s) (i=1, 2, 3),s∈[-cτ, 0],

τ=max{τij} (i,j=1, 2, 3)。

通過直接計算可得,當(dāng)

β1>d+2r1k1+λ,β2>d+2r2k2+λ,

β3>d3+r3(1+a31k1+a32k2)+λ,

且τii=0時,函數(shù)fi(φ1,φ2,φ3) (i=1, 2, 3)滿足文[5]所定義的擬單調(diào)條件(QM);

而當(dāng)

β1>d+r1k1(eβ1τ11+1)+λ,

β2>d+r2k2(eβ2τ22+1)+λ,

β3>d3+r3(eβ3τ33+a31k1+a32k2)+λ,

且τii充分小時,函數(shù)fi(φ1,φ2,φ3) (i=1, 2, 3)滿足文[5]所定義的弱擬單調(diào)條件(QM)*。

接下來,我們將通過兩個引理證明,當(dāng)c>c*時,如下定義的函數(shù)是系統(tǒng)(6)的上下解,

引理2 假設(shè)(P1)-(P4)成立,且滿足

(9)

r3(a31k1+a32k2)≤r1(1-a13)。

(10)

結(jié)合τ11<τ1j(j=2, 3),有

r1k1[1-a13-k1eλ(ξ-cτ11)+a12k2+a13eλ(ξ-cτ13)]=r1k1[k1(1-eλ(ξ-cτ11))-a13(1-eλ(ξ-cτ13))]。

令g(ξ,y)=k1(1-eλ(ξ-cy))-a13(1-eλ(ξ-cτ13))，當(dāng)ξ=0時,

g(0,y)=k1(1-e-λcy)-a13(1-e-λcτ13)∶=h(y)。

當(dāng)y=0時,

h(0)=-a13(1-e-λcτ13)<0。

那么

dk1(eλξ-q1eη1λξ)-ck1(λeλξ-q1η1λeη1λξ)+r1k1(eλξ-q1eη1λξ)[(1-a13)-k1(eλ(ξ-cτ11)-q1eη1λ(ξ-cτ11))]≥

由引理1-3,我們可以得到本文的主要結(jié)論。

定理1假設(shè)(P1)-(P4),(9)-(10)成立,并且τii充分小或τii=0 (i=1,2,3)，當(dāng)c≥c*時,對于系統(tǒng)(5),存在連接平衡點(0,0,0)和(k1,k2,1)的行波解Φ(ξ),且

(11)

證明當(dāng)c>c*時,由文[6]及其參考文獻易知,系統(tǒng)(5)存在連接平衡點(0, 0, 0)和(k1,k2, 1)的行波解。當(dāng)c=c*時,由Helly定理[7-11]易知,系統(tǒng)(5)存在連接平衡點(0, 0, 0)和(k1,k2, 1)的行波解。接下來,我們討論漸近行為。通過上下解的定義和函數(shù)的迫斂性可知

另外,

2 行波解的不存在性

定理2 當(dāng)0

證明利用反證法討論λ>0,c