求平面法向量的策略

汪朝寬

【摘 要】本文闡明方程組法和截距法兩種法向量的求法，以例講解求平面法向量的三種策略，說明具體的解法，提出求法向量的五個要點。

【關(guān)鍵詞】空間向量 法向量 方程組法 截距法

【中圖分類號】G? 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）05B-0119-02

在高考中，立體幾何的考查往往是兩個小題和一個大題，共 22 分，而且大題都是屬于中低檔題目，考生務(wù)必拿到滿分。其中，理科的大題一般第一問是證明線線關(guān)系或者線面關(guān)系，第二問是求線面角或者二面角。從近幾年的高考題來看，考查的方向都是要求學(xué)生利用空間向量來解答第二問。而在求平面法向量當(dāng)中，不少考生解法不對，導(dǎo)致該題拿不到滿分。下面談一談求平面法向量的策略，這個策略既快速又不容易錯，值得借鑒。

一、法向量的求法

（一）方程組法

利用法向量與平面垂直的判定定理，在平面內(nèi)任取兩個不共線向量。由于法向量與它們垂直，可構(gòu)造一個三元一次方程組。

（二）截距法

若該平面在 x，y，z 軸的截距分別為 a，b，c（abc≠0），則法向量為 （在高考解答中不能直接用）。證明如下：

〖證明〗如圖 1，A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c），則 =（-a，b，0），=（0，-b，c）

設(shè)平面 ABC 的法向量為 =（x，y，z），則

，取，則。

二、舉例分析

〖例 1〗（2017 年全國Ⅰ卷理科 18）如圖 2，在四棱錐 P-ABCD 中，AB∥CD，且 ∠BAP=∠CDP=90°。

（Ⅰ）證明：平面 PAB⊥平面 PAD;

（Ⅱ）若 PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角 A-PB-C 的余弦值。

〖解〗（Ⅰ）略

（Ⅱ）取 AD 中點為 O，BC 中點為 E，連接 PO，EO，如圖 3 所示。

∵ AB∥CD，且 AB=CD，四邊形 ABCD 是平行四邊形

∴? AB∥OE，且 AB=OE

由（Ⅰ）知 AB⊥平面 PAD，知 OE⊥平面 PAD，OE⊥AD，OE⊥PO;

又∵ PA=PD

∴ PO⊥AD

即 OA，OE，OP 兩兩垂直。

以 OA，OE，OP 分別為 x，y，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 O-xyz，設(shè) PA=2，則

設(shè)平面 PAB 的法向量為 =（x，y，z），則

（說明：選擇 ，能使方程組容易計算。策略 1：列方程組時盡量選擇與坐標(biāo)軸平行或者在坐標(biāo)面內(nèi)的向量，這種向量的坐標(biāo)有 0，方程組好解。也可以列好方程后不解，用截距法來求該法向量，然后直接寫上去，平面 PAB 在 x 軸和 z 軸上的截距為? 和 ，與 y 軸平行，截距為 +∞，所以法向量為 ，可取 。策略 2：列方程組求法向量時，可以列好方程后，利用截距法來求法向量，確保不會錯）

同理可得平面 PBC 的法向量為 。

（說明：第二個平面的法向量可以寫“同理可得”，用截距法來求，平面 PBC 在 y 軸和 z 軸上的截距為 2 和 ，與 x 軸平行，截距為 +∞，所以法向量為 ，可取 ，讓向量的坐標(biāo)為整數(shù)，確保兩個法向量一進一出。策略 3：第二個平面的法向量可以寫“同理可得”，用截距法來求）

設(shè)二面角 A-PB-C 的大小為 θ，則

故二面角 A-PB-C 的余弦值為 。

〖例 2〗（2017 年全國Ⅲ卷理科 19）如圖 4，四面體 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD ，AB=BD。

（Ⅰ）證明：平面 ACD⊥平面 ABC;

（Ⅱ）過 AC 的平面交 BD 于點 E，若平面 AEC 把四面體 ABCD 分成體積相等的兩部分，求二面角 D-AE-C 的余弦值。

〖解〗（Ⅰ）略

（Ⅱ）由題知 VD-ACE=VB-ACE，所以 D 到平面 ACE 的距離與 B 到平面 ACE 的距離相等，故 E 是 BD 的中點。

由（Ⅰ）知 OA，OC，OD 兩兩垂直，以 OA，OB，OD 分別為 x，y，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 O-xyz。

設(shè) ，則

設(shè)平面 ACE 的法向量為? =（x，y，z），則

（說明：列方程組可選擇 ，但是? 不在坐標(biāo)面內(nèi)，向量的坐標(biāo)沒有 0，而? 在平面 yOz 面內(nèi)，所以選擇向量時不一定選擇這三點連線的邊界。平面 ACE 經(jīng)過原點，在 x，y，z 軸上的截距有 0，0 的倒數(shù)不存在，所以平面 ACE 的法向量不能用截距法來求。策略 4：經(jīng)過原點的平面只能用方程組來求法向量，不能用截距法來求）

同理可得平面 ADE 的法向量為 。

（說明：平面 ADE 的法向量就是平面 ADB 的法向量，在 x，y，z 軸上的截距分別為 ，所以法向量為 ，可取 ，讓向量的坐標(biāo)為整數(shù)，確保兩個法向量一進一出）

設(shè)二面角 D-AE-C 的大小為 θ，則

三、求法向量的五個要點

1.列方程組時盡量選擇與坐標(biāo)軸平行或者在坐標(biāo)面內(nèi)的向量，這種向量的坐標(biāo)有 0，方程組好解;

2.法向量的坐標(biāo)取整數(shù)，方便計算;

3.列方程組求法向量時，可以列好方程后，利用截距法來求法向量，確保不會錯;

4.第二個平面的法向量可以寫“同理可得”，用截距法來求;

5.如果一個平面過原點，那么該平面的法向量用方程組來求，另一個用截距法求。

（責(zé)編 盧建龍）