誤差異分布概率預(yù)報模型在運河站洪水預(yù)報中的應(yīng)用研究

董家根， 胡義明， 羅俐雅*， 梁忠民

(1.江蘇省水文水資源勘測局， 江蘇 南京 210029； 2.河海大學(xué)水文水資源學(xué)院， 江蘇 南京 210098)

1 概 述

洪水預(yù)報是流域防洪減災(zāi)工作中重要的非工程措施。由于自然水文過程的復(fù)雜性和人類認(rèn)識水平的局限性，洪水預(yù)報不可避免地存在諸多不確定性，從而導(dǎo)致洪水預(yù)報結(jié)果的不確定性。為了定量描述洪水預(yù)報的不確定性，洪水概率預(yù)報理念逐漸獲得重視，成為水文預(yù)報領(lǐng)域的重要研究熱點之一。

縱觀國內(nèi)外諸多洪水概率預(yù)報方法，大體可分為全要素耦合和總誤差分析兩大類途徑[1]。全要素耦合類方法是在識別和量化降雨—徑流過程各環(huán)節(jié)不確定性要素基礎(chǔ)上，通過耦合各要素的不確定性，最終實現(xiàn)概率預(yù)報，如貝葉斯總誤差分析方法[2]、貝葉斯綜合不確定性估計方法[3]等?？傉`差分析類方法是直接對預(yù)報結(jié)果的不確定性進(jìn)行量化，而不處理預(yù)報各環(huán)節(jié)的不確定性，最終以預(yù)報量后驗分布的形式實現(xiàn)概率預(yù)報，如貝葉斯概率預(yù)報系統(tǒng)[4-5]、模型條件處理器法[6]等?？紤]到不同流量量級下洪水預(yù)報誤差不同，在誤差總分析框架下發(fā)展了若干典型的考慮預(yù)報誤差異分布的概率預(yù)報方法，如Steenbergen等[7]構(gòu)建了三維誤差矩陣以反應(yīng)不同洪水量級預(yù)報誤差分布規(guī)律的不同；梁忠民等[1]通過構(gòu)建預(yù)報誤差的均值與流量的定量關(guān)系，進(jìn)而提出了誤差異分布概率預(yù)報模型，實現(xiàn)了洪水概率預(yù)報。

本文在分析運河站的洪水預(yù)報誤差統(tǒng)計規(guī)律基礎(chǔ)上，采用誤差異分布概率預(yù)報模型開展洪水概率預(yù)報研究，提供洪水預(yù)報傾向值和預(yù)報區(qū)間成果，豐富了運河站的洪水預(yù)報信息。

2 方法原理

2.1 誤差異分布概率預(yù)報模型

誤差異分布概率預(yù)報模型考慮了不同洪水量級下洪水預(yù)報誤差的非平穩(wěn)性特征[1]。若將Y和M分別記作預(yù)報量的真實值及確定性預(yù)報值，(Y，M)代表了至預(yù)報時刻所能獲取的所有歷史信息，則未來t時刻預(yù)報量yt的預(yù)測不確定性可以記作f(yt|mt，Y，M)，其中，mt為t時刻的確定性預(yù)報值。預(yù)報誤差為

(1)

由于模型預(yù)報值在預(yù)報時刻是已知量，則t時刻預(yù)報量yt可以視作預(yù)報誤差的函數(shù)，即，

yt|mt=B(ε)

(2)

式中，B(ε)為預(yù)報誤差的函數(shù)。

則預(yù)測不確定性可以寫作：

f(yt|mt，Y，M)=f(B(ε)|Y，M)

(3)

即f(yt|mt，Y，M)的推求可以轉(zhuǎn)化為誤差條件概率g(ε|Y，M)函數(shù)的概率分布推求問題。假定預(yù)報誤差的先驗分布為正態(tài)分布，即，

ε～N(μ,σ2)

(4)

式中，μ為誤差先驗分布均值，σ為誤差先驗分布標(biāo)準(zhǔn)差。

大量研究發(fā)現(xiàn)，預(yù)報誤差的分布函數(shù)與流量級別密切相關(guān)，因此假定誤差的均值與標(biāo)準(zhǔn)差和流量具有函數(shù)關(guān)系：

E(ε|Y，M)=H(Mt)

(5)

Std(ε|Y，M)=L(Mt)

(6)

式中，E為均值函數(shù)，Std為標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)，H和L為函數(shù)關(guān)系，其具體形式不定。由此可以推得預(yù)報誤差的后驗分布：

(7)

因此，結(jié)合式(3)可以推得預(yù)報量的條件概率分布為

(8)

2.2 預(yù)報評價指標(biāo)

概率預(yù)報模型在提供定值預(yù)報(如中位數(shù)預(yù)報Q50)的同時，還可以提供某一置信度下的洪水預(yù)報區(qū)間(如90%預(yù)報區(qū)間)，為此，概率預(yù)報成果的評價可以分為定值預(yù)報成果評價和預(yù)報區(qū)間成果評價。具體而言，針對定值預(yù)報結(jié)果(Q50)，采用如下3項指標(biāo)進(jìn)行預(yù)報精度評價。

(1)次洪徑流深相對誤差

ΔR=[(Robs-Rc)/Robs]×100%

(9)

(2)洪峰相對誤差

ΔQm=[(Qm,obs-Qm,c)/Qm,obs]×100%

(10)

(3)確定性系數(shù)

(11)

針對預(yù)報區(qū)間成果，采用如下2項指標(biāo)進(jìn)行評價：

(1)覆蓋率

(12)

(2)離散度

DI=(qui-qdi)/Qi,obs

(13)

式中，qui、qdi分別為第i時刻概率預(yù)報區(qū)間(具有某一置信度，如90%)的上、下限；Qi,obs為第i時刻實測流量；N為預(yù)報總時段數(shù)。

3 應(yīng)用研究

3.1 確定性預(yù)報

本次選取運河站以上流域2003—2010年間10場洪水進(jìn)行新安江模型的率定與驗證，其中，2003—2008年間的8場洪水用于模型率定，2009—2010年間的2場洪水用于模型驗證，計算步長Δt=2 h。表1給出了新安江模型參數(shù)的率定結(jié)果，表2給出了洪水預(yù)報精度的統(tǒng)計結(jié)果。

表1 新安江模型參數(shù)率定結(jié)果

表2 率定期和驗證期洪水模擬效果分析成果

由表2可以看出，場次洪水洪峰相對誤差均在15%以內(nèi)，除20070627場次外，其余場次洪量相對誤差均在20%以內(nèi)，平均確定性系數(shù)為0.55。

3.2 預(yù)報誤差分析結(jié)果

基于新安江模型的模擬預(yù)報結(jié)果，分析了上述10場洪水預(yù)報相對誤差與新安江模型預(yù)報流量值的關(guān)系，如圖1所示。

圖1 預(yù)報相對誤差與新安江模型流量預(yù)報值關(guān)系

由圖1可知，高、低流量預(yù)報值呈現(xiàn)出不同的相對誤差特征規(guī)律，高流量預(yù)報值的相對誤差變幅較小，而低流量預(yù)報值的相對誤差變幅較大。為進(jìn)一步分析預(yù)報相對誤差的統(tǒng)計規(guī)律，根據(jù)預(yù)報量的大小對預(yù)報量進(jìn)行分組，求得不同組別預(yù)報相對誤差的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，進(jìn)而繪制誤差均值與誤差標(biāo)準(zhǔn)差變化趨勢，如圖2所示。

圖2 相對誤差均值和標(biāo)準(zhǔn)差與確定性預(yù)報值關(guān)系

由圖2可知，相對誤差均值、標(biāo)準(zhǔn)差隨模型預(yù)報值呈線性變化：模型預(yù)報值在0～504 m3/s時，相對誤差均值隨預(yù)報值呈遞增趨勢；預(yù)報值在504～943 m3/s時，相對誤差均值呈遞減趨勢；預(yù)報值在943 m3/s以上時，相對誤差均值再次呈遞增趨勢。模型預(yù)報值在0～1 090 m3/s時，相對誤差標(biāo)準(zhǔn)差雖波動較大，但總體呈遞減趨勢；預(yù)報值在1 090～1 290 m3/s時，相對誤差標(biāo)準(zhǔn)差也呈遞減趨勢，但遞減趨勢變大；預(yù)報值在1 290 m3/s以上時，相對誤差標(biāo)準(zhǔn)差仍呈遞減趨勢，但遞減趨勢變緩。

由于相對誤差均值、標(biāo)準(zhǔn)差與預(yù)報值呈現(xiàn)分段線性關(guān)系，為此，采用分段線性方程進(jìn)行擬合，擬合效果如圖3所示。

圖3 相對誤差均值、標(biāo)準(zhǔn)差與預(yù)報流量擬合

3.3 概率預(yù)報結(jié)果

根據(jù)預(yù)報流量的概率密度函數(shù)，計算中位數(shù)預(yù)報結(jié)果(Q50)和90%置信水平對應(yīng)的預(yù)報區(qū)間。采用次洪徑流深相對誤差、洪峰相對誤差及確定性系數(shù)評估中位數(shù)預(yù)報結(jié)果的精度，采用覆蓋率和離散度指標(biāo)評估預(yù)報區(qū)間成果的可靠性。評價結(jié)果見表3。

由表3可以看出，就概率預(yù)報模型提供的中位數(shù)(Q50)定值預(yù)報結(jié)果而言，10場洪水的次洪徑流深相對誤差、洪峰相對誤差均在20%以內(nèi)；10場洪水的次洪徑流深相對誤差絕對值的平均值為9.6%，洪峰相對誤差絕對值的平均值為5.3%，確定性系數(shù)平均值為0.69；就概率預(yù)報模型提供的90%置信區(qū)間而言，10場洪水的平均覆蓋率達(dá)93.4%，平均離散度為1.2，表明90%預(yù)報區(qū)間能覆蓋絕大多數(shù)的實測數(shù)據(jù)。

表4給出了概率預(yù)報模型提供的中位數(shù)(Q50)定值預(yù)報結(jié)果與新安江模型原始預(yù)報結(jié)果的精度對比分析結(jié)果。由表4中可知，概率預(yù)報模型提供的Q50定值預(yù)報結(jié)果要優(yōu)于新安江模型原始預(yù)報結(jié)果的精度，經(jīng)概率預(yù)報模型處理后，10場洪水的平均確定性系數(shù)由0.55提高到0.69，確定性系數(shù)大于0.5的洪水場次數(shù)由5場提高到8場；10場洪水的次洪徑流深相對誤差絕對值的平均值由11.0%減小到9.6%；洪峰相對誤差絕對值的平均值由5.1%到5.3%，無明顯差異。

為了更為直觀地顯示概率預(yù)報模型的預(yù)報效果，圖4提供了20050919場洪水的新安江模型預(yù)報結(jié)果、概率預(yù)報模型的中位數(shù)Q50預(yù)報結(jié)果、90%置信度下的預(yù)報區(qū)間結(jié)果以及實測流量過程對比圖。從圖4可知，概率預(yù)報模型提供的Q50定值預(yù)報與實測流量過程更為吻合，且90%預(yù)報區(qū)間可以覆蓋絕大多數(shù)的實測流量。

圖4 20050919號洪水的概率預(yù)報結(jié)果

4 結(jié) 論

(1)分析了運河站洪水預(yù)報誤差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差與預(yù)報流量間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)洪水預(yù)報誤差的均值和標(biāo)注差與模型預(yù)報量間存在顯著的分段線性關(guān)系，采用分段線性函數(shù)建立了預(yù)報誤差的均值、預(yù)報流量和預(yù)報誤差的標(biāo)準(zhǔn)差、預(yù)報流量間的描述關(guān)系。

(2)采用次洪徑流深相對誤差、洪峰相對誤差及確定性系數(shù)3個指標(biāo)， 評估了原始確定性模型預(yù)

表3 率定期和驗證期洪水概率預(yù)報評估結(jié)果

表4 概率預(yù)報模型的Q50預(yù)報結(jié)果與新安江模型預(yù)報結(jié)果對比

報精度和誤差異分布模型的中位數(shù)(Q50)預(yù)報精度。結(jié)果表明，經(jīng)誤差異分布模型處理后，洪水預(yù)報精度得到進(jìn)一步的提高。

(3)基于覆蓋率和離散度指標(biāo)，評估了誤差異分布模型計算的90%置信度預(yù)報區(qū)間對實測系列的覆蓋率。結(jié)果表明，10場洪水的平均覆蓋率達(dá)93.4%，平均離散度為1.2， 90%預(yù)報區(qū)間能覆蓋絕大多數(shù)的實測數(shù)據(jù)。