高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和的常用方法

◎龔 言 李 敏 （.北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 吉林 303；.吉林省磐石市第五中學(xué)校，吉林 磐石 3300）

數(shù)列求和的常用方法有：公式法、分組求和法、倒序相加法、裂項相消法、錯位相減法、并項求和法.

一、公式法

此方法具有很強(qiáng)的針對性，觀察數(shù)列通項公式，如果一個數(shù)列是等差數(shù)列或是等比數(shù)列，即可直接用等差或等比數(shù)列的前n項和公式求解.

例1已知數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，公比q＜1，且a2＝2，a1＋a2＋a3＝7.

（1）求｛an｝的通項公式；

（2）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列｛bn｝的前n項和.

解（1）由已知，得

所以an＝ 23－n.

（2）因為bn＝log2an＝log223－n＝ 3－n，所以數(shù)列｛bn｝是以2 為首項、－1 為公差的等差數(shù)列.

設(shè)數(shù)列｛bn｝的前n項和為Tn，

二、分組求和法

分組求和法一般適用于通項公式為如下兩種形式的數(shù)列：

（1）若an＝bn±cn，且｛bn｝，｛cn｝為等差數(shù)列或等比數(shù)列，可采用分組求和法求｛an｝的前n項和.

｛bn｝，｛cn｝是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和.

例 2已知數(shù)列｛an｝的通項公式an＝ 2n＋n.求a1＋a2＋a3＋…＋an的值.

反思與感悟一些數(shù)列通過適當(dāng)分組，可以得到兩個或幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和.

三、倒序相加法

如果一個數(shù)列｛an｝，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，那么求這個數(shù)列的前n項和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和即用此法推導(dǎo)的.

例 3已知f（99）＋f（100）的值.

解由題意，得

四、裂項相消法

如果一個數(shù)列的通項可拆成兩項之差，然后重新組合，使中間的項可以相互抵消，那么求此類數(shù)列前n項和用裂項相消法，裂項相消求和經(jīng)常用到的拆項公式如下：

例4求的和.

解∵此數(shù)列的前n項和

反思與感悟若數(shù)列的通項公式可以化為f（n＋1）－f（n）的形式，則在數(shù)列求和時，就可以采用裂項相消法.要注意相消后的項要對稱，若前面留下兩項，則后面也要留下兩項.

五、錯位相減法

若一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，則這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的.

例 5已知數(shù)列｛an｝的通項公式an＝2n－1（n∈N?），

數(shù)列｛bn｝滿足

求｛bn｝的前n項和Tn.

解設(shè)

則當(dāng)n≥2 時，

所以有

兩式相減，得

所以

反思與感悟用錯位相減法求和時應(yīng)注意：（1）要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；（2）在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.若公比是個參數(shù)（字母），則應(yīng)先對參數(shù)加以討論，一般情況下分等于1 和不等于1 兩種情況分別求和.

六、并項求和法

若一個數(shù)列的前n項和可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如an＝（－1）nf（n）的類型，可采用兩項合并求解.

例 6求Sn＝－1＋3－5＋…＋（－1）n（2n－1）.

解當(dāng)n為奇數(shù)時，

當(dāng)n為偶數(shù)時，

綜上，

反思與感悟當(dāng)數(shù)列中的項正、負(fù)相間時，通常采用并項求和法，但應(yīng)注意對n的取值的奇偶性進(jìn)行討論.其結(jié)果有時可以統(tǒng)一書寫，有時要分段書寫.

總而言之，在求數(shù)列的前n項和的具體問題中，首先要認(rèn)真觀察這個通項公式的特征，然后選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，在平時的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練中，學(xué)生要注意舉一反三，從一道題目解答過程中尋求同一類題目的共性特征，從而提高自己的解題能力.